книги из ГПНТБ / Папернов А.А. Методы упорядочения информации в цифровых системах

§ 5.4. РАЗДЕЛЕНИЕ ПО ПЕРВОМУ ЭЛЕМЕНТУ МЛССИВА

При больших значениях п наличие второго слагаемого /2га — 3\

(—-—J несущественно.

Однако для массивов небольшого объема роль второ­ го слагаемого возрастает.

1©

/г.'=А+/ т®

а[і-!]:=а[ы\

Конец

Рис. 5.7. Блок-схема оператора разделения по заданному значению признака с использованием циклического обмена.

5.4.2. Сложность оператора. Всего в рассматриваемом операторе выполняется п—1 сравнение. Каждое срав­

следующим образом. Объем группы младших элементов по завершении процедуры равен k—1. Частота элемен­ тов из группы младших элементов в исходном случай-

202 ГЛ. 5. УПОРЯДОЧЕНИЕ ДЕЛЕНИЕМ МАССИВА

этой группы были равномерно распределены по всему

ших впоследствии в группу старших элементов. Освобо­ дившиеся после них позиции были заполнены элемента­ ми, располагавшимися ранее на последних позициях, но по результатам сравнения отнесенными к группе млад­ ших элементов. Для выполнения этой работы потребова-

сылки одного элемента.) Общая сложность оператора будет составлять

где последнее слагаемое учитывает пересылки «опорно­

ся фактически за две пересылки, а не за три, как в предыдущем операторе, из-за использования не парного,

с соответствующим уменьшением затрат можно осуще­ ствить и в операторе разделения по заданному значению признака (рис. 5.7).

Блоки 11, 12 и 13 этого оператора служат для про­ верки признака того элемента, который сохранялся в рабочей ячейке, и для соответствующего изменения гра­ ниц группы младших или группы старших элементов.

§ 5.5. Организация процедуры упорядочения

Общая процедура упорядочения массива, основанная на использовании оператора разделения исходного мас­ сива на взаимно упорядоченные подмассивы, должна обеспечивать последовательное увеличение числа взаим­ но упорядоченных подмассивов при одновременном уменьшении объема каждого из них. В конечном итоге должно быть сформировано множество взаимно упоря­ доченных подмассивов, содержащих всего по одному элементу. Только в этом случае будет получен общий, полностью упорядоченный массив.

Рассмотрим существенные особенности такой про­ цедуры. Пусть дан исходный неупорядоченный массив объемом в п элементов. На первом этапе он будет раз­

чае каждое разбиение порождает не более двух подмас­ сивов, требующих в свою очередь дальнейшего деления.

рядочения можно наглядно представить в виде некото­

применения оператора разделения. Тогда ребру, входя­ щему в вершину, можно приписать число, соответству­ ющее объему массива до использования оператора, а левому и правому ребру, выходящим из вершины, мож­ но приписать числа, соответствующие количеству эле­ ментов в группе младших и в группе старших элементов соответственно. Назовем эти числа весами ребер. Веса

204 ГЛ. 5. УПОРЯДОЧЕНИЕ ДЕЛЕНИЕМ МАССИВА

ребер всегда неотрицательны. Для первого оператора сумма весов выходящих ребер равна весу входящего ребра, а для второго оператора она на единицу мень­ ше. Для примера на рис. 5.8 показаны деревья некото­ рых процессов упорядочения исходного массива из 14 элементов первым (5.8, а) и вторым (5.8, б) оператора­ ми. Все конечные ребра дерева должны иметь вес, рав­ ный единице или нулю.

Выполнение процедуры упорядочения связано с не­ которым последовательным обходом вершин данного

Рис. 5.8. Примеры деревьев упорядочения массива из 14 элементов.

случайного дерева. Для выполнения оператора, отобра­ жаемого некоторой вершиной дерева, кроме веса вхо­ дящего ребра, необходимо задать также и расположение

заданием индексов его начальной и конечной позиции. Обход такого дерева должен проводиться в направле­ нии ориентации его ребер, так как приступать к разде­ лению какого-либо подмассива можно лишь в том слу­ чае, если он создан, т. е. проведено разделение более крупного подмассива в предыдущей вершине дерева. По­ этому общая процедура должна начинаться с начальной вершины или с разделения всего исходного массива на два подмассива. Затем может выполняться переход по любой из двух возможных ветвей — разделение подмас­ сива младших или подмассива старших элементов. Ре-

