книги из ГПНТБ / Монин А.С. Изменчивость мирового океана

Ра

уравнении

(3.1.9), заменив правую часть второго из них на

— и

представив

флюктуации атмосферного давления ра

в виде

суммы статистически

стационар­

ных флюктуации р\,

создаваемых турбулентностью в не возмущенном

волнами

приводном слое воздуха, и флюктуации рц, индуцированных

волнами. Простран­

ственные

амплитуды

Фурье

последних

будут

пропорциональны

амплитудам

Фурье dZ(k, t) поля

волн £(х, t), так что их можно записать

в виде

apc2kdZ(k,

t), где а — малое комплексное

число (его мнимую часть мы обозначим

ц). Вы­

разив теперь при помощи вышеуказанных линеаризированных

уравнений dZ(k, t)

через амплитуды Фурье функции р\(\,

t), при G (k) <g^<g

[где 0 (к)—вре-

О

10

20

30

40 с/и»

*<0 = ^ £ * - .

(3.1.25)

где Р(к, со)—пространственно-частотный спектр поля pi(x, t), а

со и с опре­

деляются дисперсионным соотношением для глубокой воды. При малых

получается Af(*)=/; это обнаруженная

Филлипсом [41] резонансная

стадия ро­

ста волн [по определению

и (к) спектр

Р (к, со) имеет

максимум

при со = ± к Х

Хи(к), так что реакция

поверхности воды на действие

поля давления рх мак­

индуцированные волнами флюктуации давления р2 (по крайней мере,

определяе­

мая параметром ц их часть, синфазная с

наклоном поверхности волн)

здесь

играют существенную роль,

т. е. в системе

ветер—волны включается

обратная

связь. Эта экспоненциальная

стадия роста волн впервые была рассчитана Майл­

сом [42] при решении классической задачи

о гидродинамической

неустойчивости

профиля скорости в потоке

воздуха над свободной поверхностью

воды

(сводя-

ления волн

М как функции

от безразмерной частоты

и безразмерного

gt

в случае k||u(k)

Ь

времени —

представлены на рис. 3.1.7. Заметим, однако, что

и*

ЛИТЕРАТУРА

1. Ш у л е й к и н

В. В. Теория

морских волн.— «Труды Морского

гидрофизиче­

ского института АН СССР»,

1956, т. 9. 142 с.

2. 3 а х а р о в

В. Е. Устойчивость

периодических

волн конечной амплитуды

на поверхности глубокой

жидкости.— «Прикл.

мех. и техн.

физ.»

1968,

№ 2, с. 86—94.

3.

S t o k e s

G. G. On the theory of

oscillatory waves.—„Trans.

Cambr.

Phil.

Soc", 1847, vol. 8, p. 441—455.

4.

Ф и л л и п с

О. Динамика верхнего слоя океана. Пер. с англ. М., «Мир»,

1969. 267 с.

5. К а д о м ц е в Б. Б., К а р п м а н В. И. Нелинейные волны.— «Успехи

физи­

ческих

наук»,

1971, т. 103, вып. 2, с. 193—211.

7.

P h i l l i p s О. M. On the dynamics of unsteady waves of finite amplitude.—

„J. Fluid Mech.", 1960, vol. 9, pt. 1, p. 193—217.

8.

L o n g u e t - H i g g i n s M. S. Resonant interactions between two trains of

gravity waves.—„J. Fluid Mech.", 1962, vol. 12, pt. 2, p. 321—332.

12.

B e n n e y D. J . Non-linear gravity wave interactions.—„J. Fluid Mech.", 1962,

vol. 14, pt. 4, p. 577—584.

13.

B r e t h e r t o n F . P. Resonant interactions between waves.—„J. Fluid Mech.",

1964, vol. 20, pt. 4, p. 457—480.

17.

M с G о I d r i с к F., P h i l l i p s

О. M., H u a n g N.. H o d g s o n T. Measu­

rements of third-order resonant

wave interactions.—„J. Fluid Mech.", 1966,

vol. 25, pt. 3, p. 437—456.

18.

S t o k e s G. G. Supplement to a

paper on the theory of oscillatory waves.—

„Math. and Phys. Pap.", Cambr. Univ. Press, 1880, vol. 1, p. 197—229.

