книги из ГПНТБ / Москаленко Г.М. Инженерные методы проектирования в ракетодинамике

видно из графика, функция Я акт = Я акт(я0) имеет максимум. Для отыскания этого максимума приравняем нулю производную от Н акт по п0. Тогда получим

Рис. 102. Влияние стартовой перегрузки на высоту вертикального полета ракеты при линейном и показа­

тельном законах изменения массы:

1—линейный закон; 2—показательный закон

Воспользовавшись формулой высоты полета на активном уча­ стке для случая показательного закона изменения массы (7.10) с учетом весовой зависимости (6. 9) и поступая аналогично, по­ лучим также

177

Формулы (7. 18) и (7. 19) выражают оптимальные стартовые перегрузки «0=(«о)опт в функции параметров р„ и k, которым соответствуют максимальные высоты подъема ракеты на актив­ ном участке траектории при линейном и показательном законах изменения массы.

Кривые оптимальных перегрузок п0 = По(рк), построенные для двух законов изменения массы по формулам (7. 18) и (7. 19), представлены на том же графике (см. рис. 102). Там же для на­ глядности приведена зависимость ц0 = н0(цк), построенная по формуле (6.9). Кривые на графике иллюстрируют оптимальную перегрузку в точке А, которой соответствует максимум высоты Яакт= (Яакт)тах в точке Б. Величина перегрузки в точке С сов­ падает с оптимальной перегрузкой в точке А. Как видно из гра­ фика, функция п0=По(цк) в свою очередь имеет максимум для обоих законов изменения массы, что является также следствием влияния весовых факторов.

7.4. ПОЛНАЯ ВЫСОТА ПОДЪЕМА ПРИ ДВУХ ЗАКОНАХ ИЗМЕНЕНИЯ МАССЫ

Полная высота вертикального полета ракеты Ns будет скла­ дываться из высоты полета на активном участке Я акт и высоты полета на пассивном участке Нпас. При этом

•/^ = Т/акті-у 7 ііас.

Рис. 103. Влияние перегрузки на высоту полета при линейном законе изменения массы без учета весовых факторов

Имея ^зависимости (7.4) и (7. 15), а также воспользовавшись

формулой Циолковского для линейного закона изменения массы (2. 44), запишем в безразмерном виде

J U

Как видно из формулы (7.20) и кривых на рис. 103, постро­ енных по этой формуле, несмотря на экстремальный характер зависимости л акт = 7/акт( п0), увеличение перегрузки п0 вызыва­ ет непрерывное увеличение суммарной высоты полета Hs .

Іоступая аналогично для случая показательного закона из­ менения массы с учетом зависимостей для высоты подъема на

178

активном участке (7. 10), пассивном участке (7.15) и скорости в конце активного участка (2. 47), получим

( 7 ' 2 , )

I 2g )

Из формулы (7.21) и графика (рис. 104), построенного по этой формуле, следует, что максимальная Еысота подъема Н% будет при /го=оо. Значение п0= о о соответствует мгновенному сгоранию имеющегося запаса топлива (т. е. такому случаю, ког­ да весь имеющийся запас топлива выбрасывается в начале движения с относительной скоростью истечения W). Макси­ мальная высота подъема в этом случае, как легко видеть из формул (7.20) и (7.21) не зависит от закона расхода активной массы и равна

Рис. 104. Влияние перегрузки на высоту полета при показательном законе изме­ нения массы без учета весовых факторов

Таким образом с точки зрения чистой механики, в однород­ ном поле силы тяжести в тех случаях, когда силами сопротив­ ления можно пренебречь, для достижения максимальных высот подъема выгодно как можно быстрее израсходовать заданный запас топлива.

