книги из ГПНТБ / Монин А.С. Изменчивость мирового океана

7 8 9 ЮтГи

Рис. 3.1.1. Спектры волн при экспериментах [17] в лотке глубиной 107 см. Верхний спектр соответствует резонанс­ ному отношению частот первичных волн ац/а>2— 1,77, на частоте 2wi — Шг максимум хорошо выражен. Нижний спектр соответствует нерезонансному отношению 0)1/0)2 =

= 1,60, максимум на частоте 2coi — со2 выражен слабо. Меньшие пики соответствуют гармоникам первичных волн.

которые для гравитационных волн на глубокой воде уже осуществимы. При k=kj такие резонансные взаимодействия также можно назвать распадными (для

60

При волнении с развитым спектром каждый волновой вектор может входить в очень многие резонансные четверки, и остается возможным лишь статистиче­ ское описание эффектов взаимодействия. Математический аппарат для такого описания развил Хассельман [10, 11]; он установил, в частности, что заметно взаимодействуют лишь очень близкие волновые числа, вследствие чего, по-види­ мому, перераспределение энергии по спектру в реальных волнах осуществляется

С другой стороны, нелинейные взаимодействия между элементарными вол­ нами, составляющими волновой пакет, в принципе способны скомпенсировать тенденцию к расплыванию пакета из-за дисперсии его составляющих. Иными сло­ вами, могут существовать решения уравнений (3.1.4) в виде установившихся (т. е. распространяющихся без изменения их формы) свободных волн конечной амплитуды.

Установившиеся плоские волны, распространяющиеся вдоль оси х с постоянной скоростью с, удобно описывать в системе коор­

ласа Дгр = 0 (отсутствие завихренности). В установившихся движе­ ниях линии тока чр = const будут совпадать с траекториями жидких частиц; одна из них, скажем, ч|з=0, будет совпадать с поверхностью жидкости z = £,(x) [это условие заменяет третье уравнение (3.1.4)]. Установившиеся периодические плоские волны описываются функ­

рядов по степеням параметра порядка их крутизны; с точностью до четвертого порядка получается:

(формула для £ отличается от соответствующего разложения тро-

61

Строгое доказательство существования установившихся воли конечной ам­ плитуды дано Некрасовым [19, 20], который воспользовался тем, что комплексный

рости. Считая волну симметричной (это ее свойство доказал Леви-Чнвита [21]), в случае глубокой воды отобразим всю занятую водой область между ложби­ нами волн в плоскости Z на единичный круг с разрезом по радиусу в плоско­ сти Zi=\Zi\ е% положив - ^ - = - ^^4^ - ^ , где X — длина волны, a f{Z>)—

степенной ряд, начинающийся с единицы.

Комплексный потенциал можно будет взять в виде W= ^ickInZ,, откуда на

поверхности воды получается /(e' z ) = т-^-т е l°s =R{%)el^X). Логарифмируя эту

Ws

формулу и используя степенной ряд для f, можно' получить соотношение между R(%) и 9(х). которое приводится к виду

sin Х ' + Х

0(х) =

sin-

Второе соотношение между R и 0 получается дифференцированием по %

Из-за возможности резонансных четырехволновых взаимодейст­ вий волны Стокса в принципе неустойчивы [2, 14, 15]; волны со слишком острыми гребнями будут обрушиваться. Можно думать, что предельная форма устойчивых волн определяется только одним параметром g, и в полярных координатах г, 6 (с началом на гребне

62

Точная теория установившихся капиллярных волн конечной амплитуды по­ строена разными методами Слезкиным [22] и Краппером [23]. По [23], введя безразмерные переменные с помощью единиц длины у/с2 и скорости с и поло­

С ростом крутизны ложбины этих воли заостряются и воз­ никают самопересечения нуле­ вой линии тока, означающие образование под острыми.лож­ бинами пузырьков воздуха.

Рис. 3.1.2. Линии тока в уста­ новившихся плоских капилляр­ ных волнах конечной ампли­ туды при разных значениях крутизны б.

Герстнер [24] в 1802 г. указал точное решение лагранжевых уравнений гидродинамики для установившихся плоских вихревых свободных волн конечной амплитуды на поверхности идеальной жидкости бесконечной глубины. Согласно этому решению, коорди­ наты х, z жидкой частицы, находившейся в отсутствие волны в то­ чке (хо, zo), в волне меняются со временем по закону

63

При я-»-— 0 поверхность воды принимает предельную форму

циклоиды с заостренными гребнями (см. рис. 3.1.3). Отметим, что, согласно Шулейкину [1], вершины реальных ветровых волн острее, а подошвы положе, чем у трохоид с той же крутизной; профили та-

уравнений к реальным морским волнам. В случае развитого волне­ ния целесообразно прибегать к статистическому его описанию, рас­ сматривая £ (х, t) как случайную движущуюся поверхность. Объек­ тами исследования при этом становятся распределения вероятно­ стей для значений £ на конечных множествах точек пространства — времени (xn , tn). Записи волнографов показывают, что при разви­ том волнении распределение вероятностей для значений £ в фикси­

ренное Коксом и Манком [28, 29] по самолетным фотографиям сол­

лее заостренными, чем гауссовские, и распределение для наклонов вдоль ветра было слегка асимметричным). Поэтому для ряда целей может быть достаточной модель гауссовской случайной поверхно­ сти £ (х, t), изученная Лонге-Хиггинсом [30, 31].

