
книги из ГПНТБ / Москаленко Г.М. Инженерные методы проектирования в ракетодинамике
.pdfмуле (2. 29) будет равно
G c
или
ßt = G T= l - i x K, |
(2.31) |
где GT = GT/G0— весовая отдача по топливу, равная отношению веса топлив GT к стартовому весу G0; pK= G K/G0 — весовая отда ча по конечному весу, равная отношению конечного веса (вме сте с полезным грузом) к стартовому весу G0.
При этом максимальное значение осевой перегрузки запишет ся так:
« та х = — = «0Ц. |
(2.32) |
Для случая показательного закона изменения массы в соот
ветствии с определениемn0перегрузки по формуле |
(2. 27) имеем |
— W |
(2.33) |
— = const. |
|
go |
|
Это означает, что при показательном законе изменения мас сы осевая перегрузка во время полета на работающем двигателе
остается постоянной и равной |
ее первоначальному значению, |
|
т. е. |
nx (t) = п 0. |
(2.26), запишем его в более об |
Возвращаясь к выражению |
щем виде через текущее ускорение ракеты и ускорение сил зем
ного тяготения |
go. |
Тогда при |
X(t) |
=0 получим |
(2.34) |
|
|
|
|
|
|||
|
|
Р _ |
М(() а (і) |
_ _ а (о |
||
|
|
G (t) |
М (t) g0 |
go |
Это означает, что перегрузка n(t) характеризует число, по казывающее во сколько раз текущее ускорение ракеты больше земного ускорения на уровне моря.
2. 10. ВРЕМЯ ПОЛЕТА ПРИ РАБОТАЮЩЕМ ДВИГАТЕЛЕ
Полное время работы двигателя т равно отношению веса топ лива GT к его секундному расходу Gc, т. е. т= G T/GC.
Для линейного закона изменения массы%имеет место Gc= = const, что на основании выражения для идеальной тяги (2.5)
дает |
Ос = Р 0/РуЛ |
•При этом легко получить |
(2.35) |
|
|||
|
|
х = ^по |
|
|
|
Р ° уЯ' |
|
3* |
67 |
Полное время полета т, определяемое формулой (2.35), не изменится, если в этой формуле произвести замену п0 на п0п и РудНаР^я.
Поскольку коэффициент расхода массы ß = G c/G0 можно представить как ß = n o / P >то можно получить также
GТ _ |
1— Нк |
(2. 36) |
р |
р |
|
Для показательного закона изменения массы логарифмирова нием выражения (2. 9) находим
|
G(t) |
Р |
о (0 |
(2.37) |
где |
|
1 |
||
|
— текущий вес ракеты. |
|
|
|
|
Таким образом, время полета на активном участке (при по |
|||
казательном законе изменения |
массы) |
подчиняется логарифми |
ческому закону (2.37). Его можно сформулировать следующим образом:
если пассивная плюс активная массы возрастают в геомет рической прогрессии, то скорость точки увеличивается в про грессии арифметической.
В самом деле, формулу (2.37), записанную для полного вре мени полета t = x при G<=T = G K, можно представить так:
р т = 1п -^ - GK
и, следовательно, если отношение G0/GK будет последовательно принимать значения 2, 4, 8, 16, 3 2 ,..., то безразмерное время ßt будет принимать значения ßt = ln2, 2ßx, 3ßt, 4ßt,. . .
Вспоминая теорему Циолковского, вытекающую из его пер вого закона, легко видеть, что изменение параметров V-nfW (при линейном законе изменения массы) и ßx (при показательном за коне изменения массы) происходит по одинаковому (логариф мическому) закону.