разделяться в первую очередь, принимается исходя из соображений экономии объема запоминающего устрой­ ства. Дело в том, что в ЦВМ в каждый момент может выполняться только одно разделение. Вся же необхо­ димая информация для выполнения другого разделения должна фиксироваться в запоминающем устройстве. После проведения любого разделения (кроме конечных случаев, когда в результате получаются подмассивы, со­

должна быть зафиксирована. Общее число зафиксиро­ ванных для дальнейшего разделения подмассивов до­ стигает наибольшей величины, когда процесс деления доходит до конечных вершин дерева. Для уменьшения числа фиксируемых подмассивов принимается следую­ щее правило: из всех существующих к настоящему мо­ менту подмассивов дальнейшему разделению подлежит наименьший. В этом случае число фиксируемых подмас­ сивов не может превышать log2n—1 (фиксируются под­ массивы, содержащие не менее двух элементов). Дока­ жем это утверждение по индукции. Действительно, для п = 2 утверждение проверяется непосредственно. Пред­ положим, что оно справедливо для некоторого п, и по­ кажем, что в этом случае оно будет справедливо и для 2п. Действительно, при разделении массива из 2п эле­ ментов потребуется запомнить один больший подмассив, а для меньшего, размер которого не превышает п эле­

всех подмассивов пополам, представляющего самую не­ благоприятную ситуацию.

Осуществить описанное правило обработки подмасси­ вов проще всего с использованием так называемого ма­ газинного списка индексов начальной и конечной пози­ ций каждого подмассива. В магазин помещают инфор­ мацию о большем из образовавшихся подмассивов, а так как каждый новый подмассив меньше полученного

данными для этого оператора являются индексы началь­ ной позиции (k) и конечной позиции (I) подмассива, подлежащего разделению. Результатом деления являет­

храняются данные о подмассивах, подлежащих разделе­

ковый номер подмассива, подлежащего разделению. На­ копление элементов в массиве организовано по принципу магазина.

разделение на две части всего исходного массива. За­

массива. Блок 3 анализирует размеры полученных час­ тей массива. Если группа младших элементов больше группы старших, то следующим выполняется блок 4, в

Если же размер большей группы превосходит один эле­ мент, то в дальнейшем выполняется блок 6 (7). Этот блок анализирует размер меньшей из групп элементов. Если размер меньшей из групп больше одного элемента, то осуществляется переход к выполнению блока 8 (9). Этот блок отсылает граничные значения индексов по­ зиций большей из групп элементов k и m—1 ( m + 1 и /) в массив Ь и изменяет текущее значение /. В следующем блоке 10 (11) определяется массив, подлежащий даль­ нейшему разделению. Блок 10 определяет дальнейшее разделение группы старших элементов, а блок / / — младших. Если же меньшая из групп элементов не тре­

ни одна из групп элементов, полученных в результате деления, не требует дальнейшего использования операто-

значение индекса / и осуществляется переход к блоку 2. Если же массив b пуст, то процедура закончена.

Подобным же образом организуется процедура и в случае применения оператора разделения первого типа.

§ 5.6. Выбор из массива элемента для разделения

Процедуры, рассматриваемые в этой главе, использу­ ют в качестве разделяющего значения признака признак одного из имеющихся в массиве элементов.

В связи с этим возникает задача выбора из массива элемента для разделения. Ранее было показано, что с целью увеличения результативности оператора жела­ тельно для разделения выбирать такой элемент, кото­ рый близок к среднему по положению элементу в упо­ рядоченном массиве. Чем ближе положение разделяю­

массива может использоваться несколько способов опре­ деления разделяющего элемента. Если исходная неупо­ рядоченность массива достаточно велика, то в качестве разделяющего может использоваться элемент на некото­ рой фиксированной позиции массива, подлежащего раз­ делению (элемент из первой, средней или последней по­ зиции). Если же исходное состояние массива таково, что элемент с фиксированной позиции использовать нежела­ тельно, то можно рекомендовать использование в каче­ стве разделяющего элемента элемент на некоторой слу­ чайной позиции. Все эти случаи характеризуются тем,

что для разделения используется элемент со случайным значением признака, так что в упорядоченном массиве этот элемент может занимать любую позицию. Будем считать, что все окончательные позиции этого элемента равновероятны.

Оценим сложность процедуры в целом для этого слу­ чая. При случайном выборе из массива объемом п эле­ мента для разделения вероятность того, что окончатель­

мент разделит исходный массив на группу из k—1 мень­

Для сложности процедуры в целом можно записать сле­ дующее рекуррентное соотношение (при условии, что разделяющий элемент попал на позицию с индексом k) :

сложность процедуры упорядочения массива старших

при выводе которого произведено суммирование по k