книги из ГПНТБ / Папернов А.А. Методы упорядочения информации в цифровых системах

15Û ГЛ. i-. УПОРЯДОЧЕНИЕ С МИНИМАЛЬНОЙ ПАМЯТЬЮ

т. е. это условие выполняется. Если на каждом этапе из каждого статистически однородного подмассива, со­

в одну сравниваемую пару, отличались друг от друга всегда на т/2, то поставленное условие будет продол­ жать выполняться и после окончания каждого этапа. После выполнения серии из п/2 сравнений и устранения возможных инверсий меньшие элементы каждой пары, выделенной из некоторого статистически однородного подмассива, образуют один, а большие — другой стати­ стически однородный подмассив. Количество статистиче­ ски однородных подмассивов увеличивается вдвое, а раз­ мер каждого из них уменьшается вдвое.

После выполнения і этапов массив распадается на 2 '

подмассивов оказалось равным количеству элементов массива — я, т. е. в массиве вообще не осталось элемен­ тов, статистически эквивалентных друг другу, необходи­ мо выполнить logs я этапов, содержащих в общей слож­ ности (tt/2)log2 fi сравнений. В § 2.4 было показано, что этого количества сравнений в общем случае недостаточ­ но для полного упорядочения массива. В связи с этим определим способы деформации и дополнения описанной выше основы процедуры.

Рассмотрим некоторое промежуточное состояние упо­ рядочиваемого массива, когда каждый из статистически однородных подмассивов, на которые распадается мас­

последовательностей, в каждой из которых номера эле­ ментов массива представляют собой члены арифметиче­

таким образом последовательностей охватывают все эле­ менты массива.

Все выделенные последовательности (если пренебречь возможным различием их размера друг от друга на один элемент) статистически эквивалентны друг другу: в каж­ дую из них входит по два элемента из каждого статисти­ чески однородного подмассива. Элементы любой пары, сравниваемые друг с другом при выполнении основы процедуры, всегда принадлежат к одной и той же из вы­ деленных последовательностей.

Содержание дополнения и деформации описанной выше основы процедуры определим таким образом, что­ бы в результате выполнения дополнительных сравнений с устранением выявленных инверсий каждая из выде­ ленных последовательностей полностью упорядочива­ лась. Такое дополнение основы процедуры:

обеспечивает полное упорядочение всего массива, так как после окончания log2«-ro этапа количество упорядо­ ченных последовательностей сокращается до одной, совпадающей со всем массивом;

в случае упорядочения каждой последовательности методом вставки, описанным в главе 3, позволяет обой­ тись одной рабочей ячейкой, т. е. выполнить наложенное на дополнительные объемы памяти ограничение;

обеспечивает минимальное отклонение дополнительно сравниваемых пар элементов от статистической эквива­ лентности.

Действительно, интуитивно ясно, что чем дальше рас­ положены друг от друга в массиве статистически одно­ родные иодмассивы, тем больше отличаются друг от друга системы неравенств, которым удовлетворяют их элементы, и тем более отличаются от 1/2 вероятности их инверсии. При выполнении оператора вставки, как изве­ стно, всегда сравниваются друг с другом соседние эле­ менты упорядочиваемой последовательности, которые вследствие самого способа формирования последователь­ ности либо статистически эквивалентны, либо отличаются от статистической эквивалентности меньше, чем во всех других парах.

152 ГЛ. 4. УПОРЯДОЧЕНИЕ С МИНИМАЛЬНОЙ ПАМЯТЬЮ

Подведем итоги: сформированная описанным выше способом процедура распадается на logs я этапов. Отли­ чительной характеристикой каждого этапа является шаг h, приблизительно равный на 1.-м этапе /г/2 (где п — количество элементов в массиве), на каждом последую­ щем этапе — половине шага, выбранного на предыдущем этапе, и, наконец, на последнем этапе — единице. На каждом этапе формируются h последовательностей, в каждой из которых номера элементов представляют со­ бой члены арифметической прогрессии с шагом (разно­ стью) h, и каждая последовательность порознь упорядо­ чивается методом вставки. После окончания последнего этапа с шагом h= \ весь массив оказывается полностью упорядоченным. Приведенный выше ход рассуждений привел нас к процедуре упорядочения, предложенной Шеллом [80].