64

Одной из важнейших статистических характеристик случайной функции £ (х, t) является ее двухточечная корреляционная функция

где угловые скобки означают статистическое осреднение (если нет статистической однородности по горизонтали, например около бере­ гов, то В будет зависеть также от х; если нет статистической ста­ ционарности во времени, например при развивающемся волнении, то В будет зависеть также от t). Ее преобразование Фурье по г и т называется спектром волн:

Каждая плоская синусоидальная волна изображается на гра­ фике Е (к) точкой с некоторым весом в плоскости к; зыбь, состоя­ щая из плоских волн одного направления, — точками на одной пря­ мой, проходящей через начало координат; развитое ветровое вол­ нение— точками в некоторой области (вероятно, вытянутой по направлению доминирующего ветра).

Если в случае гравитационных волн на глубокой воде для спектральных компонент g'<k-x —m O dZ (к, со) выполняется дисперсионное соотношение u>2=gk (на самом деле оно может нарушаться из-за переноса коротких волн длинными

Частотный спектр волн нетрудно построить по записи одного волнографа. Типичный пример, приведенный на рис. 3.1.4, показы­ вает, что спектр волн довольно узок: основной вклад в <£2) здесь вносит полоса частот всего в три октавы. Спектр направлений и ча­ стот оценивался по измерениям колебаний и наклонов свободно пла­ вающего буя [33].

Двумерный спектр оценивался по самолетным стереофотогра­ фиям поверхности моря [34]. Хорошие перспективы измерений про­ странственных спектров волнения обещает использование самолет­ ных и спутниковых интерференционных альтиметров и радаров.

Расчет спектров волнения есть задача статистической гидроме­ ханики. Эволюция пространственного спектра Е (к) описывается, вообще говоря, уравнением [4]

где Ca и Ua — компоненты групповой скорости волн и скорости те­ чения соответственно; 5 а р ( к ) — спектральный вклад в тензор избы­ точного потока импульса, создаваемого волновыми движениями;

слагаемых в этом уравнении видны из рис. 3.1.5: атмосферное воз­ буждение T+(k) имеет довольно широкий спектр с максимумом около максимума спектра волн E(k), диссипация T-(k) заметна лишь при больших k, а взаимодействия волн T(k) переносят энер­ гию от коротких волн к длинным. Точный вид этих слагаемых пока еще не установлен.

Как уже отмечалось, вследствие медленности перераспределе­ ния энергии по спектру, обусловленного взаимодействием между волнами, статистическое равновесие между этим переносом и атмо­ сферным возбуждением в окрестности максимума Е (k) устанавли­ ваться не успевает, и при продолжающемся действии ветра волны

66

растут: максимум E{k) растет и смещается в сторону меньших k (механизм этого роста волн описан Шулейкиным [1]). Но рост волн с фиксированным k ограничивается условием их устойчивости — требованием, чтобы локальные ускорения на их гребнях не превос­

где В и р — числовые постоянные.

По эмпирическим данным, собранным Китайгородским [36], при измерении © в рад/с получается р ~ 6 - Ю - 3 ; при условии wz=gk по­

волнения с различными безразмерными дисперсиями —£-(£2 ) (и* —

м *

скорость трения), измеренных Волковым [37]; их высокочастотные ветви все ложатся на одну прямую, отвечающую закону Филлипса (3.1.23). Отметим, что в более детальной теории могут возникнуть поправки к закону Филлипса (в частности, некоторая изменчи­ вость Р) из-за влияния на равновесные волны локальных ускоре­ ний, создаваемых более длинными волнами (а может быть, и из-за влияния стратификации верхнего слоя океана) [38]. Отметим еще, что в интервале равновесия спектральный тензор наклонов поверхности моря —— должен иметь вид С^-со \ причем при симметрии

относительно направления ветра Xi будет C1 2 = C2i = 0; это предска­ зание подтверждено измерениями [33], причем получилось Сц + + С22—8-10- 3 . Поскольку рост капиллярных волн также ограничи­ вается пределом их устойчивости, выше которого под острыми лож­ бинами образуются пузырьки воздуха, в их спектре также можно ожидать существования интервала равновесия, определяемого на

= 1 • Ю-2 .

Что же касается неравновесной части спектра в окрестности его максимума, а потому и полной дисперсии (£2), то они могут зависеть

Рис. 3.1.6. Частотные спектры' волнения с различными безразмер-

I—VII — от 5730 до 116: 1—9 — от 570 до 2,1 • Ю-3. Масштабы для кривых 6—9 (лабораторные эксперименты) изменены (см. систему координат в правом нижнем углу рисунка).

= pg(t,2) можно осуществить при помощи уравнения переноса энер­

(т. е. что длины волн растут пропорционально их высоте), атмосфер­ ное возбуждение ~ £ и диссипация ~£2 > и привел это уравнение в соответствующих безразмерных переменных к виду

dt 1 ъ дх

Китайгородский [36] в 1962 г. предложил для не слишком ко­ ротковолновой части неравновесного спектра при не слишком ма­ лых t и х гипотезу подобия, по которой спектр определяется только

_i

\ ?а /

трения на поверхности воды), так что

ществование которого, однако, в свете вышесказанного о неравно­

тра отвечает частота со =0,88-^-, что может служить ориенти­ ром для оценки высот и длин доминирующих волн при сильном ветре.

69