книги из ГПНТБ / Москаленко Г.М. Инженерные методы проектирования в ракетодинамике

поненциальный) закон. Ниже главное внимание будет уделено линейному закону изменения массы, поскольку этот закон полу­ чил широкое применение для подавляющего большинства совре­ менных ракетных летательных аппаратов.

2.2. ИДЕАЛЬНАЯ ТЯГА

Понятие идеальной тяги имеет место для двигателя с иде­ альным соплом, у которого давление истекающей струи газов на срезе сопла рср равно окружающему статическому давлению среды ра. Конструктивно такие сопла не всегда выполнимы, по­ скольку по мере подъема ракеты на высоту их выходные сечения должны менять площадь от величины F cp на уровне моря до ве­ личины F cv= оо в пустоте.

Для подсчета тяги, создаваемой ракетным двигателем в пу­ стоте, применим (формально) второй закон Ньютона. В вектор­

где Р — сила тяги двигателя; MW — количество движения от­ брасываемой струи в системе координат, связанной с ракетой.

Следует помнить, что это уравнение неприменимо к воздуш­ но-реактивным двигателям типа, скажем, турбореактивного. В этом случае должно быть учтено начальное количество дви­ жения струи, заключенное в набегающем потоке. Поскольку ра­ кетная система несет запас рабочего тела с собой, выражение (2. 2) пригодно для наших целей.

Продифференцировав выражение (2. 2), получим

Для большинства реактивных двигателей последний член в правой части уравнения (2.3) равен нулю, так как преоблада­ ют системы с постоянной скоростью истечения. В результате мы приходим к выражению

Это и есть выражение для идеальной ракетной тяги. Как вид­ но из формулы (2.5), величина ракетной тяги тем больше, чем больше секундный расход массы и чем больше скорость истече­ ния активной массы (продуктов сгорания топлива).

57

2.3. Л И Н ЕЙ Н Ы Й ЗА КО Н И ЗМ ЕН ЕН И Я М АССЫ

Для линейного закона изменения массы имеет место следую­ щая зависимость:

(2. 6)

или

где M(t) — текущая масса; М 0— начальная масса; t — текущее время полета; ß = M c/M0— коэффициент расхода массы.

Коэффициент расхода массы ß характеризует ту часть на­ чальной массы ракеты М 0, которая расходуется каждую секун­ ду для создания реактивной тяги. Поскольку величина коэффи­ циента ß остается постоянной в течение полета (ß = const), то, очевидно, что М с= ßM0 = const. При этом, как следует из выра­ жения (2.5), тяга двигателя также остается постоянной и рав­ ной Р = Щ Ш о — const.

Для текущего ускорения, обусловленного действием силы тя­ ги, получим следующее выражение:

Р

a{t)

M ( t ) M ( t )

или, принимая во внимание (2. 7),

Следовательно, при постоянной тяге (линейном законе изме­ нения массы) движение происходит с переменным ускорением.

2.4.ПОКАЗАТЕЛЬНЫЙ ЗАКОН ИЗМЕНЕНИЯ МАССЫ

При показательном законе изменения массы имеет место сле­ дующая зависимость:

Выражение (2. 10) показывает, что при показательном зако­ не изменения массы, секундный расход топлива пропорционален текущей массе ракеты.

58

Воспользовавшись формулой (2.4), получим следующее вы­ ражение для тяги двигателя:

Это означает, что показательный закон изменения массы со­ ответствует движению с переменной тягой. При этом изменение тяги пропорционально изменению массы ракеты. Такое движениеракеты может быть осуществлено при наличии двигателя с регу­ лируемой в полете тягой.

Ускорение, имеющее место на активном участке полета, бу­

кон изменения массы соответствует движению точки с постоянным^реактивным ускррением.

Практическое применение показательного закона вытекает из необходимости обеспечения в будущем постоянных перегру­ зок n.v(/)=const для многократно используемых космических систем, предназначенных для перевозки пассажиров и грузов на дальние расстояния в пределах земного шара или для полетов по трассе Земля — орбита — Земля.

Его применение особенно характерно для одноступенчатых летательных аппаратов типа «Астроплан», полет которых проис­ ходит без отброса пассивных масс и, следовательно, требующих дросселирования тяги двигателей для уменьшения растущих в полете продольных ускорений.