Основными операторами, используемыми в такой про­ цедуре упорядочения, оказываются: на первом этапе — оператор обмена, выполняющий сравнения пар элемен­ тов с устранением выявленных при сравнении инверсий, а на последующих этапах — оператор упорядочения от­ дельных последовательностей методом вставки.

§ 4.2. Характеристики оператора упорядочения

последовательностей методом вставки

4.2.1. Общие положения. В главе 3 было показано, что эффективность оператора вставки, примененного к масси­ ву, является невысокой. Однако будучи примененным к упорядочению последовательностей, выделенных описан­ ным в § 4.1 способом, оператор вставки оказывается значительно более эффективным. Действительно, если выделенная для упорядочения последовательность в ис­ ходном состоянии является случайной, то сложность ее упорядочения зависит только от ее длины, но не зависит от наличия или отсутствия других элементов массива. В результативность же оператора вставки входит не только составляющая, равная исходной степени внутрен­ ней неупорядоченности последовательности, снижающей­ ся в результате упорядочения до нуля, но и составляю­ щая, равная изменению степени ее взаимной неупорядо­ ченности с остальными элементами массива. Вторая

n = mh, распределены по h последовательностям с m эле­ ментами в каждой, /-й элемент і-й последовательности имеет номер

t + ( / = 1,2,..., я; / = 1,2,..., m). (4.3)

Основными статистическими характеристиками выделен­ ных из массива последовательностей является состав входящих в них элементов и порядок их следования.

Последовательность мы будем называть абсолютно случайной по составу, если она может быть получена, как одна из С™ возможных и равновероятных выборок из п элементов массива.

Последовательность мы будем называть абсолютно случайной по порядку, если любой из т\ возможных по­

в) взаимной неупорядоченности между kl парами, со­ ставленными из одной случайной и одной упорядоченной последовательности, т. е.

где /„у—степень взаимной неупорядоченности между од­ ной случайной последовательностью и одной упорядочен­ ной последовательностью;

154 ГЛ. А. УПОРЯДОЧЕНИЕ С МИНИМАЛЬНО!"! ПАМЯТЬЮ

г) взаимной неупорядоченности между k(k—1)/2 парами упорядоченных последовательностей, т. е.

К вычислению величин 7н у и I у у , существенно влияющих на результативность оператора вставки, мы и переходим.

4.2.2. Степень взаимной неупорядоченности между случайной и упорядоченной последовательностями. Име­ ем две последовательности А и В, по m элементов в каж­

что все возможные выборки равновероятны, или, иными словами, распределение элементов по последовательно­

произвольный элемент b последовательности В меньше at. Для этого нужно, чтобы в совокупности из т+1 элемен-

156 ГЛ. 4. УПОРЯДОЧЕНИЕ С МИНИМАЛЬНОЙ ПАМЯТЬЮ

Нетрудно показать, что вывод не изменился бы, если бы упорядочивалась последовательность В, а не последова­ тельность А .

входящих в последовательность В, 2т элементов, входя­

к Которому можно, используя свойства биномиальных коэффициентов, после довольно громоздких преобразова­ ний привести (4.13).

Однако рекуррентные соотношения (4.16), (4.19) — (4.21) и окончательное выражение (4.24) справедливы только при абсолютно случайных по составу последова­ тельностях и не позволяют учесть невыполнение этого условия.

Из последующего изложения будет ясно, что предпоч­ тительной с точки зрения быстродействия является про­ цедура, при которой формируются последовательности, не абсолютно случайные по составу. Поэтому мы перей­ дем к выводу другого приближенного выражения для /из , преимуществом которого является возможность рас­ пространения его и на случаи последовательностей, не абсолютно случайных по составу.

4.2.4. Вероятностные характеристики равномерно рас­

пределения признаков элементов является равномерным в интервале (0, 1). Корреляционный момент между раз­ ными элементами, принадлежащими одной и той же по­ следовательности, равен нулю. В данном случае сущест­ венной является не равномерность распределения, а ста­ тистическая эквивалентность обеих последовательностей. Действительно, каким бы ни был общий для обеих после­ довательностей закон распределения, всегда существует такое функциональное преобразование признаков, кото­ рое, не изменяя порядка следования элементов и, следо­ вательно, степени взаимной неупорядоченности обеих по­ следовательностей, трансформирует заданный закон рас­ пределения в равномерный закон распределения на вы­

m порядковых номеров, появляются новые вероятност­

тельности.