|
( |
|
-ftc) |
kX W |
(8.14) |
|
1 |
O0n0 |
|
Н'к |
акт / иП 0^Л Р ул\ |
1 + G0n0 |
Г * Г / |
|
|
Кривые Кк= К к(д0) и Т'акт —L&KT (по), построенные по форму лам (8 . 13) и (8 . 14) с учетом весовой зависимости (6.9), пред ставлены на рис. 112.
Рис. 112. Влияние стартовой пере грузки на скорость Ѵк и дальность
полета Ь акт во второй задаче Космо
демьянского при учете весовых фак
торов:
/—скорость; 2—дальность
Как видно из графика, при движении точки в среде, сила сопротивления которой изменяется по линейному закону, суще ствуют оптимальные перегрузки, которым соответствуют макси мальная конечная скорость движения Кк и максимальная даль ность полета L am при работающем двигателе.
Без учета весовых факторов максимальное расстояние, пройденное точкой, имеет место при /г0= 0. В соответствии с формулой (8 . 14) это означает, что
A n a x ^ G o T ^ l - h c ) - |
(8-15) |
Как показал проф. А. А. Космодемьянский, результат (8 . 15) означает, что если в среде с линейным законом сопротивления точка получает некоторую конечную кинетическую энергию, то она проходит вполне определенный конечный путь.
8.4. ТРЕТЬЯ ЗАДАЧА КОСМОДЕМЬЯНСКОГО
Третья задача проф. Космодемьянского посвящена горизон тальному движению ракетоплана при равновесии вертикальных сил.
Изучается движение самолета с жидкостным ракетным дви гателем, когда изменение массы на активном участке полета происходит только за счет истечения продуктов сгорания топ лива. Предполагается, что W = const, а сила сопротивления и подъемная сила пропорциональны квадрату скорости. Имея в
виду, что вектор тяги совпадает с вектором скорости, запишем уравнение движения в следующем виде:
М d V |
dM |
w -x , |
(8 . 16' |
dt |
dt |
где X — сила аэродинамического сопротивления.
Условие равновесия вертикальных сил при постоянном аэро динамическом качестве дает
gf(t) = Y = i ^ ) x
или
(8 . 17)
С у
где
М
/(*) = м0
Поступая далее как и в случае вывода второго закона Циол ковского для двух законов изменения массы (см. разд. 2 . 11 и 2 . 12), получим в окончательном виде
для линейного закона изменения массы и
1
V K = W 1 — ІпЦ (8 . 19)
для показательного закона изменения массы.
Легко видеть, что формулы (8 . 18) и (8 . 19) аналогичны вы ражениям для конечной скорости ракеты при двух законах изме нения массы (2. 44) и (2. 47). В них только влияние сил тяжести
уменьшено в |
Су |
раз. |
\ Сх / |
Опуская выкладки, аналогичные выкладкам при выводе фор мул (7. 4) и (7. 10), дальность полета при равновесии вертикаль ных сил и постоянном аэродинамическом качестве запишем сле
дующими выражениями: |
(1 - Ы |
( 8. 20) |
Г 2 От —1*к1пЦ |
2 |
ёЧ
дл я линейного зак он а изменения м ассы и |
(ln Ц )2 |
|
|
2gno |
( 8. 21) |
для показательного закона изменения массы. |
(7.10) |
При ^ p j = l |
формулы (8.20), |
(8.21) и (7.4), |
идентичны.
Имея (8.20), приравнивая нулю производную dLJdriQ и раз решая затем полученное выражение относительно /io= (я0)опт, получим
(8.22)
Поступая аналогично для случая показательного закона из менения массы, на основании (8 . 2 1 ) получим также
2
(8.23)
Как видно из формул (8.22) и (8.23), оптимальная пере грузка горизонтально летящего ракетоплана обратно пропор циональна величине аэродинамического качества.
Формула (8 . 23) аналогична ранее полученному решению для вертикального подъема ракеты (см. разд. 7. 1). В ней только гравитационные потери уменьшены величиной аэродинамическо го качества (су/сх).
Рассмотрим далее, какое влияние оказывает на выбор пере грузки при линейном и показательном законах изменения мас сы учет весовых факторов.
8.5. УЧЕТ ВЕСОВЫХ ФАКТОРОВ В ТРЕТЬЕЙ ЗАДАЧЕ КОСМОДЕМЬЯНСКОГО ПРИМЕНИТЕЛЬНО К ДВУМ ЗАКОНАМ ИЗМЕНЕНИЯ МАССЫ
Рассмотрим влияние стартовой перегрузки на дальность го ризонтального полета ракетоплана при линейном и показатель ном законах изменения массы.
