книги из ГПНТБ / Папернов А.А. Методы упорядочения информации в цифровых системах

170ГЛ. 4. УПОРЯДОЧЕНИЕ С МИНИМАЛЬНОЙ ПАМЯТЬЮ

§4.3. Особенности процедуры упорядочения

при чередовании кратных и чередовании некратных шагов

Обосновывая в § 4.1 рассматриваемую в настоящей главе процедуру упорядочения, мы исходили из следую­ щей основной посылки: (ft/2) log2 /г сравнений пар стати­ стически эквивалентных элементов, входящих в основу процедуры, должны быть дополнены сравнениями пар элементов, в наибольшей степени близких к статистиче­ ской эквивалентности. К ним в первую очередь относятся пары элементов, входящих в соседние статистически однородные подмассивы, а затем и другие пары, состав­ ленные из элементов, входящих в близко располо­ женные друг к другу статистически однородные под­ массивы.

Однако с точки зрения состава последовательности, формируемой для упорядочения, существенное значение имеет равенство или неравенство целому числу отноше­ ния шагов (т. е. их кратность или некратность) в после­ довательно выполняемых этапах.

Если шаг последующего этапа точно равен половине

расположенные статистически однородные подмассивы, в половине всех пар оказываются не только не близкими к статистической эквивалентности, но и заведомо не об­ разующими инверсий, так как их возможная инверсия была устранена при упорядочении одной из последова­

ты массива располагаются в матрице так, что их номера увеличиваются на единицу при переходе по строке к со­ седнему правому элементу, а также при переходе от крайнего правого элемента любой строки к крайнему ле­ вому элементу следующей строки. В /-м столбце изобра­

одной из последовательностей, сформированных для упо­

стической эквивалентности элементов на каждом уровне, достаточно изменить шаг на і-м этапе настолько, чтобы избежать точной кратности шагов.

Правда, при h^ — h^, количество статистиче­ ски эквивалентных пар уменьшается, но если отклонение Л; от — At-_i невелико, то незначительное уменьшение

эффективности этапа в связи с этим может быть много­ кратно перекрыто увеличением вдвое количества пар с близкими к статистической эквивалентности элементами на соседних и близких к ним уровнях. Наиболее благо­ приятным с этой точки зрения соотношением шагов в

(знак + или — в формуле (4.62) всегда может быть вы­ бран так, чтобы hi оказалось нечетным. Для этого доста­ точно в двоичном числе, изображающем нечетное hi-i ,

6)

Рис. 4.6. Последовательности, формируемые на і-м этапе, в случае чередования некратных шагов:

зачеркнуть младший разряд, а младший из оставшихся разрядов, независимо от его прежнего значения, устано­ вить в единицу).

На рис. 4.6,а изображен массив после окончания (і—1)-го этапа и последовательность, выделенная для упорядочения на і-м этапе в случае

а на рис. 4.6,6 — то же самое в случае

Способ изображения массива остается таким же, как и на рис. 4.5.

Сравнение рис. 4.6,а и 4.6,6", с одной стороны, и рис. 4.4, с другой стороны, позволяет сделать ряд выводов

следовательность, формируемая для упорядочения на і-м этапе, составляется из элементов большого числа, а иногда даже всех последовательностей, упорядоченных на (і—1)-м этапе, включая в себя из каждой последова­ тельности только часть ее элементов.

2. Перестановки элементов, выполнявшиеся в процес­

се упорядочения в (і—1)-м этапе, в случае ht =

влияют только на порядок следования элементов в по­

h.= — I hl__i ± 1 (они влияют не только на порядок сле­

174 ГЛ. 4. УПОРЯДОЧЕНИЕ С МИНИМАЛЬНОЙ ПАМЯТЬЮ

3. Если последовательности, формируемые для упоря­

они, кроме двух элементов с большинства уровней, со­ держат по одному или по три элемента с некоторых уровней. Это обстоятельство приводит к искажению рав­ номерного закона распределения признака в каждой по­ следовательности, формируемой в і-м этапе (даже если . закон распределения признака в массиве в целом и в каждой последовательности, упорядоченной в (і—1)-м этапе, является равномерным). Кроме того, в разных по­

тремя элементами, мала, особенно при больших значе­ ниях шага hr

В дальнейшем, мы будем пренебрегать их влияни­ ем и считать, что все последовательности, сформиро­ ванные для упорядочения в і-и этапе, статистически эк­

при чередовании кратных, но и при чередовании некрат­ ных шагов.