19.

Н е к р а с о в

А. И. О волнах установившегося вида. Ч. 1.— «Изв. Иваново-

Вознесенского политехи, ин-та»,

1921, № 3, с. 52—65.

20.

Н е к р а с о в

А. И. О нелинейных интегральных уравнениях. Ч. П.—«Изв.

Иваново-Вознесенского политехи, ин-та», 1922, № 6, с. 3—19.

21.

L e v i - C i v i t a

Т. Determination rigoureuse des onder permanentes d'ampleur

finie.—„Math. Ann.", 1925, Bd. 93, Heft 4, p. 264—314.

22.

С л е з к и н

H. А. Об установившихся

капиллярных

волнах.— «Уч.

записки

МГУ», 1937, вып. 7, с. 71—102:

23.

С г а р р е г

G. D. An exact solution for

progressive

capillary

waves

of

arbi­

trary amplitude.—„J. Fluid Mech.", 1957, vol. 2, pt. 6, p. 532—540.

24.

G e r s t n e r

F. J. Theorie der Wellen, Abh. d. k. Bohm. Ges. d. Wiss.,

3, 1,

1804, перепечатано в Ann. Physik, 1809, 32, p. 412—445.

25.

D u b r e i l - J a c o t i n L. Sur la determination rigoureuse des

ondes

perma­

nentes periodiques d'ampleur finie.—„J. Math. Pure et Appl.",

1934,

tome 13,

No. 3, p. 217—291.

26. G о u у о n

R. Sur les houles planes en

profondeur,

infinie.—„Compt.

Rend.

Acad. Sci." 1958, tome 247, Nos. 1 (p. 33—35), 2 (p. 180—182),

3 (p. 266—269).

27. M о и с e e в H. H. Теоремы существования

и неединственности

вихревых волн

периодического

типа.— «Прикл. матем. и

мех.», 1969, т. 24,

№

4,

с. 711—

714.

28. С о х С. S., М u n k W. Н. Measurement

of

the roughness of

the

sea

surface

from photographs of the sun's glitter.—„J. Optic. Soc. Am.", 1954,

vol. 44,

No. 11, p. 838—850.

30. Л о н г e - X и г г и н с М. С. Статистический

анализ случайной движущейся

поверхности. — В сб.: Ветровые

волны. Пер. с англ.

М., Изд-во

иностр.

лит-ры, 1962, с. 125—218.

31. Л о н г е - X и г г и н с М. С. Статистическая

геометрия

случайных поверхно­

стей.— В

сб.: Гидродинамическая

неустойчивость. Пер. с англ. М.,

«Мир»,

1964, с.

124—167.

33. L о n g u e t -H i g g i n s M. S., С a r t w r i g h t D. E., S m i t h N.

D.

Obser-

wations of the directional spectrum of sea waves using the motions

of

a floa­

136.

34. C o t e L . I , D a v i s I. O., M a r k s W., M c G o u g h

R. J„ M e h r E,, P i e r -

so n

W. J., R о p e k I. F., S t e p h e n s o n G., V e 11 e r R. C. The directional

spectrum of a wind general sea determined by the Stereo Wave Observation

Project.— Meteorol. Pap. New York Univ., Coll. of

Engineers, 1960, vol. 2,

No.

6.

36. К и

т а й г о р о д с к и й

С. А. Физика взаимодействия атмосферы и океана.

Л.,

Гидрометеоиздат,

1970. 281 с.

38. З а с л а в с к и й М. М., К и т

а й г о р о д с к и й С. А.

О равновесном

интер­

вале в спектре генерируемых

ветром поверхностных

гравитационных

воли.—

«Изв. АН СССР. Физика атм. и океана», 1971, т. 7, № 5, с. 565—575.

43. P o n d

S.

Air—Sea Interaction.— „Trans. Amer. Geophvs. Un.", 1971, vol. 52,

No. 6,

p.

389—394.

Рис. 3.2.1. Колебания

солености (%о) в Гибралтарском проливе (35°54,6' с.ш.,

5° 44,4'

з. д.) 16—18 мая 1961 г. (по Боккелю [1]).

du

Vp

-g + v Ди.

