книги из ГПНТБ / Москаленко Г.М. Инженерные методы проектирования в ракетодинамике

00

—ax2IQ. Для сохранения средней высоты полета необходимо, чтобы высота

падения и высота подъема были одинаковыми. Следовательно, необходимо приравнять правые части выражений s(t) и Н ( т). При этом получим

Таким образом, отношение ускорений равно квадрату обратного отно­ шения времен действия этих ускорений.

Пример 7.2. Построить кривые приведенных весовых отдач р.к = р.к (р.к ,•)

тельно для трехступенчатого поезда и произведем вычисления для различных значений весовых отдач при |Хкі= Ц к. Значения приведенных весовых отдач определим по формуле

на величину приведенной весовой отдачи рк ракетного поезда Циолковского.

Расчет произвести для двух случаев, когда весовые отдачи составляющих ракет равны

Р-кг"Рк= 0,2

И

Цкі—Рк—0,6.

Решение. Для определения влияния «непрерывности» на величину при­ веденной весовой отдачи рк следует воспользоваться формулами (7.30) и

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. З е н г е р Е. Техника ракетного полета. М., Оборонгиз, 1947.

2.Ц и о л к о в с к и й К. Э. Труды по ракетной технике. М., «Машино­ строение», 1967, 375 с.

3.Ц а н д е р Ф. А. Проблемы полета при помощи реактивных аппара­

тов. М., Оборонгиз, 1961, 459с.

Г л а в а VIII

ОПТИМАЛЬНЫЕ РЕЖИМЫ В ПРОСТЕЙШИХ СЛУЧАЯХ ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ ПЕРЕМЕННОЙ МАССЫ

Материал главы представлен в виде трех задач Космодемьян­ ского, первая из которых посвящена прямолинейному движению точки переменной массы в среде с квадратическим законом со­ противления среды; вторая — движению точки переменной мас­ сы в среде, сила сопротивления которой изменяется по линей­ ному закону; третья — горизонтальному движению ракетоплана при равновесии вертикальных сил.

Эти задачи исследованы с учетом уравнений весового балан­ са, вследствие чего получены новые данные, касающиеся экст­ ремальных движений точки переменной массы.

Применение к точке (или телу) переменной массы законов весового анализа также правомерно, как правомерно примене­ ние к ней законов аэро- и гидродинамики. Получаемый при этом результат существенно расширяет область исследований, важ­ ных для практики, и является полезным с точки зрения инженер­ ной интерпретации основ практической ракетодинамики.

8.1. ПЕРВАЯ ЗАДАЧА КОСМОДЕМЬЯНСКОГО

Впервой задаче проф. А. А. Космодемьянского рассматри­ вается случай прямолинейного движения точки переменной мас­ сы в сопротивляющейся среде; принимается квадратический за­ кон аэродинамического сопротивления при постоянном секунд­ ном расходе массы, т. е.

Таким образом, рассматривается движение точки перемен­ ной массы по абсолютно гладкой горизонтальной плоскости, когда вес точки уравновешивается нормальной реакцией этой плоскости. Решение, полученное при рассматриваемом условии,, полезно с точки зрения изучения неустановившегося горизонталь­ ного полета ракетного самолета.

где X ( V ) — сила аэродинамического сопротивления в функции, скорости полета.

190

При постоянной тяге имеет место линейный закон изменения

где

d M

dt

=const;

М ,о

/2Go/5\i/a .

\CjcQ )

б— плотность среды на данной высоте полета; 5 — харак­ терная площадь, к которой отнесены аэродинамические коэффи­ циенты.

Разделяя переменные в уравнении (8 . 2) и интегрируя при условии, что Vt=o —0 , получим

формуле (8.4). Эта зависимость показывает, что конечная ско­

рывно увеличивается (рис. 109).

Этот результат имеет чисто теоретический интерес. Ниже бу­ дет показано, что с учетом реальной конструкции перегрузка имеет свое оптимальное значение.

