книги из ГПНТБ / Папернов А.А. Методы упорядочения информации в цифровых системах

операции обмена между устройством упорядочения и памятью. Оценим выгоды использования такого устрой­ ства в процедурах упорядочения различных типов.

Для процедур упорядочения без резерва памяти наи­ более целесообразным в настоящее время представляет­ ся использование подобного устройства для повышения эффективности процедур упорядочения, построенных аналогично методу вставки и методу слияния, не требу­ ющему резервных объемов памяти (п. 3.5.4). В первом случае на каждом шаге осуществляется упорядочение группы из а старших элементов, оставшихся в процессо­

в упорядочении всех элементов массива будет образова­ на группа из а старших элементов всего массива, кото­ рую следует зафиксировать на старших позициях масси­

вызова из памяти и отсылки в память группы из а эле­ ментов. Наличие последнего слагаемого объясняется спецификой выполнения первого шага упорядочения, при котором дважды используется операция вызова группы элементов из памяти.

В результате выполнения этапа число порций і в ос­ тавшейся неупорядоченной части уменьшается на едини­ цу. Поэтому для процедуры в целом имеем следующую оценку сложности (учитывая, что процедура заканчи­ вается упорядочением последней пары порций):

Г = " І І ( « - - 1 ) ( Г У + 2 Г 0 6 ) + Г 0 6 =

~т(т)'(Г'+2Ги)- (3-88)

числа этапов как бы за счет уменьшения в соответству­ ющее число раз количества элементов исходного масси­ ва (сравни с (3.88)). При высокой скорости выполнения групповых операций обмена и самого упорядочения в процессоре это может дать весьма значительный эффект.

Использование специального устройства в классиче­

ройства упорядочения. Входы и выходы устройства упо­ рядочения разделены на три равные группы, как пока­

дов, соответствующая старшим элементам упорядоченно­ го подмассива (для упорядочения в порядке возраста­ ния), снабжена анализирующим устройством, позволяю­ щим определять отсутствие в этой группе элементов того или иного из исходных массивов А или В.

Процесс слияния в этом случае можно организовать следующим образом. На первом шаге слияния на вход устройства упорядочения подаются две группы элемен­ тов из одного массива (скажем, А), и одна группа эле­ ментов из другого массива. Дальнейшие действия прово-

§ 3.6. СПОСОБЫ АППАРАТНОЙ РЕАЛИЗАЦИИ МЕТОДА СЛИЯНИЯ 143

дятся единообразно по следующим правилам. Если анализ группы старших элементов на выходе устройства упорядочения обнаружит наличие элементов обоих мас­ сивов А и В, то обе группы младших элементов с вы­ хода устройства могут быть отосланы в результирую­ щий упорядоченный массив, так как и старший элемент

тов с выхода устройства и по одной группе новых эле­ ментов из обоих сливаемых массивов А и В. Если же в результате анализа группы старших элементов на вы­ ходе устройства упорядочения обнаружится отсутствие

отослать лишь одну группу младших элементов с вы­ хода устройства. На вход устройства упорядочения для следующего шага процедуры следует в этом случае по­ дать две группы старших элементов с выхода устрой­ ства (одна из которых состоит только из элементов мас­ сива В) и группу новых элементов из массива А . При отсутствии элементов массива В в анализируемой груп­ пе элементов на вход устройства для следующего шага слияния следует подать группу новых элементов из мас­

ства упорядочения подается одна группа элементов массива А , одна группа элементов массива В и одна группа неопределенного состава. Поэтому, если в группе старших элементов обнаруживается отсутствие элемен­ тов какого-либо из исходных массивов, то старший элемент из этого массива, участвующий в слиянии на данном шаге, может занимать либо последнюю позицию младшей группы элементов на выходе устройства, либо произвольную позицию в группе средних элементов на выходе устройства упорядочения. В любом из этих слу­ чаев группу младших элементов можно отсылать в ре­ зультирующий массив.

Для сохранения единообразия действий на последних группах элементов, которые могут оказаться неполными,

ния фиктивными элементами с максимально возможны­ ми значениями признака.