(3.2.1)

dt

нение оаланса

энтропии

р — т г = 8 , где

ц—удельная

энтропия и

at

е — изменение

энтропии

единицы объема

воды, вызываемое моле­

и солености s; поэтому надо дополнительно

привлекать уравнение

ds

диффузии соли Р~^7~ = е 1 > г д е E i — приток

соли к единице объема

d T l

л

d s

л

ния —dt7г= 0> ~~г~=0,dt

приводящиеся к виду

^ -

t i

^

r

,

(3.2.2)

dt

"u

dt

где c 0 =

[ \ ~ | з / п

sJ

—скорость звука. Если

считать ее

заданной

(или известной функцией от р

и р), то уравнения

(3.2.1)

и

(3.2.2)

вместе

с условием

divu = 0 образуют

замкнутую

систему

относи­

тельно функций и, р и р.

z = H(x,

у)

Краевым условием на дне океана

будет обращение

в нуль скорости и

[а если в уравнениях движения

(3.2.1)

не учиты­

ваются

силы

вязкости, то только

нормальной

к поверхности дна

компоненты

скорости, при

плоском дне — вертикальной

компо­

ненты ВУ]. На поверхности океана z = £ (х, у, t),

вообще говоря, дол­

жны выполняться те же кинематическое и динамическое

краевые

условия, что и в случае волн на поверхности воды; тогда

будут уч­

dp

dpa

ана и записывать динамическое краевое условие в виде —гг-

— — г г

dt

dt

при z = l (х, у, t).

w

= ~dT- -§r +

s*>w =

-dr-

<3-2-3)

приближенно

относя их

к

уровню

2=0

(здесь

р0 — квазистационарная часть

плотности).

Рассмотрим прежде

всего

свободные

(р 0 = const)

внутренние

волны малой

амплитуды

в океане постоянной глубины Я

(в отсутст­

= po{z),

плотность

р = р 0 (г)

и

скорость

звука со = с0 (г) зависят

только от глубины, причем

~^~=SPo

и

Ро(0)=р 0 -

Полагая,

что

в присутствии волн

р=р0

+ р' и р = ро + р'

(р' и р' — создаваемые

волнами малые колебания"), в линейном приближении

получим

_ ^

Р

+

g

« _

Z P

l

+ g

^ .

(3.2.4)

1 6

Ро

1 6

Po

v

'

Эта

формула называется

приближением

Буссинеска

(заметим,

что в более точной теории, учитывающей нелинейные

взаимодейст­

вия между волнами, оно недостаточно

[2]); второе слагаемое

в ее

правой части есть ускорение сил плавучести

Архимеда.

Линеаризированные

уравнения

гидродинамики

с

помощью

(3.2.4) приводятся к виду:

d l v u = = 0 ;

^+g№=cl[^+W^f).

(3.2.5)

Их

надлежит

решать

при

однородных краевых

условиях:

др'

dt

-srgpaw = Q при 2 = 0 идо= 0 при 2 = Я. Колебания поверхности

океана будут описываться

значениями £ =

— при 2 = 0.

dv

Согласно уравнениям,

вертикальная проекция вихря

скорости

ди

-щ- не меняется со временем; для волн ее следует

положить

d In р п ;V2

соотношения — д Г ~ " = — c

условием р п = Ро при z = 0.

Используя

Рп, введем энергетический интеграл

н

„2 +

v2 4.W2 f jf2_ I P' — c;/

Pndz. (3.2.6)

- 5 - ( * - + ^ 4 г - ) + ^ * . « - а

-g^+g^w^O

при z = 0 ; ча=0 при г=Н.

(3.2.7)

Таким образом,

частота Вайсала—Брента оказывается

единст­

ведение внутренних

волн.

Отметим, что в литературе

(например,

в книгах Филлипса

[3] и Краусса

[4]) приводятся

несколько

иные

формы этого уравнения, возникающие при неаккуратном

использо­

вании уравнения

неразрывности.