Скорость в конце активного участка полета при показатель­ ном законе изменения массы определяется по формуле (2.47). Переписав ее в безразмерном виде и подставив значение пере­ грузки «о=2, получим

Подсчитаем теперь суммарную высоту подъема в режиме перегрузки п0 = 2. При этом, воспользовавшись формулой (7.21), получим

4g

Сравнивая выражения (7.22) и (7.24), видно, что при мгно­ венном отбрасывании данного запаса массы высота подъема ра­ кеты в два раза больше, чем при медленном горении, когда мы желаем получить максимальный активный участок.

179

Воспользовавшись формулами (7.10) и (7.21), найдем от­ ношение суммарной высоты подъема к высоте подъема на ак­ тивном участке траектории. Тогда получим

То есть, полная высота подъема при показательном законе изменения массы по сравнению с высотой на активном участке больше в п0 раз. При оптимальной перегрузке Щ = 2 , высота подъема на активном и пассивном участках одинакова.

Полученные здесь выводы являются результатом рассмотре­ ния задач методами чистой механики. Как будет показано ни­ же, учет весовых факторов существенно меняет представление об оптимальности аналогичных режимов движения.

7. 5. ВЛИЯНИЕ ПЕРЕГРУЗКИ НА ПОЛНУЮ ВЫСОТУ ПОДЪЕМА ПРИ ДВУХ ЗАКОНАХ ИЗМЕНЕНИЯ МАССЫ

Влияние перегрузки гц на полную высоту полета Н* учтем, как и ранее (см. разд. 7.3), при помощи основной весовой за­ висимости (6. 9).

в свою очередь имеет экстремальное значение по параметру рк.

180

Если принять в формуле & = 0,02, то максимальное значение оптимальной перегрузки будет «отах = 3,57.

7.6. КОСМИЧЕСКИЙ РАКЕТНЫЙ ПОЕЗД ЦИОЛКОВСКОГО. КОНЕЧНАЯ СКОРОСТЬ РАКЕТНОГО ПОЕЗДА

Космический ракетный поезд, как новая идея ракетодинами­ ки, был впервые сформулирован и обоснован К- Э. Циолковским в его одноименной работе, изданной в Калуге коллективом Ка­ лужской секции научных работников в 1929 г.

НП

111 cm

ф Отделение заправщика II cm.

израсходовано

181

Под ракетным поездом Циолковский подразумевал соедине­ ние определенного количества ракет, стартующих одновременно для получения необходимой конечной скорости (рис. 105).

Рассмотрим движение ракетного поезда, составленного из т одинаковых ракет.

Все ракеты имеют одинаковые начальные веса G 0 и весовые отдачи Gi. Полет ракетного поезда происходит за счет перелива топлива из ракет предыдущей ступени в ракеты последующих ступеней. Каждая последующая ступень ракетного поезда обра­ зуется путем отброса ракет-заправщиков предыдущей ступени, которые после израсходования у них топлива составляют уже пассивную массу поезда. Ракета последней ступени не выполняет функции запрайщика и несет груз, предназначенный для сооб­ щения ему необходимой конечной скорости.

Движение каждой ступени поезда будем рассматривать как движение одноступенчатой ракеты, состоящей из активной и пассивной масс. Активную массу составляет расходуемое топ­ ливо; пассивную массу — конструкция поезда.

где GT — вес топлива одной ракеты.

После отделения т3і ракет-заправщиков первой ступени на второй ступени остается (т — т 31) ракет и весовая отдача при п?зіі ракет-заправщиков будет равна

Весовая отдача последней ступени не меняется и остается равной G Tn = G Ti (где индекс «і» означает любую из составляю­ щих ракет поезда).

182

Переходя к весовой отдаче по конечному весу цкі, запишем

Ракетные поезда, движение которых обеспечивается непре­ рывным (поочередным) отбросом по одной ракете в каждой сту­ пени {т3і —т3ц = тг{п- і ) = 1), называются непрерывными ра­ кетными поездами. Для таких поездов формулы (7. 29) еще бо­ лее упрощаются и принимают вид

Термин «непрерывные поезда» является чисто условным и употребляется по аналогии «непрерывных ракет» Ф. А. Цанде­ ра, у которых отброс пассивных масс (конструкции) происходит также непрерывно, как и отброс активной массы (топлива) [3].