Сложность одного этапа слияния можно оценить сле­ дующим соотношением (предполагая, что в массив в результате одного шага с равной вероятностью отсыла­ ется либо одна, либо две группы элементов):

где п — размер всего упорядочиваемого массива, а а — величина одной группы элементов на входе устройства упорядочения. Сложность процедуры в целом опреде­ лится как

процедур (за исключением лишь одного первого этапа каждой из них) требуется использование не устройства упорядочения, а устройства слияния двух или трех упо­

подмассива, позволяющая осуществить перебор всех его элементов в порядке возрастания номеров, начиная с произвольного его элемента. При этом от элемента с наи­ большим номером мы переходим к элементу с наи­ меньшим номером. По определению битонический под­ массив содержит минимальный и максимальный элемен­ ты, произвольно расположенные в подмассиве, и ряд других элементов, образующих при переходе от мини-

§ 3.6. СПОСОБЫ АППАРАТНОЙ РЕАЛИЗАЦИИ МЕТОДА СЛИЯНИЯ 145

мального элемента к максимальному в порядке возра­ стания номеров неубывающую последовательность, а при переходе от максимального элемента к минимальному в порядке возрастания номеров — невозрастающую по­ следовательность.

Неупорядоченный массив из п элементов можно рас­

массивов, так как любая пара элементов массива удов­ летворяет определению битонического подмассива. Ком­ паратор можно считать преобразователем битонического подмассива из двух элементов в упорядоченный подмассив, причем, в зависимости от способа соединения его выходов со входами последующей схемы, либо по воз­ растанию, либо по убыванию.

Если мы докажем, что из существования преобразо­ вателей, переводящих битонические подмассивы разме­ рами в 2* элементов в упорядоченные (как по возра­ станию, так и по убыванию) подмассивы того же раз­ мера, вытекает способ построения аналогичных преоб­ разователей для подмассивов из 2*+' элементов, то по индукции мы сможем сделать вывод о возможности упо­ рядочения таким образом массива любого размера.

Перейдем к доказательству этого утверждения. На рис. 3.23, а изображено распределение элементов бито­ нического подмассива из m элементов. Сформируем из

элементов подмассива -^- пар таким образом, чтобы в каждой паре адреса ее элементов отличались друг от друга на ~ . Каждую из таких пар свяжем с входами

компаратора, а выходы всех компараторов объединим так, чтобы все минимальные элементы образовали один

m

В этом случае величины двух сравниваемых элементов любой пары окажутся расположенными на одной орди­ нате (рис. 3.23,6). Подмассивы из максимальных эле­ ментов и из минимальных элементов каждой пары ока-

Рис. 3.23. Сравнение элементов в битоническом подмассиве.

жутся битоническими и взаимно упорядоченными по от­ ношению друг к другу. Точка пересечения обеих кривых на рис. 3.23,6 окажется точкой, разделяющей по вели­ чине оба подмассива.

Схема слияния двух битонических подмассивов изоб­ ражена на рис. 3.24.

Один битонический подмассив преобразуется в под* массив, упорядоченный по возрастанию, а другой бито-

§ 3.0. СПОСОБЫ АППАРАТНОЙ РЕАЛИЗАЦИИ МЕТОДА СЛИЯНИЯ 14?

ничеокий подмассив— в подмаосив, упорядоченный по убыванию. Оба упорядоченных подмассива в совокупно­ сти образуют новый битонический подмассив вдвое большего размера.

Рис. 3.24. Устройство слияния битонических подмассивов.

(Б—У)^— устройство преобразования битонического подмассива в упорядочен­ ный подмассив.

порядке.

148 ГЛ. 3. МЕТОДЫ с л и я н и я

ГЛАВА 4

ПРОЦЕДУРЫ УПОРЯДОЧЕНИЯ С ПРЕДЕЛЬНОЙ ЭКОНОМИЕЙ ПАМЯТИ

§ 4.1. Предпосылки метода

Одной из существенных характеристик процедуры упорядочения являются требования к объемам памяти, дополнительно используемым процедурой, помимо объ­ емов, непосредственно занятых программой упорядоче­ ния и исходным упорядочиваемым массивом. Из описа­ ния процедур упорядочения, основанных на операторе слияния (глава 3), можно было убедиться, что в некото­ рых случаях дополнительные объемы памяти оказыва­ ются довольно значительными. В настоящей главе рас­

на дополнительные объемы памяти.

Сформируем процедуру, использующую для переста­ новок элементов массива в процессе упорядочения, кро­ ме объема, непосредственно занятого исходным масси­ вом, только одну дополнительную рабочую ячейку.

Начнем, как и при рассмотрении упорядочения слия­ нием, с формирования «основы» такой процедуры. Как и в том случае, будем считать, что основа процедуры рас­ падается на несколько этапов, в каждом из которых вы­ полняется я/2 сравнений и обменов, устраняющих выяв­ ленные при сравнениях инверсии (я — размер массива). В отличие от случая упорядочения слиянием, примем условие, что статистически однородные последовательно­ сти, образующиеся на каждом этапе, представляют собой подмассивы. В исходном состоянии весь массив представ­ ляет собой один статистически однородный подмассив,