книги из ГПНТБ / Москаленко Г.М. Инженерные методы проектирования в ракетодинамике

муле (2. 29) будет равно

G c

или

где GT = GT/G0— весовая отдача по топливу, равная отношению веса топлив GT к стартовому весу G0; pK= G K/G0 — весовая отда­ ча по конечному весу, равная отношению конечного веса (вме­ сте с полезным грузом) к стартовому весу G0.

При этом максимальное значение осевой перегрузки запишет­ ся так:

Для случая показательного закона изменения массы в соот­

Это означает, что при показательном законе изменения мас­ сы осевая перегрузка во время полета на работающем двигателе

щем виде через текущее ускорение ракеты и ускорение сил зем­

Это означает, что перегрузка n(t) характеризует число, по­ казывающее во сколько раз текущее ускорение ракеты больше земного ускорения на уровне моря.

2. 10. ВРЕМЯ ПОЛЕТА ПРИ РАБОТАЮЩЕМ ДВИГАТЕЛЕ

Полное время работы двигателя т равно отношению веса топ­ лива GT к его секундному расходу Gc, т. е. т= G T/GC.

Для линейного закона изменения массы%имеет место Gc= = const, что на основании выражения для идеальной тяги (2.5)

Полное время полета т, определяемое формулой (2.35), не изменится, если в этой формуле произвести замену п0 на п0п и РудНаР^я.

Поскольку коэффициент расхода массы ß = G c/G0 можно представить как ß = n o / P >то можно получить также

Для показательного закона изменения массы логарифмирова­ нием выражения (2. 9) находим

ческому закону (2.37). Его можно сформулировать следующим образом:

если пассивная плюс активная массы возрастают в геомет­ рической прогрессии, то скорость точки увеличивается в про­ грессии арифметической.

В самом деле, формулу (2.37), записанную для полного вре­ мени полета t = x при G<=T = G K, можно представить так:

р т = 1п -^ - GK

и, следовательно, если отношение G0/GK будет последовательно принимать значения 2, 4, 8, 16, 3 2 ,..., то безразмерное время ßt будет принимать значения ßt = ln2, 2ßx, 3ßt, 4ßt,. . .

Вспоминая теорему Циолковского, вытекающую из его пер­ вого закона, легко видеть, что изменение параметров V-nfW (при линейном законе изменения массы) и ßx (при показательном за­ коне изменения массы) происходит по одинаковому (логариф­ мическому) закону.

Полное время полета, выраженное через число Циолковско­ го, будет равно

Разделив (2. 38) на (2. 36), получим

Это означает, что при одинаковых коэффициентах расхода массы время полета на активном участке при показательном

законе изменения массы тПок больше в х раз по сравнению со временем полета на активном участке при линейном законе из­ менения массы Тдин (см. разд. 10.4). Так, если весовая отдача

68

G t = 0,9, то увеличение времени полета при показательном за­ коне изменения массы составит т^2,55 раза.

2.11. ВТОРАЯ ЗАДАЧА ЦИОЛКОВСКОГО ДЛЯ ЛИНЕЙНОГО ЗАКОНА ИЗМЕНЕНИЯ МАССЫ

Ранее (см. разд. 2. 8) была рассмотрена задача определения скорости полета ракеты в пустоте при отсутствии сил земного тяготения (первая задача Циолковского). Решение этой задачи весьма полезно для сравнительного анализа летных характери­ стик ракетных систем. В то же время эта задача, строго говоря, неприменима для большинства ракет, полет которых происходит в поле действия гравитационных сил, и особенно для ракет, стартующих с поверхности Земли.

й V

Рис. 47. Схема сил, действую щих на ракету в гравитацион ном поле тяготения

Во второй задаче ракетодинамики, решенной К. Э. Циолков­ ским, исследуется прямолинейный вертикальный полет ракеты с учетом силы тяжести.

Рассмотрим вторую задачу Циолковского в более общем ви­ де для криволинейного движения ракеты (точки переменной мас­ сы) в неоднородном поле сил тяжести, как показано на рис. 47.