183

Полет ракетного поезда, составленного из одинаковых ракет, происходит не при оптимальных условиях с точки зрения мини­ мального веса всей системы. Однако в силу одинаковости ра­ кет, такое соединение имеет определенный практический инте­ рес. Действительно, не прибегая к созданию новой ракетной систе­ мы, ракетный поезд обеспечивает получение той или иной дальности полета путем соединения существующих ракет в ра­ кетный поезд. Неизбежное ухудшение при этом характеристик используемых ракет (в результате доработок) вполне окупает­ ся большими преимуществами многоступенчатого полета ракет­ ного поезда. Зависимости [а* = [** /) Для различных вариантов

ступенчатого и непрерывного поездов приведены на рис. 106. Из графика видно, что непрерывные поезда имеют преимущества перед поездами ступенчатыми. Это объясняется тем, что непре­ рывные поезда более часто производят отброс пассивных масс (пустых ракет-заправщиков).

Рис. 106. Зависимость Цк* = Рк*(Цк і ) Для непрерывного и сту­ пенчатого ракетных поездов:

/ —трехступенчатый поезд; 2—непрерывный поезд

Необходимо заметить, что чисто теоретически непрерывная схема ракетного поезда при условии большого числа заправщи­ ков (т— >-оо) является наиболее оптимальной. Это видно из си­ стемы (7.29), где весовая отдача ркі непрерывно уменьшается при увеличении параметра т. Аналогичная зависимость для р*= р*(т) приведена на рис. 107.

Схемы образования ступеней у различных типов поездов на графике (см. рис. 106) приведены применительно к крылатым ракетам многоразового действия. Такие поезда с возвращением

184

заправщиков к месту старта имеют наибольший практический интерес.

Рис. 107. Влияние «непрерывности» (ко­ личества ракет) на величину приведенной весовой отдачи ракетного поезда Циол­ ковского

Безусловно, ракетные поезда могут быть составлены и из не­ одинаковых ракет. При расчете весовых отдач таких поездов зависимости (7.29) должны быть соответственно скорректиро­ ваны.

7.7. ВЕРТИКАЛЬНЫЙ ПОДЪЕМ РАКЕТЫ НА ПАССИВНОМ УЧАСТКЕ ТРАЕКТОРИИ

С УЧЕТОМ СОПРОТИВЛЕНИЯ СРЕДЫ

Для вертикального полета угол, составляемый вектором ско­ рости и горизонта, равен Ѳ = я/2. Кроме того, из уравнения дви­ жения в проекции на нормаль к траектории полета следует, что L = 0. Уравнения движения принимают вид

(7.31)

™ - = V . dt

Исключая время, получим

В общем виде интегрирование этого дифференциального урав­ нения возможно выполнить с помощью приближенных методов. Однако, если коэффициент аэродинамического сопротивления принять постоянным, то при условии экспоненциального закона изменения плотности среды можно получить аналитическое реше-

185

ние. Оно будет

V = Ѵ І exp [ — 2л (е~рЯо—е~ря)] -

где Но — высота начала пассивного полета (в момент выключе­ ния двигателя). В формуле (7. 33) имеют также место

Если 27<СІ, то решение существенно упрощается, так как тогда при любом Н > Н о>0 exp2^е_ря°~ 1+ 2'ке~$Нан R ( H ) ^ H .

Обращаясь к системе дифференциальных уравнений (7.31), легко заметить, что она описывает случай восходящего движения геликостата при действии силы, направленной против вектора -скорости. Таким образом, между вертикальным полетом ракеты на пассивном участке и подъемом геликостата в режиме замед­ ления (тяга двигателей выполняет роль гравитационных сил, если она по величине равна весу корабля) существует траектор­ но-параметрическая аналогия.

Пример 7.1. Во время свободного падения тела для сохранения средней высоты полета к нему прикладывается реактивная сила, создающая компен-

186