Полное время полета, выраженное через число Циолковско го, будет равно
т= і-1 п Ц . |
(2.38) |
Разделив (2. 38) на (2. 36), получим
- = Дпо^= |
ДпЦ_ _ |
(2 . 3 9 ) |
глин |
G T |
|
Это означает, что при одинаковых коэффициентах расхода массы время полета на активном участке при показательном
законе изменения массы тПок больше в х раз по сравнению со временем полета на активном участке при линейном законе из менения массы Тдин (см. разд. 10.4). Так, если весовая отдача
68
G t = 0,9, то увеличение времени полета при показательном за коне изменения массы составит т^2,55 раза.
2.11. ВТОРАЯ ЗАДАЧА ЦИОЛКОВСКОГО ДЛЯ ЛИНЕЙНОГО ЗАКОНА ИЗМЕНЕНИЯ МАССЫ
Ранее (см. разд. 2. 8) была рассмотрена задача определения скорости полета ракеты в пустоте при отсутствии сил земного тяготения (первая задача Циолковского). Решение этой задачи весьма полезно для сравнительного анализа летных характери стик ракетных систем. В то же время эта задача, строго говоря, неприменима для большинства ракет, полет которых происходит в поле действия гравитационных сил, и особенно для ракет, стартующих с поверхности Земли.
й V
Рис. 47. Схема сил, действую щих на ракету в гравитацион ном поле тяготения
Во второй задаче ракетодинамики, решенной К. Э. Циолков ским, исследуется прямолинейный вертикальный полет ракеты с учетом силы тяжести.
Рассмотрим вторую задачу Циолковского в более общем ви де для криволинейного движения ракеты (точки переменной мас сы) в неоднородном поле сил тяжести, как показано на рис. 47.
Запишем уравнение Мещерского в следующем виде:
М dt |
dt |
(2.40) |
— = - ~ W - M g a ( Q J , |
|
где go(9K) — средняя интегральная по времени величина уско рения под действием местного гравитационного поля, умножен ная на синус мгновенного угла наклона траектории полета (ме тодика определения этой величины приведена ниже, разд. 10.2 и 12.6); Ѳ — угол, составленный вектором скорости и местным горизонтом (мгновенный угол наклона траектории).
Закон изменения массы выразим в общем виде М = М0/Ц).
Запишем также
69
|
|
Далее на основании уравненияf ' |
w(2.- g40)? { Kполучим) . |
|
|||||||||||
|
|
Поскольку |
|
dV |
|
|
|
( t ) |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
dt |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
^f ( t ) |
|
dt |
|
f i t ) , |
|
|
||||||
TO |
dt |
= — W |
dt |
\nf {t)— gi (Ѳк). |
|
|
|
|
что ЛК=о=ЛЦ |
||||||
и |
|
Интегрирование этого уравнения при условии, |
|||||||||||||
|
/г=о= |
1, |
дает |
|
Ѵ = |
— |
Whif (t) |
gta |
(Ѳк). |
(2.41) |
|||||
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— |
|
|||
|
|
Для линейного закона изменения массы имеем |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
М |
|
|
|
|
|
и тогда |
|
|
|
fity- |
|
м п 1 -Р Л |
|
(2. 42) |
|||||||
|
|
|
V = |
W l n-1—ß* |
■ gte (Ѳк); |
Как будет показано ниже (см. разд. 10. 2), для реальной кон струкции ракеты существует оптимальное значение ѣй, которому соответствует максимальная конечная скорость полета.
Если движение ракеты происходит строго вертикально (вы сотный полет), когда Ѳ = 90°, то формула (2.42) принимает вид
V = W \n — ------- |
gt |
(2.43) |
|
или для конечной скорости |
ln - ------^ ) . |
(2.44) |
|
V K= W [ |
|||
\ Н-к |
Щ 1 |
|
|
|
|
Формула (2. 44) определяет конечную скорость ракеты при линейном законе изменения массы с учетом сил земного тяготе ния и является решением второй задачи Циолковского. Как вид но из формулы, скорость ракеты возрастает тем больше, чем с большей перегрузкой стартует ракета. При увеличении пере грузки происходит уменьшение потерь на силы тяжести (время работы двигателя сокращается), в результате чего конечная ско рость возрастает. Из формулы (2. 44) следует, что наибольшую конечную скорость можно получить при перегрузке п0, равной бесконечности (п0= о о ) . При этом двигатель как бы мгновен но сжигает топливо при тяге, равной бесконечности, исключая потери во времени на преодоление сил земного тяготения.