Пользуясь формулами горизонтальной дальности полета для двух законов изменения массы (8 . 2 0 ) и (8 . 2 1 ) и выполняя дей ствия, аналогичные разд. 7. 3, получим в окончательном виде
(8.24)
где
k
для линейного зак о н а изм енения м ассы и
«о |
2 |
|
|
k |
( |
Мч< |
) |
In Ц |
1/2 |
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( . 25) |
где |
Р і |
|
|
|
Су/Сх |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/7 Х = |
— |
І П Ц |
_1_ |
|
|
|
|
|
|
|
|
2k |
( С у / С х ) |
|
|
|
|
|
|
для показательного закона изменения массы. |
|
|
|
|
П с Если в формулах ( . 24) |
и ( |
. 25) |
исключить влияние на пере |
|
8 |
|
8 |
|
|
|
(сѵ/сх) |
|
|
|
грузку сил тяжести, положив при этом |
= |
оо, |
то получим |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тяготения |
0. Это означает, что в отсутствии сил земного |
главенствующую |
роль в |
достижении скорости |
или |
дальности |
полета играет число Циолковского, величина которого согласно формулам (разд. 2 . 8 и 6 . 1) тем больше, чем меньше стартовая перегрузка «о. Последнее обстоятельство, как мы уже знаем, объясняется в возможности облегчения конструкции в результа те постановки более легкого (меньшей тяги) двигателя, а сле довательно, и получения более совершенной конструкции с ее минимальной весовой отдачей цк-
8.6.ВЕРТИКАЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА
ВПРИСУТСТВИИ ТОРМОЗЯЩЕЙ РЕАКТИВНОЙ ТЯГИ
Рассмотрим вертикальное движение точки постоянной мас сы в несопротивляющейся среде под действием гравитационных сил и тормозной силы реактивной тяги. Этот случай имеет место для летательных аппаратов, осуществляющих вертикальную по садку на ракетном двигателе, когда можно пренебречь сопротив лением среды (ввиду малой скорости) и расходом активной массы.
Считая положительным направление в сторону действия гравитационных сил, запишем уравнение движения Мещерского в следующем виде:
|
|
|
|
|
|
|
откуда |
|
|
M — = G - P , |
+ С , |
(8.26) |
|
V = —gt{n0 — t) |
|
где С ■— постоянная интегрирования. |
движения |
При ^= 0 |
(т. е. к началу торможения) скорость |
равна Ѵ= Ет0рм и тогда С = 1/торм. При этом |
|
|
Ѵ = |
— |
gt(no |
— 1) + Еторм. |
(8.27) |
|
|
|
Формула (8 . 27) описывает изменение скорости снижения в зависимости от параметров t и п0 при скорости, имевшей к на чалу торможения Е = 1/ТОрм.
Воспользовавшись выражением (8.27), легко записать
- ~ = - * * ( Л о- 1 ) + ^ Ь рм.
и затем получить
H = - g ^ К - і ) + ^ тор^ - я торм, |
(8-28) |
где знак минус при Я тормі определяется выбранным в нашем слу чае положительным направлением движения.
Поскольку в конце движения (в момент посадки) имеют ме сто условия К = 0 , И — 0 и і = х , то очевидно, что формулы (8 . 27) и (8 . 28) удобно записать так:
^ торм= (Яо— |
~ |
. |
(8-29) |
^торм= («0- Off |
|
(8.30) |
где Кторм и Я торм — параметры в начале торможения.