Запишем уравнение Мещерского в следующем виде:

где go(9K) — средняя интегральная по времени величина уско­ рения под действием местного гравитационного поля, умножен­ ная на синус мгновенного угла наклона траектории полета (ме­ тодика определения этой величины приведена ниже, разд. 10.2 и 12.6); Ѳ — угол, составленный вектором скорости и местным горизонтом (мгновенный угол наклона траектории).

Закон изменения массы выразим в общем виде М = М0/Ц).

Запишем также

69

Как будет показано ниже (см. разд. 10. 2), для реальной кон­ струкции ракеты существует оптимальное значение ѣй, которому соответствует максимальная конечная скорость полета.

Если движение ракеты происходит строго вертикально (вы­ сотный полет), когда Ѳ = 90°, то формула (2.42) принимает вид

Формула (2. 44) определяет конечную скорость ракеты при линейном законе изменения массы с учетом сил земного тяготе­ ния и является решением второй задачи Циолковского. Как вид­ но из формулы, скорость ракеты возрастает тем больше, чем с большей перегрузкой стартует ракета. При увеличении пере­ грузки происходит уменьшение потерь на силы тяжести (время работы двигателя сокращается), в результате чего конечная ско­ рость возрастает. Из формулы (2. 44) следует, что наибольшую конечную скорость можно получить при перегрузке п0, равной бесконечности (п0= о о ) . При этом двигатель как бы мгновен­ но сжигает топливо при тяге, равной бесконечности, исключая потери во времени на преодоление сил земного тяготения.

70

Очевидно, что в этом случае скорость была бы такой, как и при полете в отсутствии сил земного тяготения. Ранее получен­ ная формула (2. 25) является, таким образом, частным случаем формулы (2.44) при і ц ~ о о. Описанное явление, однако, имеет чисто теоретический интерес и характеризует влияние параметра «о без учета реальной конструкции ракеты.

2.12. ВТОРАЯ ЗАДАЧА ЦИОЛКОВСКОГО ДЛЯ ПОКАЗАТЕЛЬНОГО ЗАКОНА ИЗМЕНЕНИЯ МАССЫ

Для показательного закона изменения массы (2.9) имеет место

\ n f ( t ) = —ß/.

При этом формула скорости полета (2.41) перепишется так:

V = W p t - g t'(B K)

или

Г р / .

Поскольку

Как и в случае линейного закона изменения массы, при по­ казательном законе конечная скорость при движении в поле сил земного тяготения тем больше, чем больше величина начальной перегрузки п0 (постоянной во время полета), т. е. чем меньше потери на преодоление сил тяжести. Весьма важно, что при п0= о о потери на преодоление сил тяжести равны нулю и оба закона (линейный и показательный) дают одинаковую конечную скорость.

71

Таким образом, если тяга изменяется по показательному за­ кону, при котором создаваемое ускорение постоянно, то в поле гравитационных сил конечная скорость отличается от конечной скорости, получаемой ракетой при линейном законе изменения

массы.

Это расхождение в скоростях обусловлено неодинаковым временем полета при работающих двигателях, а следовательно, и неодинаковыми потерями в скорости за счет силы тяжести.

Полет с постоянной перегрузкой создает наиболее приемле­ мые условия пилотируемого полета по сравнению с условиями полета при переменной перегрузке (непрерывно увеличивающей­ ся по мере расхода топлива). Однако постоянная перегрузка менее приемлема с чисто технической точки зрения, поскольку показательный закон изменения массы требует непрерывного дросселирования тяги двигателя. Такое дросселирование приво­ дит к неполному использованию эксплуатационных возможностей топливных насосов, трубопроводов, клапанов и самого двигателя на протяжении всего активного участка полета, исключая корот­ кое время после старта, где мощность двигателя форсируется полностью. Если расход топлива подчиняется показательному закону, время работы двигателя увеличивается, что, в свою оче­ редь, требует увеличения ресурса при его создании. Несмотря на это, практическое применение этого закона в будущем, как мы уже говорили (см. разд. 2.4), диктуется пилотируемыми си­ стемами типа ВКС (воздушно-космических самолетов).

Как и для линейного закона изменения массы, ниже будет показано, что при показательном законе изменения массы для реальной конструкции ракеты с учетом весовых, аэродинами­ ческих и других факторов существует оптимальное значение перегрузки, при которой скорость в конце полета достигает мак­ симальной величины.