§4.4. Изменение степени неупорядоченности

впроцессе выполнения процедуры

4.4.1. Основные зависимости. После окончания k-ro этапа процедуры все элементы массива оказываются рас­

Распространяя ограничения области применимости фор­ мулы (4.59) на формулу (4.64), получим, что в тех слу­ чаях, ікогда она даст результат, меньший, чем

4.4.2. Случай чередования кратных шагов. Рассмо­ трим случай, когда, начиная с 1-го и кончая последним этапом, шаг любого последующего этапа точно равен по­ ловине шага на предыдущем этапе. Это значит, что шаг на 1-м этапе должен быть равен h\ = 2s, где s — целое число:

в k-м этапе, образуется в результате слияния двух по­ следовательностей, упорядоченных в (k— 1)-м этапе. Поскольку суммы членов обеих последовательностей, упорядоченных в (k—1)-м этапе, не коррелированы,

176 ГЛ. 4. УПОРЯДОЧЕНИЕ С МИНИМАЛЬНОЙ ПАМЯТЬЮ

то Dsfe=2Ds (ft-i). Перед началом 1-го этапа Г Л о = —»

а после окончания k-ro этапа

=^ Х - ( 2 * + 1 ) ^ ( ^ - 1 ) 2 »

Учитывая, что для £, больших 3-=-4, 1 С 2й , получим

ва уменьшается по сравнению с предыдущим этапом при­ близительно в V 2 раз.

4.4.3. Группа первых этапов с некратными шагами.

Условие (4.68) означает, что в любую последователь­ ность, сформированную для упорядочения в £-м этапе, входит не больше одного члена из каждой последова­ тельности, упорядоченной во время (k—1)-го этапа. Кор­ реляция между признаками любых двух членов вновь

увеличение длины последовательности. Это свидетель­

Как следствие равномерного распределения элемен­ тов по последовательностям, вероятности инверсии ста­

178ГЛ. 4. УПОРЯДОЧЕНИЕ С МИНИМАЛЬНОЙ ПАМЯТЬЮ

Та б л и ц а 4.2

На первых трех этапах /*з можно подсчитывать по формуле (4.59) (или даже по точной формуле (4.24) — соответствующие значения для mk = 1 и 2 приведены в скобках), а начиная с 4-го этапа, считать, что

4 = 2*"! ( £ > 4 ) ,

вательностей, упорядоченных в (k—1)-м этапе. Диспер­ сию суммы членов формируемой последовательности можно подсчитать как сумму дисперсий сумм членов не­ коррелированных друг с другом групп. Внутри же каж­ дой из этих групп признаки элементов коррелированы.

Можно показать, что с учетом этой корреляции рекур­ рентная зависимость Д; k от Z)j; изменяется и при­ нимает вид

от этапа к этапу увеличивается, а в двух последних эта­ пах происходит даже увеличение D^k по абсолютной величине. Процесс еще более равномерного распределе­ ния элементов по последовательностям продолжается, хотя и не так интенсивно, как на первых этапах. Однако это существенно не сказывается на степени неупорядо­ ченности массива, так как она, независимо от D s опре­ деляется формулой (4.65).

§4.5. Сложность выполнения процедуры упорядочения

4.5.1. Основные зависимости. В п. 3.5.3 было показа­ но, что сложность упорядочения последовательности ме­ тодом вставки определяется формулой

— сложность двух пересылок элемента: из последова­ тельности в рабочую ячейку в начале серии сравнений с участием этого элемента и из рабочей ячейки в после­ довательность в конце серии сравнений, а также одного заключительного сравнения;