книги из ГПНТБ / Папернов А.А. Методы упорядочения информации в цифровых системах

по ГЛ. 3. МЕТОДЫ слияния

Наиболее проста организация процедуры при исполь­ зовании двойного резерва памяти. В этом случае выде­ ляют два поля позиций равного объема (по п позиций каждое), на одном из которых размещается исходный случайный массив. Без ограничения общности будем счи­ тать, что есть некоторое общее поле позиций М, на ко­ тором, начиная с позиции А и кончая позицией А-\~п—1, располагается исходный случайный массив, а последо­ вательность позиций, начинающаяся с позиции В и за­

процедура в этом случае будет использовать оператор слияния двух упорядоченных подмассивов, аналогичный

подмассива; іь — индекс начальной позиции второго ис­

На первом этапе в результате попарного слияния подмассивов из отдельных объектов образуются упоря­ доченные подмассивы, содержащие по два объекта. На втором этапе пары подмассивов сливаются между собой и образуют упорядоченные подмассивы по четыре эле­ мента и т. д. На каждом этапе число отдельных групп уменьшается вдвое, но зато вдвое увеличивается число элементов в каждой из групп. Процедура прекращается при слиянии двух последних групп упорядоченных эле­ ментов в один массив.

Как уже отмечалось, на самом первом этапе необ­

способом слияния, а используя операцию обмена. В этом случае получится некоторый выигрыш в сложности про­ цедуры. Действительно, для объединения элементов в упорядоченные пары методом слияния необходимо про­ вести ѳдно сравнение значений признака у объектов и две пересылки объектов на место расположения пары,

в то время как для образования упорядоченной пары путем обмена необходимо произвести сравнение значений признаков у данной пары объектов и, при обнаружении инверсии, произвести их перестановку. Перестановку (или обмен) можно считать эквивалентной по слож­ ности трем пересылкам, но инверсии объектов в случай­ ном массиве имеют вероятность 0,5, так что математи­ ческое ожидание сложности образования упорядоченной пары объектов путем обмена эквивалентно сложности одного сравнения и 1,5 пересылки, что несколько меньше сложности слияния двух подмассивов, содержащих по одному элементу (одно сравнение и две пересылки на каждую пару объектов). Рассмотрим подробнее блоксхему процедуры слияния (рис. 3.9).

На первом этапе происходит образование упорядо­ ченных пар объектов путем обмена через некоторую сво­ бодную позицию а. На последующих этапах (начиная с блока 6) происходит последовательное объединение упо­ рядоченных подмассивов до образования общего упо­ рядоченного массива. На каждом этапе проводится слия­ ние равных подмассивов (объемом в k элементов), за исключением, может быть, лишь одного остаточного под­ массива (п может не быть кратно k). В процедуру вве­ дена булевская переменная z, принимающая значение true, если после окончания процедуры упорядоченный массив расположен на поле с начальной позицией ß, и

и заранее неизвестно, за сколько этапов произойдет пол­ ное упорядочение. Если же п фиксировано, то оконча­ тельное положение упорядоченного массива можно опре­ делить заранее и не вводить специальную переменную.

Блок-схема данной процедуры приведена на рис. 3.9. В блоках /, 2, 3, 4, 5 в цикле по номеру позиции исход­ ного случайного массива і происходит образование упо­ рядоченных пар элементов. Блок / задает начальное значение индексу і, параметру k и величине z, в блоке 2 производится проверка упорядоченности пар соседних элементов, а в блоке 3 производится их обмен при об­ наружении инверсии. Блок 4 осуществляет изменение

Блоки 8, 9 и 10 выполняют настройку внутренней про­

слиянию подвергаются подмассивы, расположенные на

условия слияния. Если оба сливаемых подмассива теку­ щей пары / полные (т. е. содержат по k элементов каж­ дый), то должно выполняться условие 2kj^C п. Действи­ тельно, все подмассивы, подлежащие слиянию на данном этапе, имеют начальные позиции, соответствующие сле­ дующей последовательности индексов:

(слиянию подвергаются соседние подмассивы), а началь­ ные позиции результирующих подмассивов соответству­ ют следующей последовательности:

8,8 + 2 0 + 46,..., 8 + (2/ — 2)6,... (3.34)

выйдет за пределы всего массива, а это гарантирует пол­ ный объем в k элементов для обоих подмассивов. В этом случае в процедуре далее выполняется оператор слия­

подмассивов и процедура снова определяет условия сли­

массиве не осталось пары полных подмассивов, требую­

(2/—l)k<n, то в остатке содержится один полный под­ массив и один неполный. В этом случае необходимо про­ вести слияние с учетом неполноты второго из подмасси­

После завершения этого последнего слияния необходимо

зовался единственный подмассив, процедурой произво­

три пересылки и вероятность инверсии объектов в слу­ чайном массиве р = 0,5.

В этом случае сложность первого этапа

Тх = - J (2 Г А + 3 р Тп + Тп + 2 Г , + 2 Г и ) . (3.37)

Сложность каждого следующего этапа, производящего слияние nl2k пар подмассивов, по k объектов в каждом,

Т2 = • 2k(2TA + Тп + 3 7 и + Г 5 Л + Т% ). (3.38)

При этом не учитываются служебные операции на каж­ дом из этапов (изменение индексов /, k, проверки конца циклов по / и k), а также изменение сложности из-за пе­ ресылок непарных остаточных подмассивов и неточность значения сложности, описываемой формулой (3.18) при малых k. Все перечисленные факторы не являются пер­ востепенными и учет их привел бы к неоправданному усложнению расчетов.

Так как процедура продолжается до тех пор, пока число элементов в результирующем подмассиве не до-

ний % эффективность процедуры существенно повышает­ ся при переходе от й = 2 к k = 3 и при дальнейшем уве­ личении величины k.

Определим оптимальные соотношения между т и k. Для этого приравняем нулю производную по k от отно­

Зависимость т о п т от k 'приведена на рис. 3.11. Процедура, использующая слияние двух подмассивов, наиболее эф­ фективна при значении т = 0,38, т. е. когда время срав­ нения признаков сравнительно велико. Оптимальные зна­ чения т для различных k приведены в таблице.

Эти данные свидетельствуют, что при наличии сво­ бодного резерва памяти в ряде случаев значительно вы­ годнее организовать упорядочение с использованием слияния сразу нескольких упорядоченных подмассивов.

Особо полезным будет использование этой процедуры при наличии в цифровой вычислительной машине буфер­ ной сверхоперативной памяти. В этом случае основное время будет затрачиваться на выбор объектов из основ­ ного оперативного запоминающего устройства и на от­ сылку объекта из буферной памяти.

Время работы с буферной памятью незначительно, и поэтому основная сложность процедуры упорядочения

118 ГЛ. 3. МЕТОДЫ слияния

будет определяться числом обращений процедуры к ос­ новной памяти машины. На каждом из этапов упорядо­

§ 3.5. Процедуры упорядочения слиянием

при ограничении резерва памяти

3.5.1. Уточнение требований к резервным объемам па­ мяти. Рассмотрим сначала вопрос выбора минимально необходимого резерва памяти для проведения упорядо­ чения слиянием без органичения скорости выполнения про­ цедуры. Как уже отмечалось, для слияния двух подмас­ сивов необходим минимальный резерв памяти, соответ­ ствующий объему меньшего из исходных сливаемых подмассивов. С другой стороны, наибольшей эффектив­ ностью обладает процедура слияния, объединяющая рав­ ные подмассивы. Поскольку слияние начинается с объ-

единения отдельных элементов в пары, то число элемен­

слияния этих трех подмассивов требуется резерв памяти

массива с неполным также достаточно резерва в 2ft~"2 позиции.

Очевидно, что этого резерва достаточно и для всех предшествующих этапов.

Во втором случае после выполнения k—1 этапа слия­ ния образуется один полный подмассив объемом в 2*— 1

мально необходимый резерв памяти определяется сле­ дующим образом: