книги из ГПНТБ / Папернов А.А. Методы упорядочения информации в цифровых системах

Рассмотрим особенности процедуры упорядочения G минимальным резервом памяти. Такая процедура может быть организована с использованием единого поля по­ зиций Л[1 :п-\-Ѵ], где располагается также и исходный упорядочиваемый массив. Эта процедура может быть по­ строена многими способами. Рассмотрим один из воз­ можных. Мы будем использовать описанные ранее про­

три или четыре подмассива и лишь один из них при этом

Используя свободный резерв памяти, необходимо прове­ сти упорядочение каждой из частей. Это можно сделать, например, с помощью описанной выше процедуры. При

ветственно на три или четыре части. Дальнейшее слия­ ние должно использовать две разновидности процедуры: обычную, в которой элементы рассматриваются в поряд­ ке возрастания значения индексов их позиций, из срав­ ниваемых элементов выбирается предшествующий и результирующий массив также заполняется в порядке возрастания значения индексов позиций, а также обрат­ ную процедуру, в которой объекты рассматриваются в порядке убывания значения индексов их позиций (начи­ ная с последних элементов каждого из подмассивов), при сравнении выбирается последующий элемент и ре­ зультирующий массив заполняется также с последней позиции в порядке уменьшения значения индексов.

При упорядочении массива, состоящего из трех час­

в начальные позиции. В результате получаем размеще­ ние массивов, показанное на рис. 3.13,6. Теперь доста­

ГЛ. 3. МЕТОДЫ слияния

под индексом п, чтобы получить окончательный упоря­ доченный массив, расположенный на первых п позициях

объем которой в этом случае равен сумме полной и не­ полной частей массива (рис. 3.14,6). Затем необходимо провести обратное слияние частей I я II массива, рас­ полагая результат (7+77) с позиции под индексом п (рис. 3.14,в). При этом первые V позиций поля освобо­ дятся. Теперь достаточно провести обычное слияние по­

на первых п позициях выделенного поля.

3.5.2. Алгоритмы слияния, использующие сокращен­ ные объемы резервной памяти. До сих пор мы рассмат­ ривали варианты процедуры упорядочения с предель­ ной для слияния скоростью упорядочения. Такие вари­ анты требуют значительных объемов резервной памяти. А как же использовать процедуры слияния, когда в рас­ поряжении программиста нет необходимого объема сво­ бодной памяти? Для таких случаев может быть исполь­ зован, например, следующий вариант процедуры упоря­

пов процедуры с максимальной эффективностью. В этом

ной) и проводим упорядочение каждой из частей, ис­ пользуя V резервных позиций и размещая упорядочен­ ные части, как показано на рис. 3.15, а. Используя обыч­ ное слияние, объединяем первые две части, располагая объединенный массив на первых позициях поля. Резерв­ ная зона переместится в этом случае на следующие за полученным массивом V позиций (рис. 3.15,6). Затем проводим обратное слияние полученного массива со сле­ дующей упорядоченной частью, начиная заполнение но­ вого массива с последней позиции резервной зоны. В результате получаем упорядоченный массив, объединив-

ший три части и расположенный на первых позициях выделенного поля (рис. 3.15, в). Резервная зона опять переместится на следующие за полученным массивом V

Рис. 3.15. Порядок слияния подмассивов при сокращенном объеме резервной памяти.

позиций, и обратным слиянием можно включить в фор­ мируемый массив новую упорядоченную часть. Так мож­ но постепенно наращивать массив частями по V объек­ тов, пока не дойдем до последней неполной части мас­

да для образования s упорядоченных частей массива не­

(без учета возможной экономии времени на первом

ры последовательно образуются упорядоченные подмассивы в 2, 3, 4, п объектов, и на каждом шаге произ­ водится включение нового объекта в уже упорядочен­ ный подмассив путем слияния данного упорядоченного подмассива с подмассивом, состоящим всего из одного элемента.

Если внимательно рассмотреть отдельный этап дан­

до тех пор, пока не будут устранены все инверсии дан­ ного г'-го элемента со всеми предшествующими элемен­ тами. А это значит, что сложность процедуры в целом определяется общим числом инверсий в исходном не­ упорядоченном массиве, т. е. существенно зависит от со­ стояния массива.

При небольшой степени неупорядоченности процеду» ра может оказаться даже значительно выгоднее описан­ ных выше процедур со слиянием равных подмассивов, сложность которых практически не зависит от исходного состояния массива.

Данный алгоритм является одной из разновидностей

всего массива на одну позицию. Алгоритм метода встав­ ки имеет две разновидности. В первой из них очеред­ ной объект до сравнения пересылается на резервную по­ зицию, после чего производится серия сравнений с этим объектом и пересылок элементов упорядоченной части массива, пока не будет найдено место этого очередного объекта в упорядоченной части массива. Он пересылает­ ся на найденное место, и процедура переходит к рас­ смотрению нового объекта из неупорядоченной части массива (рис. 3.17).

В этой процедуре число сравнений очередного объ­ екта с объектами упорядоченной части на единицу боль­ ше числа инверсий данного объекта со всеми объектами упорядоченного подмассива, так как сравнение проис­ ходит до первого объекта, упорядоченного с данным. Число пересылок на единицу больше числа сравнений (в предыдущей разновидности процедуры число пересы­ лок совпадало с числом сравнений, так что, если сдвиг

массива на одну позицию несуществен, то описанная ранее процедура предпочтительнее).

Сложность этой процедуры определяется следующи­ ми факторами.

Начало

і

і: =2

t '

i-1

нет

да

Г-Н

да

Рис. 3.17. Блок-схема алгоритма метода вставки (вариант № 1).

столько раз, сколько инверсий у данного объекта с упо­ рядоченной частью массива, и еще один раз) надо:

вычислить адрес очередного объекта (ТА) ДЛЯ срав­ нения;

так как сумма всех инверсий объектов определяет сте­ пень неупорядоченности /.

В дальнейшем мы не будем столь детально рас­ сматривать составляющие общей сложности. Будем счи­ тать, что определяющими являются затраты на один цикл сравнения {Тср ) и на один цикл пересылки (Т„), включая сюда и вычисления соответствующих адресов

ииндексные операции.

Вэтих обозначениях

Итак, выражение общей сложности процедуры состо­ ит из двух частей: постоянной, не зависящей от состоя­

только при обнаружении неупорядоченности этого объ­ екта с уже упорядоченной частью (рис. 3.18).

В этой разновидности процедуры в основной цикл по I введено сравнение признака объекта на позиции і с признаком объекта на позиции і—1 и пересылка осуще­ ствляется только при инверсии этих элементов. Посколь­ ку это сравнение происходит между очередным неупо­ рядоченным элементом и последним упорядоченным, то инверсия будет отсутствовать лишь при упорядоченности очередного объекта со всеми объектами, расположенны-

обозначим пу.

Сложность этой процедуры будет отличаться от слож­

так как, хотя в каждом цикле по і надо добавить вычис­ ление адреса предыдущего элемента, выделение его при­ знака и сравнение признаков, зато число циклов по j

. да/7? ж

Конец

Рис. 3.18. Блок-схема алгоритма метода вставки (вариант № 2).

уменьшится на единицу, что скомпенсирует увеличение трудоемкости цикла по i, а из-за обхода двух пересылок в случаях отсутствия инверсии получится указанный вы­ игрыш.

Оценим величину пу для случайного массива. В этом случае вероятность отсутствия инверсии і-го элемента со всеми і—1 предшествующими элементами равна (1/2)' - 1 . Математическое ожидание числа элементов массива, не