Найдем далее выражение для весовой отдачи GT, обеспечи вающей движение на участке торможения в соответствии с вы ражениями (8 . 29) и (8 . 30). Для этого, имея в виду линейный закон изменения массы (т. е. движение при постоянной тяге), воспользуемся выражением для полного времени полета (2.35), подставив его в формулу (8.29). Тогда получим
|
% |
|
|
Gr |
тори |
|
(8.31) |
|
|
|
|
|
} |
щ |
|
где |
|
|
|
|
1 |
|
|
f |
T P = (Пторм/Ю — безразмерная скорость торможения. |
|
0 m |
|
|
|
|
потребный запас топлива на |
|
Как видно из формулы (8.31), |
торможение уменьшается при увеличении перегрузки |
п0 |
и дости |
гает минимального значения при п |
= о о . При этом |
|
|
|
|
Gr |
|
Gr |
|
0 |
|
|
|
|
|
— |
min—Кторм- |
|
(8.32) |
|
|
|
|
|
Однако практически величину параметра п0 следует выби рать с учетом весовых факторов. Воспользовавшись весовой за висимостью (6.9), подставим ее в выражение (8.31). Тогда по лучим
Ѵ'торм = ( 1 — ^эл — kno) n0 * |
(8.33) |
Экстремум функции (8 . 33) найдем приравняв нулю производ ную dVrom/dn0. При этом получим следующее выражение для оптимальной перегрузки в период торможения:
(8.34)
Легко понять, что если торможение осуществляется всеми уже имеющимися на борту летательного аппарата двигателями при перегрузке большей оптимальной, то это только лучше (меньше израсходуется топлива), поскольку увеличение перегрузки при этом происходит без увеличения веса двигательной установки.
Найдем далее выражение для высоты начала торможения НтормДля этого, как и ранее, воспользуемся выражением (2.35), подставив его в формулу (8.30). После преобразований и разрешения относительно параметра £ т получим
Or |
Щ |
|
Н |
(8. 35) |
'уд / і |
|
|
|
o — |
1) |
|
У |
g ( n2 |
|
|
Приравнивание правых частей выражений (8.35) и (8.31) дает
V
<8-36>
Время торможения после подстановки выражения (8 .35) в формулу (2.35) определится так:
^ I 2//торм -11/2
(8 . 37)
W(rtnѵ^(«о — 1)
где Я = Я торм — высота начала торможения (включения двига теля) .
Пример 8. 1. Определить минимальное значение удельной тяги, при ко торой горизонтальная посадка на крыльях эквивалентна (в весовом отно
шении) вертикальной посадке на двигателях. Значения параметров принять следующими:
k |
= 0,02, |
Ѵторм = 100 м/с, |
Рэл = 0,20, |
W = |
4000 м/с, |
|
|
|
(ОкрАТпос) = 0,15,
где GKр — вес крыла; Gnoc — посадочный вес.
Решение. По формуле (8.34) находим значение оптимальной перегрузки
«о
Воспользовавшись формулой (8.31), получим
І^торм — G T |
по |
где по условию задачи необходимо |
принять G T= ( G Kp/Gn0c). Поскольку |
установка двигателя, обеспечивающего найденную перегрузку /і0= 3 ,16 умень
шит запас |
топлива на величину |
£«0= 0 ,02 • 3,16=0,0632, |
то |
^торм = |
[GT — £ л 0] ^1 — ~ j |
= (0 ,1 5 — :о ,0632) |
~ 0,0594. |
Г л а в а IX
ЛЕТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ РАКЕТОПЛАНА
В настоящее время в ряде зарубежных стран усиленное вни мание уделяется вопросам разработки ракет-носителей, а также космических аппаратов многократного применения. Это обуслов лено рядом преимуществ (экономичность, надежность и т. д.), о которых мы говорили ранее (см. разд. 1.2). В связи с отсутстви ем установившейся терминологии мы условились (см. разд. 1.1) возвращаемые ступени ракетно-космических систем, имеющие несущие аэродинамические поверхности или обладающие несу щим корпусом, называть ракетопланами. Ракетопланы относятся к многорежимным ракетным летательным аппаратам. Как ука зывалось ранее (см. разд. 1.5), движение ракетоплана может происходить по баллистической, рикошетирующей и планирую щей траекториям, а также в режимах орбитального, квазигоризонтального и суборбитального полетов.
В настоящей главе мы остановимся на изучении маршевого (квазигоризонтального), планирующего (с положительной и от рицательной подъемными силами) и активно-инерционного ви дов движений. Маршевый полет ракетоплана происходит в гори зонтальной плоскости при непрерывно работающем двигателе. Такой вид движения наиболее применим к крылатым летатель ным аппаратам, обладающим аэродинамическим качеством, и силовой установкой которых является сверхзвуковой прямоточ ный воздушно-реактивный двигатель (СП ВРД ). В этом случае выведение ракетоплана в режим маршевого полета происходит при помощи ракетных ускорителей, являющихся как бы первой ступенью РЛА. В многократно используемой ракетно-авиацион ной системе маршевый полет возможен после прохождения бал листического участка траектории и последующего выхода на траекторию горизонтального полета. Как будет показано в гла ве, все виды маршевого полета на дальность при непрерывно работающем ракетном двигателе (ЖРД) являются невыгодны ми вследствие больших расходов ракетного топлива. Их приме нение может быть оправдано только в случае вынужденного (по каким-либо причинам) выполнения многорежимного маневрен ного полета, включающего в себя планирующий или активноинерционный виды движений. Исключением является суборби204
тальный вид движения, где в силу больших скоростей и высот полета, связанных с высокими значениями эффективного аэро динамического качества и малой плотностью среды, расход ра кетного топлива не достигает больших величин. Изучение мар шевого полета ракетоплана с Ж РД является важным для пони мания законов ракетного движения в сопротивляющейся среде и установления рациональных границ применимости такого ви да движения для многократно используемых космических сис тем.
