книги из ГПНТБ / Папернов А.А. Методы упорядочения информации в цифровых системах

а также соотношения

j Д, р (Ду/Дг) d (Ду) =

Mt (aj) -

M (aj).

(4.35)

Из формул (4.31) и (4.32) можно один

и тот же

корре­

ляционный момент K{at, aj )

выразить

как через

D(at),

К (а., а,) = 4-Я (а,) = т+\~[

D (а,).

(4.36)

і(от + 1 — i)

(4.37)

j (m + 1 — j) '

D (а,) = ci (m + 1 — /).

(4.38)

K ( « | t a , ) = { c > < m + 1

- I ' )

Д Л Я

І < 1 '

(4.39)

( ci (m + 1

— /)

для

/ >

/.

i

i

Ща) = Г \а - M(a)f

da = "j (a— - ^ 2 d a12 ='

§ 4.2. ХАРАКТЕРИСТИКИ ОПЕРАТОРА ВСТАВКИ

163

я 12«і ]=-і|.

(4-4°)

m

m

Ii—1

(fl*'a;> +

m

\

(4-41>

= 2 D

+ 2

2 *

2

* (°/.ау) •

і=і

г=і Ѵ/=і

І=І-\

i

/

Преобразуем отдельные члены, входящие в (4.41):

г—1

i r ,

г—1

! 1

л

с (і — I ) i (m + l — i)

^V

ч

v i • /

К {ait

üj)

= 2с/ (m +

l — 0

= - b

L _ L _ r

L>

/ = !

/=l

ci (m + l — i) (m

— i)

/=('+!

/=/+1

I—l

m

ri(OT+i_/)^

V/C(ai,a,.)+

Vtf(a,>a.)=

y=i

i=t+i

L D ( a < ) .

(4.42)

Подставляя

(4.42) в

(4.41), получим

для D (2а ;)

В Ь І "

ражение

/ m \

m

,

m

m — 1

D (2 4= 2D ( a <) + nr2 D ( a <) =

И +

2

2 D { «

( ) .

(4.43)

6*

При ЭТОМ

m

m

1) 2

*'~2

4=1

i = l

( m +

i = i

(=i

=

с m ( m + 1 ) 2

m (m +

1) (2m +

1)'

m

(m+l)(m+2)

(4.44)

Подставляя

(4.44) в

(4.43)),

получим

D (2 a*J=°m(m+ V m + 2

)

'

<4-45>

формулой (4.40), получаем после

сравнения

(4.40)

и

(4.45)

С = = (m+l)2(m+2)

*

( 4 ' 4

6 )

Элементы последовательности В, лежащие левее

at,

не могут иметь инверсий с аі

, так как они

меньше

аь

как по значению признака, так и по порядковому

номеру.

Элементы

последовательности

В,

лежащие

правее

bit

тоже не могут иметь инверсий

с at,

так как

они

больше

at и по значению признака, и

по

порядковому

номеру.

Элементы

же последовательности

ß, расположенные

на

Из (4.48) делаем

вывод, что

. M(k)

= (т + \)М\а, — bt\ — у .

(4.49)

делах. П р и М \ а , — Ь,\ <

она формально даст для

у

'

2 (m +

1)

^

F

М(&)

не

имеющий

смысла

отрицательный

результат.

Поэтому

при

М\а,

— b,\ <

будем

считать,

что

:

*

1

4

'

2 (т +

1)

J

M (k) =0. Математическое ожидание количества

инверсий

между

элементом

at

и всеми элементами

последователь­

ности В соответственно

равно

{т+\)М\а.

— Ъ,\

при

М\а,

— Ь.\>

1

,

(4.50а)

'

'

ѵ

'

'

2 (m +

1)

v

—

при

M i a,.

"

/;,. i

i

.

(4.506)

2

^

1

" 2(/я + 1)

v

Расчет M \ al—bt\

в общем случае оказывается

доста­

точно

сложным.

Мы его определим через

дисперсию

разности (аі~Ьі)

при упрощающем

расчеты

предполо­

жении,

что закон

распределения

разности

( а ; — b t )

яв­

ляется

нормальным.

Для такого

предположения

име­

ются следующие основания:

а) в силу статистической эквивалентности последо­

вательностей А и В закон распределения

(аг

— 6()

сим­

метричен относительно нуля;

б) разность

(а1

— 6,) зависит от большого

количества

случайных

отклонений многих элементов массива от сво­

их математических ожиданий.

Допустимость

упомянутого

предположения

в

даль­

В силу независимости отклонений

элементов

а1 и Ь,-

от своих математических

ожиданий

D (a, -bt)=D(a,)

+

D(6,) =

2D (a,),

(4.51)

или, с учетом формулы (4.38)

для дисперсии

D(at),

D (at — &,) =

2d (m + 1 — i).

(4.52)

§ 4.2. ХАРАКТЕРИСТИКИ ОПЕРАТОРА ВСТАВКИ

167

М[а1

— Ьі\ = V2fr

YD(at

— Ь^.

(4.53)

Подставляя в (4.53) вместо

D(at—bt

) ее

значение

(4.52), получим

М\а,

— Ь,\ =

Vі{т+\—

t).

(4.54)

Y

к

Математическое

ожидание

количества

инверсий между

at и элементами

последовательности

В можно

получить,

подставив (4.54)

в (4.50а),

а степень

взаимной

неупоря­

/ . з = ^5

(т +

1) У. Ѵі(т+\-і).

(4.55)

V

*

/=і

Сумму в (4.55) заменим приближенным ее значением,

равным

табличному интегралу

(рис. 4.4)

от+1

J

Y'i (m +

1 — /') di,

о

равному

после подстановки пределов

л (m + 1 ) 2

8

и в результате получим

Івз=^(т+ІГѴ~с~.

(4.56)

Выкладки с I в з ,

которые нам предстоит выполнять в сле­

дующих

параграфах,

упрощаются,

если / в з выразить

через дисперсию

суммы

членов

последовательности

Подставляя (4.57)

в (4.56),

получим

/ B 3 =

L i

! ^ L

^ .

(4.58)

2

fm(m+2)

Заменяя

V m (m + 2) = Y (m + 1 ) 2 — 1

его приближенным

значением, равным

(m+1),

упростим

Û

1

2

3

4

5

6

7

8

77/

"' I

1 = 1

r ^

- /о

Vi(mtl-i)di

Рис. 4.4 Аппроксимация

суммы

в выражении

для / в з интегралом.

в еще большей степени выражение для

Івз:

U='^-(m+l)YD^-

(4-59)

§ 4.2. ХАРАКТЕРИСТИКИ ОПЕРАТОРА ВСТАВКИ

169

/ в з = т / 2 .

(4.60)

формуле (4.24) и приближенной

формуле

(4.61).

Т а б л и ц а 4.1

/ вз

Относи­

^вз

Относи­

m

по точной

по форму­

тельная

m

по точной

по фор­

тельная

погреш­

погреш­

формуле

ле (4.61)

ность, %

формуле

муле

ность, %

(4.24)

(4.24)

(4.61)

1

0,5

0',888

77,6

16

28,58

30,1

5,3

3

2,4

3,07

28

24

52,37

54,1

3,3

6

6,55

7,62

15,4

30

73,12

75,1

2,7

10

14,2

15,5

9,15