дФ |
Ѵі |
|
[« («к)]I |
Yi+X - |
|
=0, |
|
|
двг |
|
|
|
|
дФ |
Yu |
W и |
|
|
|
|
|
|
И-кІ |
“И 3 (M lnYii^II “Ь^ — |
—о> |
|
дФ |
^кП |
|
|
= , |
деи |
|
|
|
|
|
|
|
еп |
|
М-КІІ111I |
|
ui ”Ь Ка (^кЛіііѴпі1^ in -{—X - |
0 |
|
|
|
д е щ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
£I11 |
дФ |
Уп w „ |
|
|
|
ynW п |
+ |
* |
=0, |
|
дФ |
|
|
|
|
п |
|
+ [3 (Ѳк)]/І |
|
|
деп |
|
|
|
|
|
|
|
— Ä£ |
= 0 , |
|
дп |
■01 |
*' |
|
|
|
|
|
|
|
(12.5) |
|
(Ч<1 |
|
|
|
|
|
e«oi |
|
дФ |
■ ^ + ( о ТІ,+ і „ й і ) - № а и - = о , |
|
Ö«QH |
('•кН |
|
|
|
|
|
|
|
(«он) |
|
|
дФ |
'■ (OIIII + |
|
|
|
|
= 0, |
|
дпош |
‘ ш |
|
*111n J ,„ ) - M i % |
|
дФ |
М-кІ 11 |
|
|
|
|
|
|
|
(«0111)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
(n\ |
|
|
|
|
Н-к n |
|
(от„ + ^ ) ^ - = 0 , |
|
dnln |
|
|
|
|
10.5), |
|
Jl.) |
|
|
где, как и ранее (см. разд. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ло |
|
^-[Л + |
ѵ (?-1)]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
W, |
(12.5), получим следующие рекур |
Решив систему уравнений |
рентные соотношения |
|
|
|
|
|
|
|
EiU iYiU^! — £iiU iiYii^iit
£ i i U i i Y i i ^ i i = e n i U i i i Y i i i ^ i n >
£л—л Д л —lY n —т У ^ n —l — в п И п У п ^ п
атакже зависимости
Им |
|
0,5 |
[а (Ѳк)]J , |
Г |
0,5ст Ѳк)]і |
, |
С7 [а(Ѳк)]І |
|
= |
|
ki |
- |
/иОо[(ОкПі\2 |
I |
Оті |
1а |
|
|
-ѴкІ |
kl J |
|
Н-КІ |
|
-—-------------р |
|
I _£_ |
JÜ2. I |
|
^i |
|
|
|
£ |
Іо |
|
|
+ % |
„п |
|
i%i |
|
|
|
|
|
|
|
__ [° (®к)]іі |
|
|
|
|
|
|
"он — ------ö------^к” ' |
+ ^ t i m i L |
|
|
|
„п |
|
_[« (вк)]іІІ.. |
|
|
|
" о т — |
Ö |
|
|
|
>)
1/2
и, т]1/2
в, „ Л т у
п п - |
t° (вк)]П |
|
|
|
[в(вк)]Лі1 |
|
\ 2 |
, [« |
(вк)]л |
|
|
1/2 |
|
|
|
|
|
|
1*1!/.+ |
|
■ Лея |
|
|
|
^тлН1к |
n |
|
|
|
|
|
" ' O n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В общем виде это запишется так |
k n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(12.8) |
|
иОі |
■ |
0.5 [ч (flK)]/ |
/ |
= OSi+iUz+iYz+i^z+x,> 5 [ q ( 0 Ki) ] |
/ |
|
V |
1/2 |
|
|
|
|
\ |
l'-K i |
k i |
/ |
|
GT [o (0K)]/ |
, |
(12.9) |
|
|
|
Ң-к/ |
|
ki |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
| i]o i |
I |
Zi_ |
)to/ |
I |
|
Z i k t |
|
|
|
|
где |
|
|
Ь |
|
|
|
|
|
|
|
|
noi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ц/ = |
Цг — [з(Ѳк)Ь, |
С 'sin Ѳ ^ . |
(12.10) |
|
|
|
|
|
|
«ог |
|
|
[з(Ѳк)]г = |
— |
(12.11) |
|
|
|
|
|
|
зг |
|
|
|
|
|
х і |
J |
|
|
|
|
|
|
|
Равенство (12.8) представляет собой известное уже нам |
условие |
оптимальности, |
но |
|
записанное |
в самом |
общем |
виде |
с учетом |
гравитационных потерь, высотной характеристики дви |
гателя и аэродинамического сопротивления среды. |
|
|
|
|
Знакомое уже нам другое выражение |
(12.9) |
показывает, что |
оптимальные |
перегрузки по ступеням |
составных |
|
ракет опреде |
ляются такими же зависимостями, как |
и |
для |
одноступенчатых |
ракет. Этот вывод имеет важное значение для разработки |
про |
стейших методов определения оптимальных значений |
основных |
параметров многоступенчатых ракет. |
|
|
|
|
|
|
|
|
12.2. ОБЩ ИЙ СЛУЧАЙ Р А СП Р Е Д Е Л Е Н И Я М А СС
МЕТОДОМ СМ Е Ж Н Ы Х СТУПЕН ЕЙ
Воспользовавшись условиями оптимальности (12.8) и основ ной весовой зависимостью (6. 10) можно записать для каждой пары смежных ступеней
1 |
— |
[° |
(®к)] 1lH-эффІ |
I — |
_Ѵі |
|
|
л_ - |
(Ѳк)]і |
|
|
|
|
F ,i |
ЕІ (ІДі — ~ [о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
|
|
Р'ЭффП |
/ |
|
1 — |
Yll [о (Ѳк)]іІ |
|
|
|
Ц - |
|
|
\ Ѵт |
|
|
|
( 12. 12) |
- р — |
\ |
т [ » ( Ч к ) ] , |
|
— |
|
£j = 0, |
|
ГСЪ |
|
J __________ |
/ Ѵп |
|
|
|
|
|
[° |
|
Yu f3 (вк)]ц |
|
Yir |
|
(ІДп — |
|
(Ѳк)]п) |
1 — |
( Ѳк )]іП Р эф ф Yin [° (ѳк)]ш |
[3 |
|
|
|
ІІІ — |
|
ш |
Е ц |
|
- H I + |
"in |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
НэффІІІ |
|
[° (&ОУ],,) ^ |
£n —0, |
|
1 |
^ n i |
|
|
|
|
|
|
________ Yin |
|
|
|
|
|
|
Yin |
|
k)]rjI |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
лМ-эфф n |
— ==.' e « - ! ( Ц л_ , |
- |
[а (Ѳк)]л_ ! ) |
} ( 1 2 . 1 2 ) |
[3 (®к)]Wn |
|
;2______________ |
|
|
|
Vn [« |
|
----------------- V |
f |
[^эфф n |
(Ц„_! - |
[a (Ѳ ,)]^) Yn-i |
I |
Wn |
|
Уп [a (Ѳк)]я |
|
Yn |
s n- |
1 = |
0. |
|
где |
W, |
|
Z lL |
|
P ir _ _ Z l iL |
|
|
W„: |
|
|
|
|
|
|
’ |
i i y _ ^ |
|
|
|
|
W,I |
’ |
|
11 |
W |
, • |
|
" |
имеет вид |
Решение каждого из уравнений системы (12. 12) |
где |
|
|
|
= 7 + 1 — ' |
|
|
11 |
|
|
|
(12.-3, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Уі |
|
|
i l Ä |
|
Рі |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1- [ “ (9>)],+.І*.м „ +У1)-t°=(У^],. , ( ц , _ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
і |
|
|
|
|
|
|
|
|
Н-зфф(г-ц) |
/ |
_ МУЕЛ |
Уі |
|
|
|
|
|
|
W : , , |
\ |
1 |
Z |
) |
Уі~1 |
|
|
|
|
|
|
|
Ѵ / т і И О У Е - і |
|
|
1 |
|
Все параметры, входящие в систему уравнений (12.12), кроме параметров еі, ец, ещ ,. . . , еп, являются задаваемыми ве личинами при проектировании. Определение коэффициента рас пределения масс ец следует вести, задавшись произвольным значением коэффициента еі или определив его, например, по закону геометрической прогрессии. Тогда, подсчитав значение
U,! = U ,i---- Ц а(Ѳк)]і, определим величину ец решением первого
уравнения системы (12.12) по формуле (12.13) как для двух
ступенчатой ракеты со ступенями I |
и II. Если перегрузка |
п0І |
6 |
|
|
не задана, ее следует уточнить на |
оптимальность по формуле |
(12.9) и расчет по определению |
ец |
повторить. Найденное зна |
|
|
|
чение коэффициента ец является входным значением во второе
уравнение системы |
(12. 12) |
для определения коэффициента ещ |
по той же формуле |
(12. 13) |
как для двухступенчатой ракеты, но |
уже со ступенями II и III. Этот расчет следует также повторить, |
10 |
3479 |
|
289 |
если перегрузка второй ступени п\(п не задана постоянной вели чиной. Таким образом каждый найденный коэффициент е* яв
ляется входным в |
формулу |
|
(12. 13) для |
|
определения |
коэффи |
циента ег-+і. Если |
количество |
ступеней |
задано, расчет прекра |
щается после определения коэффициента еп. |
|
|
|
|
Решение системы уравнений |
(12. 12) |
целесообразно произво |
дить для |
|
ряда |
задаваемых |
значений |
|
коэффициента |
еі |
с последующим построением графиков, как показано на рис. |
167 |
и 168. Оптимальные значения параметров |
|
определяются либо |
по заданной грузоподъемности е*, либо |
|
по |
заданной |
конечной |
скорости |
Ѵк. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Как видно из приведенных графиков одинаковой грузоподъ |
емности е* соответствуют два решения 8 + |
ь |
Обычно параметры е; |
|
|
|
|
|
|
|
і |
|
|
|
|
|
|
выбираются по левому участку кривых |
е*(еі), где на графике |
имеет место |
gi+ i ^ |
(ei+i)max- |
При этом распределение масс обес |
печивает |
|
большую конечную |
скорость |
|
Ѵк, |
чем на |
участке |
|
|
|
|
|
6 г + 1 > ( б г + і) max-
Пользуясь условиями оптимальности (12.8), а также основ ной весовой зависимостью (6. 10), можно показать еще, что
|
|
|
, Ц/-Н (вк)]г, |
І |
|
, |
|
|
/+1 |
* |
-- |
|
(ѵ^к |
^эфф |
і) |
Ц 2 — |
[3 (в,)] |
I |
_________ |
Wі± |
1____________________ |
иЧ +1 |
[ст(9к)]г+і |
|
Q |
|
|
|
|
|
|
|
|
Рэфф(Л-І) |
|
|
|
гАэфф(;+і)
Очевидно, что уравнения (12.12) и (12.14) идентичны. Типо вые расчеты параметров распределения масс методом смежных ступеней иллюстрированы примерами в конце главы.
12.3. ВЫБОР ПАРАМЕТРОВ МЕТОДОМ M= const
Имея условия оптимальности (12.8), легко записать выражение
откуда |
|
г/Ц/Ѵі^ |
= |
М, |
(12. |
15) |
где |
М = |
|
а также |
(г*Ц *у*Г *)1Л! = const, |
(12. |
16) |
|
ц=П Ц/. |
ѵ*= П ѵ„ w*=n |
|
|
|
г=1 |
г=1 |
|
г=і |
|
|
8і = е ,(М ), построенные по формуле (12.17), представлены на рис. 169.
Примеры распределения масс для некоторых схем составных ракет по различным параметрам приведены в табл. 12. 1.
Число М не может быть задано сколь угодно большим. Его максимальное значение может быть найдено из равенства нулю выражения в квадратных скобках в формуле (12. 17). При этом
/ |
|
М |
\2 |
|
|
|
1 |
[ а (® к)]і !%фф і |
__ |
|
|
Иэфф 1 |
I М |
|
2 [« (0К)]/V/ |
W і |
/ |
|
откуда |
|
|
[в(вк)],Ѵ? \Wi |
M = M m4X=\F,. [ \ - Ѵ [о(бк)],.р.эфф,. )2. |
При этом |
|
1 |
[a (®к)]( М-эфф/ ' |
—. |
|
|
|
|
|
м |
или |
P i _ |
2 [ ° (Ѳк)1 £ Yi |
W i |
V-Kl, |
|
^эфф i |
i |
эфф i |
а также |
и е к)]/ |
|
|
|
У І |
|
^эфф |
|
у/2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Й(Ѳк)]/ |
I |
|
|
|
|
|
|
(12.18)
(12.19)
( 12. 20)
На практике максимальные значения М, еітах и м-кгтах обычно определяются по параметрам первой ступени, поскольку числа Мгшах У старших ступеней, как правило, больше чем у всех предыдущих ступеней из-за убывающих значений грави
тационных потерь [сг(Ѳк)]г+і- |
|
выражения 81 = 8* (рк) |
Если в равенство (12.15) подставить |
и Ц = Ці(р,к), взятые по основной весовой |
зависимости |
(6.10), |
то после преобразований получим |
Н*эфф і -11/2 |
( 12. 21) |
[« (бк)]/
м
[ — —
____ Wi_
[®(Ѳк)1 г
Очевидно, что формулы (12.17) и (12.21) идентичны. Расчет оптимальных перегрузок производится обычным порядком по
формуле (12.9).
Метод М = const является самым общим и, как показала практика, минимально трудоемким. Его применение также эффективно при выполнении контрольно-вычислительных работ по уже спроектированным и построенным ракетным системам.
С |
12.4. ТЕОРЕМ А М = const В ОБЩ ЕМ ВИ ДЕ |
точки зрения чистой механики, составная ракета представ |
ляет |
собой совокупность точек переменной массы. Условимся |
такую совокупность точек называть системой точек (или тел) переменной массы. Будем предполагать, что положение или дви жение каждой точки системы зависит от положения и движения всех остальных точек. Система материальна и дискретна.
В силу такого строения система оказывается делимой и в про цессе ее движения происходит отброс как активных, так и пас сивных масс. В частном случае деление системы может не про исходить и тогда движение осуществляется аналогично движе нию точки переменной массы вследствие отброса только активных масс (случай одноступенчатой ракеты).
Деление материальной системы точек переменной массы про исходит путем отброса пассивной массы после расхода на дан ном участке деления активной массы. Движение на t-м участке осуществляется аналогично движению изолированной точки
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
переменной массы с полезной массой, равной сумме |
пассивных |
и активных массі |
на участках (г+1) делений. Если число делений |
равно |
п, |
то после отброса активной и пассивной масс на послед |
нем участке |
= п |
остается нерасходуемая полезная |
масса |
М п. |
Выразим закон изменения массы системы точек в общем виде |
как |
|
|
|
|
|
|
Mi = Moifi(ti), |
|
|
(12.22) |
где |
М і |
— текущая масса на г-м участке деления; |
|
|
|
|
Л40г — началь |
ная |
(стартовая) |
масса |
на г'-м |
участке деления; |
/у — функция, |
указывающая на закон изменения активной массы; |
ti |
— время |
движения на г-м участке деления при непрерывном |
истечении |
активной массы. |
|
|
|
|
|
конечная |
Если для точки переменной массы безразмерная |
|
скорость по уравнению |
(2.41) |
может быть представлена таким |
образом |
|
|
^K = - ^ |
= - l n |
/ ( T ) - £ t 3(0K), |
|
|
(12.23) |
то для системы |
точек переменной массы, состоящей из п делений, |
уравнение для |
безразмерной конечной скорости принимает вид |
|
- 2 ^ [ 1 п Л ( ^ ) + Ь(Ѳ к)К . + ДІ70і], |
(12.24) |
|
г=і |
|
I |
Т/ |
безразмерное время движения на |
t-м |
участке де- |
где т |
\gol |
|
|
(Wt' |
i |
|
|
|
— потери безразмерной скорости |
|
|
|
|
Ѵ пі) |
ления; ДІ/е,- —— (ДѴ^ч + Д |
|
вследствие влияния |
среды (аэродинамического |
сопротивления |
и высотной характеристики двигателя). |
|
|
|
Параметры |
АѴХі |
и |
АѴпгимеют такое же происхождение, |
как |
|
и аналогичные параметры в уравнении (10.14). |
|
|
по |
Будем искать максимум конечной скорости системы при |
стоянных значениях |
полезной |
М п |
и начальной |
М0 |
масс. |
По |
|
|
скольку при этом величина безразмерной полезной . массы
постоянна |
п |
Мп |
|"J e; = const, |
Мп |
/=і |
|
то задача заключается в том, чтобы отыскать такое соотношение
оптимизируемых параметров ег-, р-кь (V7go)ot при заданных
коэффициентах рЭффь уи ki, [er (Ѳк) ]г, Wi, которые обеспечат мак симальное значение безразмерной конечной скорости Ѵк. Для решения этой задачи следует воспользоваться методом неопреде ленных множителей Лагранжа.
Уравнение связи имеет вид
П ег— s* = 0. |
(12.25) |
г = і |
|
Обозначим правую часть равенства (12.33) через
атакже выражение (12.25) как
исоставим уравнение
где Я = const— неопределенный |
множитель; 0, п — индексы, |
обозначающие |
начальные и пустотные движения системы соот |
ветственно. |
|
|
|
Положив |
дФ = |
0, |
= 0, |
д Ф |
|
= 0 |
, . . . |
~ )
^«'о /о
получим 2п уравнений, которые вместе с уравнением связи (12.25)_ определяют величину максимальной безразмерной ско рости FK и величину неопределенного множителя Я. Частные производные дают следующую систему уравнений:
дФ_ |
|
__ Д / |
/і |
і((Чч) ) |
|
|
д- |
|
+ ^ — = 0, |
|
|
|
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дет J |
еі |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дч |
|
|
|
|
дч |
|
|
' |
дгі /і (Ч) |
■ |
№ )] |
|
|
= |
о, |
|
|
|
|
f l |
|
( ч |
) |
|
|
|
|
^ = - W |
|
|
|
|
де; |
|
ч |
|
|
дФ_ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/л(тл) |
|
|
г,— |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=7-— - + |
И »,)], у-" |
|
|
|
|
|
дел |
|
|
|
/лСЧ) |
|
|
öe„ |
|
|
1 |
д<іѴ„), |
j |
( 1 2 . 2 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
Й |
|
/ 0 |
1 |
/ і КI ( |
ч |
) |
Si |
ь(ѳк)іі —4 ТІ |
|
= 0, |
|
\ |
Ѵ 0 |
|
|
|
|
|
£ l |
\ go 1oi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
go I oi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 д(дѵ0), |
|
|
|
аФ |
|
|
|
/ і( Ч ) |
|
1 |
Si |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Л/ |
|
|
1 |
|
a P |
дх I |
|
* |
д( Й ) “ |
|
|
» Чо( - ГІ а |
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
№ ) L |
\ g0 Ли |
|
\ go /0І |
|
|
|
6Ф |
|
|
|
kn |
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
J _ |
а (АУр>" |
q |
|
Чо |
|
|
|
/ я (^ л ) |
|
|
i n |
|
|
|
go |
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\ go |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
<4 — 1 |
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
/О/I |
|
а Ш /On“ |
|
|
где I — коэффициент увеличения |
скорости истечения активной |
массы в отсутствии влияния среды. |
|
|
|
|