2. 5. ТЯГА РАКЕТНОГО ДВИГАТЕЛЯ

Выше было рассмотрено образование ракетной тяги в иде­ альных условиях (без учета влияния среды и конструктивных особенностей самого двигателя).

Сила тяги ракетного двигателя в реальных условиях пред­ ставляет собой осевую равнодействующую сил давления, рас­ пределенных по всей его внешней и внутренней поверхности.

Равенство (2. 13) выражает текущее значение тяги двигате­ ля, зависящее от высоты полета ракеты. Оно показывает, что

№

Экспериментаторы называют эту тягу «стендовой» тягой, по­ скольку она определяется замерами при стендовых испытаниях двигателей.

Имея выражения (2. 14) и (2. 15), можно записать

Последний член правой части выражения (2. 16) учитывает увеличение тяги с высотой за счет уменьшения атмосферного давления. Этот член называется барометрической добавкой тя­ ги и его можно обозначить так:

Это выражение является одновременно и высотной характе­ ристикой двигателя, поскольку оно характеризует изменение (прирост) тяги с высотой Я .

Легко видеть, что вели­ чина барометрической до­ бавки тяги тем больше, чем

60

максимальное значение барометрической добавки тяги в пусто­

виях тем больше, чем больше площадь его выходного сечения. Величина тяги, отнесенная к ее первоначальному стартовому

Характер изменения безразмерной тяги Р при полете балли­ стической ракеты на активном участке траектории (в функции времени t) представлен на рис. 42. Для жидкостных ракет уве­ личение тяги с высотой составляет 12— 18%.

2.6. УДЕЛЬНАЯ ТЯГА

Удельная тяга является одной из главных характеристик ра­ кетных топлив и ракетных двигателей.

Удельной тягой называют тягу двигателя, отнесенную к се­ кундному весовому расходу топлива, т. е.

где G c= M cgo — секундный расход топлива, выраженный в кгс/с.

Ранее было показано (см. разд. 2.5), что тяга двигателя не остается постоянной при изменении высоты полета. Ее величина

меняется от Р = Р 0 (на уровне моря) ДО P = P + APmax— Ртах в пустоте. В связи с этим различают удельную тягу «земную» (на уровне моря Р°д ) и «пустотную» (в пустоте Рул ). Их выражения

соответственно имеют вид

Легко понять, что увеличение удельной тяги с высотой является следствием увеличения абсолютной тяги двигателя. При этом се­ кундный расход топлива не меняется. Очевидно, что максималь­ ное увеличение удельной тяги в пустоте составляет такой же про­

цент, как и для самой тяги.

На величину удельной тяги влияет также давление в камере сгорания рі, при котором происходит процесс образования газо-

61

образной активной массы. Такая зависимость для некоторых топливных пар приведена на рис. 43. Из графика видно, что уве­

зом как характеристику топлива. Так например, при проектиро­ вании ракет и при расчете их дальности, для двигательной уста­ новки задают определенное значение удельной тяги, предпола­ гая при этом, что конструкция двигателя является достаточно рациональной.

2.7.ОСНОВНОЕ УРАВНЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ РАКЕТЫ

Вклассической механике масса точки (или системы точек) всегда принимается постоянной. При изложении методов этой механики исходят главным образом из 2-го закона движения Ньютона, устанавливающего соотношение между силами, дейст­ вующими на материальную точку, и ее ускорением (поступатель­ ным движением).

Однако, если во время движения происходит истечение или присоединение массы, то зависимость между действующими си­ лами и ускорением точки должна быть сформулирована в более общей форме.

Такая задача была решена русским ученым, профессором

Петербургского политехнического института И. В. Мещерским в

1897 г. [3].

Так как полет ракеты происходит в результате отброса актив­ ных масс (горючего, окислителя), ее можно рассматривать как материальную точку переменной массы. В таком движении на

62

нее действуют сила тяги, гравитационная сила и аэродинамиче­ ские силы (сопротивление и подъемная сила).

Основное уравнение движения ракеты (уравнение Мещерско­ го) записывается следующим образом:

I- 1

сумма действующих во время полета сил, выраженная в вектор­ ной форме.