70
Очевидно, что в этом случае скорость была бы такой, как и при полете в отсутствии сил земного тяготения. Ранее получен ная формула (2. 25) является, таким образом, частным случаем формулы (2.44) при і ц ~ о о. Описанное явление, однако, имеет чисто теоретический интерес и характеризует влияние параметра «о без учета реальной конструкции ракеты.
2.12. ВТОРАЯ ЗАДАЧА ЦИОЛКОВСКОГО ДЛЯ ПОКАЗАТЕЛЬНОГО ЗАКОНА ИЗМЕНЕНИЯ МАССЫ
Для показательного закона изменения массы (2.9) имеет место
\ n f ( t ) = —ß/.
При этом формула скорости полета (2.41) перепишется так:
V = W p t - g t'(B K)
или
Г р / .
Поскольку
|
Щ |
W G с |
|
|
|
то |
g |
gPо ’«о—«о- |
(2.45) |
||
И = ^ 1— |
) П п Ц (/), |
||||
где текущее значение числа Ц равно |
Ц(/)— |
• |
|||
Конечная скорость при / = т и ц = р ,к запишется так |
|||||
|
= |
П0 ) |
П п - . |
(2.46) |
|
В случае |
\ |
|
|
[і.к |
|
вертикального полета при ст(Ѳ) = 1 получим |
|||||
|
Ѵ к = ( \ |
—) |
W |
ln Ц . |
(2.47) |
|
\ |
по/ |
|
|
|
Как и в случае линейного закона изменения массы, при по казательном законе конечная скорость при движении в поле сил земного тяготения тем больше, чем больше величина начальной перегрузки п0 (постоянной во время полета), т. е. чем меньше потери на преодоление сил тяжести. Весьма важно, что при п0= о о потери на преодоление сил тяжести равны нулю и оба закона (линейный и показательный) дают одинаковую конечную скорость.
71
Таким образом, если тяга изменяется по показательному за кону, при котором создаваемое ускорение постоянно, то в поле гравитационных сил конечная скорость отличается от конечной скорости, получаемой ракетой при линейном законе изменения
массы.
Это расхождение в скоростях обусловлено неодинаковым временем полета при работающих двигателях, а следовательно, и неодинаковыми потерями в скорости за счет силы тяжести.
Полет с постоянной перегрузкой создает наиболее приемле мые условия пилотируемого полета по сравнению с условиями полета при переменной перегрузке (непрерывно увеличивающей ся по мере расхода топлива). Однако постоянная перегрузка менее приемлема с чисто технической точки зрения, поскольку показательный закон изменения массы требует непрерывного дросселирования тяги двигателя. Такое дросселирование приво дит к неполному использованию эксплуатационных возможностей топливных насосов, трубопроводов, клапанов и самого двигателя на протяжении всего активного участка полета, исключая корот кое время после старта, где мощность двигателя форсируется полностью. Если расход топлива подчиняется показательному закону, время работы двигателя увеличивается, что, в свою оче редь, требует увеличения ресурса при его создании. Несмотря на это, практическое применение этого закона в будущем, как мы уже говорили (см. разд. 2.4), диктуется пилотируемыми си стемами типа ВКС (воздушно-космических самолетов).
Как и для линейного закона изменения массы, ниже будет показано, что при показательном законе изменения массы для реальной конструкции ракеты с учетом весовых, аэродинами ческих и других факторов существует оптимальное значение перегрузки, при которой скорость в конце полета достигает мак симальной величины.
2.13. ФОРМУЛА ЦИОЛКОВСКОГО ДЛЯ СОСТАВНОЙ РАКЕТЫ
В разд. 1.4 мы ознакомились со схемой составной ракеты, ее описанием и обозначениями. В соответствии с этим для каждой I-й ступени можно записать
,а кі
Если ракета состоит из п ступеней, то скорость полета в кон
це активного участка последней ступени будет равна сумме ско ростей по ступеням, т. е.
П
72
Если скорости истечения газа по ступеням одинаковы, т. е.
Wi = const,
то
П
или |
V K= W ln |
4 |
, |
(2.48) |
где |
|
Рк |
|
|
|
п |
|
|
(2.49) |
|
[4= П [Хк / . |
|
||
|
г-1 - |
|
|
Формула (2.48) определяет идеальную скорость составной ракеты (в пустоте без учета сил земного тяготения) и называет ся формулой Циолковского для составных ракет.
Можно записать также
Е „= ІіП п Ц * , |
(2.50) |
где
П
ц * = П Ц/ — приведенное число Циолковского. (2.51) г-і
Весовая отдача по конечному весу каждой ступени цКг всег да меньше единицы. При наличии п ступеней произведение
П
р-к = PJ (*к/ может оказаться достаточно малым, что соответству-
г=і
ет большой конечной скорости. Таким образом, принцип отброса масс по Циолковскому делает реальным достижение весьма больших скоростей полета, включая и космические скорости.
Формула Ц и о л к о в с к о г о (2.48), полученная для идеальных условий, дает верхний предел скорости. В действительных усло виях полета, как и для одноступенчатых ракет, необходимо учи тывать изменение скорости в результате действия сил земного тяготения, сил лобового сопротивления, изменения удельной тя ги с высотой и других факторов, связанных с выполнением про граммы полета.
Пример 2. 1. Получить зависимость для текущей весовой отдачи по топ ливу и конечному весу при линейном законе изменения массы.
Решение. Для линейного закона изменения массы имеет место
С т ( t ) = G j — Get.
7.4
Поделив обе части этого равенства на G о, получим
G T( f) = G T— ßf,
а также
p,„(f)=p,K + ßf.
Пример 2. 2. По аналогии с примером 2.1 записать выражения для теку
щих весовых отдач G T(f) и pi„(f) при показательном законе изменения массы. Решение. Текущий вес топлива в баке (во время полета) можно выра
зить так
(2. 10) имеет место |
GT(*)=GT_G c (Of- |
Поскольку для |
показательного закона изменения массы на основании |
Gc(f)=ßGoe-ß<,
то предыдущее равенство перепишется так:
|
G t (0 = |
G t— ßGde ~ p/f |
ИЛИ |
__ |
__ |
|
G T( 0 = G T— ßfe- *5', |
и затем
Цк(0 =Цк + Р&
Пример 2. 3. Доказать первый закон Циолковского для линейного закона изменения массы, исходя из выражения для перегрузки
пх (0 =
ßf
Решение. Запишем выражение для текущего ускорения как
Поскольку |
|
tf2// |
|
|
о; |
Яп |
|
||
|
а ^ ) = ~ П Г = 8 |
|
|
|
|
||||
|
П(о |
dt2 |
ьи1 — ßf |
л . |
|||||
то |
йЯ |
(* |
g |
0 |
|
щ |
|||
|
|
= і г |
== J |
|
|
T 3 i |
|
||
|
17 (0 = 80 |
In |
; |
ßf |
|
||||
|
1 |
|
ß1 - ßf
Т( 0 = - Г І П ( 1 - ßf).
Пример 2. 4. Показать, что
Решение. Тяга ракетного двигателя с идеально регулируемым соплом,
выраженная через скорость |
истечения, запишется |
как P — WMC. |
Поскольку |
|
Руд=И7*о. |
|
|
|
|
удельная тяга равна Р уд= Р ) О с, то получим Р ул = |
W |
gg |
. |
|
|
|
G c |
|
|
То есть удельная тяга |
численно составляет |
приблизительно |
десятую |
|
часть от скорости истечения. |
|
|
|
|
74
Пример 2. 5. Подсчитать, на каком расстоянии от Земли и Луны силы их притяжения становятся уравновешенными.