В случае плоскогодна

(Я = const) уравнения

(3.2.5)

имеют эле­

ментарные решения в виде плоских

волн,

зависящих

от горизон­

тальных координат х, у

и времени t по закону ei^hxx+hyy-a>t),

ампли­

туды которых суть функции от глубины z,

связанные

соотноше­

ниями:

j.

iw0

_

iki

dw

_

ik2

dw

W-

dz

'

"

—

k-

dz

г'иро

dw

_

,

ioipo

/ dw

/^CqN2

W ,

(3.2.8)

K2

dz

' ?

k

2 c 2

у

o z

g U i 2

причем

возможные

частоты со и соответствующие

им

амплитуды

w (г) должны определяться из уравнений:

d2w 1 N2

dw ,

N2

— ш2

, т

г,

- 3 - 5 —

g

i

о)

9

-k2w—0;

dz2

dz

^--^-+gk?-w=0

при 2 = 0 ;

w=0

при г = Я .

(3.2.9)

Заметим, что внутренние

волны

оказываются

вихревыми:

при

выборе оси х по направлению

распространения

волны для ампли-

ди

dw

туды

вихря

скорости

—

г—

получается

выражение

76

oz

ох

дел 4.1). Отметим, что благодаря наличию

интеграла энергии

£ =

= const все частоты со вещественны. Спектр

частот со и форма

соб­

так что качественно правильную

картину даст трехслойная модель,

в которой частота N равна нулю

вне пикноклина и постоянна в нем.

dw

Условие непрерывности ~dz при z = h, во-первых, при

az=gk

удовлетворяется для любых N и k

[при этом w (z) =до ( 0 ) е - й г для

всех г, т. е. имеются поверхностные

волны, не искажаемые

страти­

ния возможных вертикальных волновых чисел I [или в силу

(3.2.11)

частот со] внутренних волн уравнение

tgffi-/(0; /(О -

(l

4 о

cth kh)

(3.2.12)

JL

+-^-)(c\hkh J^-)

ft2

\

2gk ) \

2gk }

корней

-имеющее счетное множество вещественных

положительных

U<li<

»-oo, получающихся на пересечениях тангенсоиды

у =

= tg /6

с алгебраической кривой

y = f{l)

и при больших

номерах

приближающихся сверху к точкам

1п=~^~;

отвечающие

этим

кор­

k <

при

th kh

i + s + 4 - м

1

- 9 5 -

k h

> max

* (

1 _ Е ) * л '

s 2

E

h

^ ,

^

О

1 + E —r- kk

. . . .

1

8

я

Зтс

при —

A

.

th kh .

^ < /

0 < -

1 Г

h

( 1 - е ) kh

* — - > — — . ,

s2 —

, .

к

1

8

^

thAA. . 1

8

Г,

,

7=2

i - l

к<-%г

п р и — — „ . — - > — — [ i + 4 g ( . +

W ) I

;

т < ' » < 1 " р " " 4 1 ( 1

+ 1 д а ) Г '

^ - 1 3 >

/V25

Др

где

e=

— «

т г -

—половина

относительного

перепада

плотности в

пикио-

клине, т. е. малая величина порядка 10~3.

Первое

из

этих

неравенств

для k

может

быть

удовлетворено

лишь

при б <

е2

<

е ft, т. е. при очень

тонком

пикноклине

(«почти двуслойная»

модель стра-

е2

1

Знаку равенства в первом

условии (3.2.13) для /г отвечает

еще «нулевая мода»

/=0 [которой соответствует

линейное убывание w(z)e

2 s

с глубиной в пикно­

венства

в этом условии

отвечает

некоторый

интервал не

слишком больших k,

-

->

1

при которых существует также одна «мнимая

мода» l — il,

у которой К

(&+

+ 66)

2 ^ е — ihkA ) 2'

Частота

ш, соответствующая «мнимой моде», больше

Для волн, длинных по сравнению

с толщиной пикноклина (т. е.

при Аб<с1), функцию f (/) в (3.2.12)

можно

приближенно

заменить

1+cthAA

,

,„ А

„

на

—

до, так что и щ1Ь будет малым, и для низшей моды

/ о

можно

положить t g / о б » / 0 б .

Тогда

(3.2.12)

примет вид

( / 0 б ) 2 ~