Уравнение вида (2. 22) справедливо для большого класса за­ дач, относящихся к современной ракетной технике, поскольку в них допустимо считать относительную скорость излучаемых ча­ стиц (скорость истечения продуктов горения топлива) посто­ янной.

2.8. ПЕРВАЯ ЗАДАЧА ЦИОЛКОВСКОГО

Пусть точка переменной массы движется в пустоте без внеш­ них сил за счет отброса активной массы. Требуется определить закон изменения скорости по мере расхода активной массы.

Эту задачу, относящуюся к частным задачам динамики точ­ ки переменной массы, впервые поставленную и решенную К. Э. Циолковским, называют первой задачей Циолковского.

м

Рис. 44. Схема для вывода формулы Циолков­ ского

Составим уравнение движения точки переменной массы, ис­

пользуя ранее приведенное уравнение Мещерского (2.22). В на-

П

шем случае имеет место ^/•'/ = 0. Поскольку точка переменной

/-1

массы имеет относительную скорость истечения частиц, посто­

63

Принимая № = const, из уравнения (2.23), получим

\äV=~w\ ^ '

Полученное равенство называют формулой (или законом) Ци­ олковского.

Из формулы Циолковского следуют важные выводы. Во-пер­ вых, скорость ракеты непрерывно возрастает при увеличении от­ ношения начальной массы ракеты к ее конечной массе; во-вторых, скорость ра­ кеты пропорциональна скорости истече­ ния продуктов сгорания топлива; в-треть­ их, увеличение скорости полета более эффективно благодаря повышению ско­ рости истечения, чем вследствие увеличе­ ния относительного запаса топлива (т. е.

увеличения отношения начальной массы к конечной массе); и, в-четвертых, наи­ большая скорость в пустоте (к моменту

Рис. 45. Влияние скорости истечения и числа Ци­ олковского на конечную скорость

полного расхода активной массы) в отсутствии сил земного тяго­ тения (т. е. в идеальных условиях) не зависит от закона расхода массы, а зависит только от ее относительного запаса (т. е. от числа Циолковского).

Скорость в конце полета Ѵ = Ѵ К (конечная скорость) при пол­ ном израсходовании активной массы, когда имеет место М = Ми (конечная масса), будет равна

где Ц = Мо/’Мк — число Циолковского.

Скорость истечения продуктов сгорания топлива характери­ зует эффективность топлива как носителя энергии высокой кон-

64

центрадии и является предметом исследований в области химии и ракетных двигателей.

Число Циолковского, показывающее во сколько раз стартовый вес ракеты больше ее конечного веса, характеризует совершен­ ство конструкции ракеты в делом и является предметом иссле­ дований в области проектирования ракет. Очевидно, что увели­ чение скорости полета ракеты может быть достигнуто путем одновременного увеличения скорости истечения продуктов сго­ рания топлива и числа Циолковского (рис. 45).

2.9. СТАРТОВАЯ ПЕРЕГРУЗКА

Коэффициентом перегрузки или просто перегрузкой, действу­ ющей вдоль продольной оси ракеты, называется число, показы­ вающее во сколько раз тяга ракеты (за вычетом аэродинамиче­ ских сил сопротивления) больше ее веса

та тяга, которая соответствует стартовым условиям на данной

ражение для начальной осевой перегрузки в пустоте запишется так:

(2.28)

Пользуясь линейным законом изменения массы (2.7), легко записать для пустотных условий

(2. 29)

Как показывают расчеты, на участке пролета атмосферы си­ лы лобового сопротивления в значительной мере компенсируют высотную добавку тяги, благодаря чему с достаточной для весо­ вых расчетов точностью можно записать для этого участка

Этому случаю, вместо теоретической точки 2, соответствует слу­ чай, отмеченный точкой 3. Расстояние между этими точками со­ ставляет время порядка = 1,5-4-3 с. Ввиду малости расхода топлива за время At, перегрузки в точках 2 и 3 практически оди­ наковы. Несовпадение кривых на отдельных участках объясня­ ется неучетом сил АР и X при построении зависимости nx (t) по формуле (2.30). Точка 4 соответствует наибольшему значению перегрузи!, достигаемой ракетой в момент выключения двигате­ ля. В этот момент времени t— т, а произведение ß ?= ß t в фор-

66