Решение. Расстояние между Землей и Луной составляет 60 земных ра диусов, а масса Земли в 81 раз больше массы Луны. В искомой точке х силы притяжения массы М Землей и Луной одинаковы, т. е.
|
М М |
М „ М |
|
|
V ------------ = |
V------------------------ |
|
|
X* |
(60#з — |
х)і |
или |
|
|
|
|
_81__________1 |
|
|
откуда |
*2 — (60^3 — -^)2 ’ |
||
|
*= 5 4 R з. |
|
|
Таким |
образом, точка, в которой |
уравновешены силы притяжения Зем |
ли и Луны, лежит на расстоянии 54 /?з от центра Земли. В решении через ѵ обозначен гравитационный параметр.
Пример 2. 6. Сравнить по конечной скорости линейный и показательный законы изменения массы при условии, что Яо=°°.
Решение. Имея зависимости (2.44) и (2.47), находим, что при п0=оо в обоих случаях имеет место одинаковая конечная скорость, определяемая
формулой Циолковского Р „— И71пЦ. |
|
Таким образом, конечная скорость |
точки переменной массы не зависит |
от закона расхода этой массы (режима |
работы двигателя). Заданному чис |
лу Циолковского в конце процесса отбрасывания соответствует вполне оп ределенная скорость движения точки, независимо от того, быстро или мед ленно происходило отбрасывание (сжигание) имеющегося запаса массы.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Г о р б а т е н к о С. А. и д р . Механика полета. М., «Машинострое ние», 4969, 420 с.
2.Л е в а н т о в с к и й В. И. Механика космического полета. М., «На ука», 1970, 491 с.
3.М е щ е р с к и й И. В. Динамика точки переменной массы. Спб., тип.
Имп. Акад. наук, 1897, 160 с. |
|
|
||||
4. |
С и н я р е в |
Г. |
Б., |
Д о б р о в о л ь с к и й М. В. |
Жидкостные |
ракет |
ные двигатели. М., Оборонгиз, 1957, 580 с. |
|
|
||||
5. |
Ц а н д е р |
Ф. |
А. |
Проблема полета при помощи реактивных аппара |
||
тов. Под ред. М. К. Тихонравова. [Сборник статей]. М., Оборонгиз,, 4961, |
459 с. |
|||||
6. |
Ц и о л к о в с к и й |
К. Э. Реактивные летательные |
аппараты. — |
Собр. |
||
соч., т. |
2. М., Изд-во АН |
С С С Р , 1954, 455 с. |
|
|
Г л а в а III
ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ РАСЧЕТНЫЕ СЛУЧАИ НАГРУЖЕНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИИ РАКЕТ
При выполнении весовых расчетов необходимо знание толь ко тех действующих на ракету сил, которые являются опреде ляющими с точки зрения веса для данного элемента конст рукции.
Существующие «нормы прочности» в силу своей приспособ ленности к уже определившейся конструкции содержат не один,, а ряд расчетных случаев (основных и поверочных), применить которые при выполнении весовых расчетов на начальном этапе проектирования нельзя, поскольку сами расчетные случаи, веса и нагрузки являются искомыми.
Рис. 48. Схема деления ракет на отсеки. Приведены ракеты «Атлас-Эіібл» (а}
и «Атлас-Центавр» (б)
Таким образом, возникает необходимость в изучении каких-то других зависимостей, соотношений или критериев, которые бы указывали на доминирующие весовые нагрузки уже в самом начале по параметрам, задаваемым при проектировании. Рас четные случаи, указывающие на такие экстремальные нагрузки, условимся называть «весовыми расчетными случаями».
Отыскание расчетных случаев будем производить, рассматри вая осевые сжимающие силы N x (t), являющиеся доминирующи
ми с точки зрения определения веса работающего элемента кон струкции.
76