Квазистационарный режим планирования с положительной и отрицательной подъемными силами представляет собой пассив ный вид движения (двигатели не работают). Используя его, воз вращаемая ступень многократно применяемой ракетно-авиацион ной системы может войти в плотные слои атмосферы с первой космической скоростью или превышающей ее и достигнуть места старта или другой предназначенной для этой цели поса дочной площадки. Рассмотрение такого вида движения включе но в настоящую главу из соображений удобства изучения сов мещенных режимов активного и пассивного полетов. По этой же причине в главу включен активно-инерционный полет. Послед ний представляет собой чередующийся двухрежимный полет с дискретным расходом топлива на активном участке и последую щим планированием.
Экстремальные режимы движения показаны без учета и с учетом весовых факторов. В первом случае это решения чистой механики, во втором — прикладной ракетодинамики.
9.1. КВАЗИГОРИЗОНТАЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ РАКЕТОПЛАНА
СМАЛОЙ ПОСТОЯННОЙ СКОРОСТЬЮ
Рассмотрим простейший случай квазигоризонтального поле та ракетоплана с малой постоянной скоростью, когда центробеж ными силами можно пренебречь. В таком движении набор высо ты по мере расхода топлива происходит при малых углах атаки, когда можно положить а « 0 и принять также постоянным аэро
динамическое качество (су/сх) = const.
Выполняя условие равенства тяги силе лобового сопротивле ния, запишем дифференциальное уравнение движения ракето плана в следующей форме:
|
|
dt |
— ^ |
—= 0, |
(9.1) |
|
|
|
(Cy/Cx) |
|
где M = M(t) — текущая масса ракетоплана. |
что М = М0 при |
і = |
Интегрируя |
уравнение |
(9.1) |
при условии, |
|
0, получим |
* = - ( ^ - ) * Ѵ діп(і - ро, |
(9‘ 2) |
где ß — коэффициент расхода топлива.
Полное время полета при t = x и ß t = l—|ік будет равно
(9.3)
Т = Й ) Р « ‘" Ц '
Поскольку движение ракетоплана происходит с постоянной скоростью, дальность полета, равная произведению скорости на время, будет равна
L " = { i ; ) v "p y * lnlx> |
(9-4) |
где индекс «м» означает параметры маршевого участка полета. Очевидно, что дальность, выраженная через время маршевого полета, запишется так:
П мЯуя1п(1-р/). |
(9.5) |
Поскольку вывод формул (9.3) и (9.4) произведен без учета |
центробежных сил, то их применение ограничено |
скоростями |
полета в пределах 3—5 чисел М. |
|
Из формул (9.4) и (9.5) следует, что пройденный ракетопла ном путь будет тем больше, чем больше будет скорость марше
вого полета. |
|
по |
|
Покажем далее влияние тяговооружѳнности |
на дальность |
полета ракетоплана без учета центробежных сил. |
|
|
Применив в общем виде степенной закон сопротивления сре |
ды, можно записать |
x=p=xvZ |
|
• (9.6) |
и затем получить |
1 1 ■ |
|
|
(9.7) |
|
ѵ-={%)'< |
|
где Х —Х ( сх, Q, 5кр) — приведенный параметр аэродинамическо го сопротивления; т — показатель степени.
Подстановка выражения (9.7) в формулу (9.4) дает
£ . K ) = ( f ( ) ? „ ( ! ■ ) ’ < “ 'и ц . |
(9-8) |
Выражение (9.8) показывает, что при любом законе сопро |
тивления среды дальность полета пропорциональна |
тяговоору |
женности п’о ■ Настоящий вывод получен без учета влияния весовых факто
ров (увеличения веса двигательной установки при увеличении тяговооруженности «о) и имеет практическое применение только