2.13. ФОРМУЛА ЦИОЛКОВСКОГО ДЛЯ СОСТАВНОЙ РАКЕТЫ

В разд. 1.4 мы ознакомились со схемой составной ракеты, ее описанием и обозначениями. В соответствии с этим для каждой I-й ступени можно записать

,а кі

Если ракета состоит из п ступеней, то скорость полета в кон­

це активного участка последней ступени будет равна сумме ско­ ростей по ступеням, т. е.

П

72

Если скорости истечения газа по ступеням одинаковы, т. е.

Wi = const,

то

П

Формула (2.48) определяет идеальную скорость составной ракеты (в пустоте без учета сил земного тяготения) и называет­ ся формулой Циолковского для составных ракет.

Можно записать также

где

П

ц * = П Ц/ — приведенное число Циолковского. (2.51) г-і

Весовая отдача по конечному весу каждой ступени цКг всег­ да меньше единицы. При наличии п ступеней произведение

П

р-к = PJ (*к/ может оказаться достаточно малым, что соответству-

г=і

ет большой конечной скорости. Таким образом, принцип отброса масс по Циолковскому делает реальным достижение весьма больших скоростей полета, включая и космические скорости.

Формула Ц и о л к о в с к о г о (2.48), полученная для идеальных условий, дает верхний предел скорости. В действительных усло­ виях полета, как и для одноступенчатых ракет, необходимо учи­ тывать изменение скорости в результате действия сил земного тяготения, сил лобового сопротивления, изменения удельной тя­ ги с высотой и других факторов, связанных с выполнением про­ граммы полета.

Пример 2. 1. Получить зависимость для текущей весовой отдачи по топ­ ливу и конечному весу при линейном законе изменения массы.

Решение. Для линейного закона изменения массы имеет место

С т ( t ) = G j — Get.

7.4

Поделив обе части этого равенства на G о, получим

G T( f) = G T— ßf,

а также

p,„(f)=p,K + ßf.

Пример 2. 2. По аналогии с примером 2.1 записать выражения для теку­

щих весовых отдач G T(f) и pi„(f) при показательном законе изменения массы. Решение. Текущий вес топлива в баке (во время полета) можно выра­

зить так

Gc(f)=ßGoe-ß<,

то предыдущее равенство перепишется так:

и затем

Цк(0 =Цк + Р&

Пример 2. 3. Доказать первый закон Циолковского для линейного закона изменения массы, исходя из выражения для перегрузки

пх (0 =

ßf

Решение. Запишем выражение для текущего ускорения как

ß1 - ßf

Т( 0 = - Г І П ( 1 - ßf).

Пример 2. 4. Показать, что

Решение. Тяга ракетного двигателя с идеально регулируемым соплом,

74

Г л а в а III

ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ РАСЧЕТНЫЕ СЛУЧАИ НАГРУЖЕНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИИ РАКЕТ

При выполнении весовых расчетов необходимо знание толь­ ко тех действующих на ракету сил, которые являются опреде­ ляющими с точки зрения веса для данного элемента конст­ рукции.

Существующие «нормы прочности» в силу своей приспособ­ ленности к уже определившейся конструкции содержат не один,, а ряд расчетных случаев (основных и поверочных), применить которые при выполнении весовых расчетов на начальном этапе проектирования нельзя, поскольку сами расчетные случаи, веса и нагрузки являются искомыми.

Рис. 48. Схема деления ракет на отсеки. Приведены ракеты «Атлас-Эіібл» (а}

и «Атлас-Центавр» (б)

Таким образом, возникает необходимость в изучении каких-то других зависимостей, соотношений или критериев, которые бы указывали на доминирующие весовые нагрузки уже в самом начале по параметрам, задаваемым при проектировании. Рас­ четные случаи, указывающие на такие экстремальные нагрузки, условимся называть «весовыми расчетными случаями».

Отыскание расчетных случаев будем производить, рассматри­ вая осевые сжимающие силы N x (t), являющиеся доминирующи­

ми с точки зрения определения веса работающего элемента кон­ струкции.

76