191

W

При любых значениях 2 — интеграл не может быть выра-

V по

жен в квадратурах. Поэтому представим подынтегральную функ-

192

цию в виде

При этом приближенное значение искомого интеграла будет равно

Расстояние, проходимое точкой переменной массы, выразит­ ся формулой

Очевидно, что полученная зависимость справедлива в том случае, если сделанное выше допущение обеспечивает доста-

Wx

2 V« о

Формула (8 .7) выражает расстояние в функции времени движения точки. Расстояние в конце движения при t = х и ß t= = G T будет равно

Можно показать, что зависимость L = L ( n <j) является моно­ тонно убывающей функцией параметра По. Действительно, возь­ мем производную от L по щ.

Тогда получим

Знак минус показывает, что при всех значениях перегрузки в интервале от п0= 0 до п0= о о , производная dL/dtio отрицатель-

на. Из этого следует, что если прямолинейное движение точки переменной массы происходит под действием только двух сил: реактивной и силы сопротивления среды, то наивыгоднейшее зна­ чение перегрузки должно быть бесконечно малым для получе­ ния максимальной дальности полета.

С практической точки зрения полученный результат показы­ вает, что чем большее значение в общем балансе внешних сил имеют силы сопротивления среды, тем меньше оптимальный расход топлива, обеспечивающий максимальный пройденный путь прямолинейного движения.

Ниже будет показано, что с учетом весовых факторов стар товая перегрузка имеет конечное оптимальное значение, кото­ рому соответствует наибольший проходимый путь и наибольшая скорость полета.

8.2.УЧЕТ ВЕСОВЫХ ФАКТОРОВ

ВПЕРВОЙ ЗАДАЧЕ КОСМОДЕМЬЯНСКОГО

Воспользовавшись основной весовой зависимостью (б. 9) и формулой для конечной скорости точки переменной массы (8 . 4), после выполнения несложных преобразований получим

видно из графика, функция Fk= Fk («o) имеет максимум. Таким образом, в отличие от предыдущего случая (см. разд. 8 . 1) мак­ симальная скорость полета достигается не при максимальной перегрузке, а при перегрузке, имеющей свое оптимальное значе­ ние « о = («с)оптЭто результат учета весовых факторов. Физи­ чески это понятно, поскольку непрерывное увеличение перегруз­ ки привело бы в конечном счете к превращению точки перемен­ ной массы в точку постоянной массы, для которой имело бы ме­ сто (хк= 1 - Применительно к ракетоплану это означало бы, что для большого двигателя (по весу, тяге и габаритам), заполнив­ шего всю конструкцию летательного аппарата, не осталось бор­ тового запаса топлива.

График (см. рис. 110) показывает также, что увеличение ско­ рости истечения W х вызывает смещение оптимальных перегру­ зок в сторону их более высоких значений. Это происходит пото­ му, что при большей скорости истечения имеет место понижен­ ный расход топлива, вследствие чего текущая скорость умень­ шается. Для сохранения скорости (при завышенной текущей массе), когда имеет место оптимальный баланс сил, в том чис-

194

ле и аэродинамических, перегрузка /г0= («о)опт должна быть увеличена.

Выражение для оптимальной перегрузки найдем, приравняв нулю производную dVvJdtio. Тогда получим

модемьянского

Характер изменения оптимальной перегрузки П о=(п0)ОІГІ по параметру рк, полученный по уравнению (8.9) при W x = 0,25 и к = 0,02, показан на рис. 111. Как видно из графика, оптималь­ ная перегрузка уменьшается по мере уменьшения запаса пере­ менной массы. Это является результатом учета сил сопротивле­ ния, меньшее значение которых особенно желательно при малых запасах топлива. Очевидно, что наши выводы справедливы без учета вертикальных сил, когда в рассмотрении задачи отсутст­ вуют гравитационные факторы.

8.3. ВТОРАЯ ЗАДАЧА КОСМОДЕМЬЯНСКОГО

Вторая задача проф. А. А. Космодемьянского рассматривает случай движения точки переменной массы в среде, сила сопро­ тивления которой изменяется по линейному закону.

Пусть точка движется прямолинейно по горизонтальной аб­ солютно гладкой плоскости, причем масса точки изменяется по линейному закону.

Запишем уравнение движения в следующем виде:

где kx — коэффициент сопротивления.

Интегрирование обыкновенного линейного неоднородного дифференциального уравнения первого порядка (8 . 10) дает

м

уМ 0

При t— 0 скорость И = 0 и / = 1, тогда

ß + Мп

196