книги из ГПНТБ / Москаленко Г.М. Инженерные методы проектирования в ракетодинамике

При выборе параметров и назначении количества ступеней следует хорошо знать, что нерационально применять п ступеней там, где задача может быть решена применением (п— 1) сту­ пеней не только потому, что это усложнит конструкцию, но и потому, что чрезмерное увеличение количества ступеней может привести не к увеличению, а наоборот, к уменьшению конечной скорости полета составной ракеты. Происходит это потому, что наряду с эффектом отброса масс при увеличении числа ступеней.

Рис. 163. Влияние количества ступе­ ней на величину параметра рк*

Рис. 164. Влияние грузоподъемности е* и параметра цк* на оптимальное количество ступеней

происходит уменьшение общего запаса топлива на ракете вслед­ ствие присоединения конструктивных элементов (двигателей, топ­

лемый случай, когда ракета состояла бы только из пассивной массы (конструктивных элементов), отброс которой в отсутст­ вии топлива (активной массы) не имел бы смысла, поскольку ее скорость равнялась бы нулю.

Приведенные в главе частные случаи распределения масс (исключая случай расчета по параметру М, разд. 11.7) не ука­ зывают на оптимальное количество ступеней, выбор которых про­ изводится путем сравнения получаемых чисел Ц для различных (варьируемых в расчете) значений параметра п.

Существенное отличие метода определения параметров по за­ данному параметру М (см. разд. 11.7) заключается в том, что выбранные оптимальные параметры ступеней указывают одно­ временно и на оптимальное количество ступеней.

277

Пример 11. 1. Показать, что в случае распределения масс составной ра­ кеты по закону геометрической прогрессии имеет место соотношение

G St = (і - ц э ф ф Н і - * * ) -

Решение. Полный вес топлива составной ракеты G e t равен сумме весов топлив на каждом і-м ускорителе. Имея в виду, что Рэффі—Рэфф, можно

записать

Рис. 165. Диаграмма влияния ступенчатости на конечную ско­ рость ракеты

При этом

После деления обеих частей равенства (11.60) на G0, получим заданное для доказательства соотношение. Поскольку при распределении масс по за­ кону геометрической прогрессии е * = е п, то очевидно, что имеет место также зависимость

0*т = ( 1 - і,эфф) ( і - Е Л).

Пример 11.2. Показать аналитически, что в простейшем случае распре­ деления масс по закону геометрической прогрессии при в і= е и (Хэффі=!Тэфф коэффициент эффективности конструкции составной ракеты в целом р-ЕЭфф

равен коэффициенту эффективности конструкции і-й ступени.

Решение. Запишем выражение для коэффициента эффективности конст­ рукции всех ступеней составной ракеты в следующем виде:

278

Решение. Запишем выражение для коэффициента эффективности конст­

рукции применительно к одноступенчатой ракете в следующем виде:

Пример 11.5. Получить условие оптимальности для двух смежных сту­

пеней составной ракеты, записав весовые отдачи для них в функции времени полета т,-. Полагать, что полет происходит в пустоте и в поле гравитацион­

ных сил, потери в скорости на которые характеризуются параметром о(Ѳк). Задачу решить для линейного закона изменения массы.

279

280

Пример 11.6. Произвести расчет параметров е;, Ц і, е* и Ц* для двухсту­ пенчатой ракеты если известно, что

данным, приведены на рис. 166. Как следует из графика, решением примера

если известно, что е*=0[,07, рк=0,10 и у=0,95. Распределение масс принять

281

по закону геометрической прогрессии. Определить также потребное значение параметра р Эфф в основной весовой зависимости ( 6 . 1 0 ) .

Решение. По формуле (11.59) находим

Целесообразно принять п = 5. Значение параметра цэфф найдем по вы­

ражению« (см. разд. 11.9)

nf —

У Нтг = І'-эфф

(стр. 376). Рассчитать также параметры ег-, е*, ркг-, р* и Цэффі- Решение. Поскольку в американской системе ступенями названы уско­

рители (без полезных грузов и головных частей или старших ступеней), пе­

282

Результаты расчетов сводим в табл. И. 4.

Таблица 11. 4

Пример 11. 10. Определить пассивный вес вместе с полезным грузом, а

также суммарный вес конструкции без полезного груза для трехступенчатой.

283

чениях конструктивного коэффициента Цэффі—const) распределение масс по ступеням следует закону геометрической прогрессии.

Решение. Предположим, что при делении ракеты на ступени имеет место 8 і= е , е ц = е ,. .., еп_ і = е и еп=е*/е, что обеспечит поиск наивыгоднейшего со­ отношения масс при постоянных значениях стартового веса G0=Goi=const,

В простейшем случае на основании формулы (2.50) можно записать Ѵ к = — lnp*. Это означает, что максимум конечной скорости Ѵк = (VK)max

может быть найден по минимуму параметра р* = (рк)тіпПриравнивание нулю

производной rfp^/Л по уравнению (11.69) дает

Равенство (11.70) справедливо при условии, что £ / = £ = c o n s t . При этом

Е

Г л а в а XII

ОПТИМАЛЬНЫЕ ПАРАМЕТРЫ МНОГОСТУПЕНЧАТЫХ РАКЕТ

Когда речь идет о выборе параметров составных ракет, име­ ется в виду прежде всего выбор соотношения масс по ступеням этих ракет. От того как распределены массы, в каком соотноше­ нии они находятся между собой и какое количество ступеней приемлемо для данной схемы, существенно зависит грузоподъ­ емность ракеты, скорость и дальность ее полета.

Отысканию этих законов, а также других экстремальных ре­ шений и посвящена настоящая глава.

В главе сформулирована новая теорема об оптимальном де­ лении ступеней ракет. Введена новая безразмерная характери­ стика — число М, как величина, зависящая от отношения на­ чальных масс делящихся частей, веса полезной массы, конст­ руктивно-весовой характеристики, скорости истечения активной массы, числа делений и т. п.

Теорема, сформулированная в самом общем виде, утверждает, что оптимальному делению соответствует постоянство характе­ ристического параметра М для всех отделяемых масс. Этот ре­ зультат имеет применение в научных исследованиях и проведе­ нии проектных расчетов.

Глава иллюстрирована графическим материалом, что облег­ чает понимание физических следствий и дает представление о характере и объеме аналогичных проектно-изыскательских работ.

12.1. ОБЩИЙ СЛУЧАЙ УСЛОВИЙ ОПТИМАЛЬНОСТИ

Имея выражение (10.2), запишем уравнение для конечной скорости /і-ступенчатой ракеты в следующем виде

W■

где —-— относительная (безразмерная) скорость ис-

W[

течения активной массы і-й ступени;

285

Будем искать максимум конечной скорости при постоянном грузе As = const и начальном весе составной ракеты G0 = const. Поскольку при этом величина грузоподъемности также является постоянной величиной, то задача заключается в том, чтобы оты­ скать такое распределение коэффициентов еі, ей, еІП,..., еп и По1г

где A = const— неопределенный множитель. Полагая

Частные производные дают следующую систему уравнений

286