книги из ГПНТБ / Монин А.С. Изменчивость мирового океана

5.2. Теоретические представления

Синоптические вихри в открытом океане. Суммируя со­ держание предыдущего параграфа, можно утверждать, что синоп­ тические вихри (т. е. движения с временными масштабами ta от нескольких до десятков суток, горизонтальными масштабами L порядка' 100 км, вертикальными масштабами Н порядка глубины океана и характерными скоростями V порядка 10 см/с) играют очень важную роль в общей динамике океана. Начнем с вывода уравнений, описывающих такие движения.

ваемых движений является величиной порядка 0,01; поскольку ха­ рактерный временной масштаб' to можно выбрать равным L/U (7-/(7—10 суток), то с большой точностью можно утверждать, что синоптические движения являются геострофическими. Кроме того, очевидна справедливость квазистатического приближения при ана­ лизе синоптических вихрей (H/L — 0,01).

Известно, что при изучении геострофических движений важную роль играет уравнение вихря, получаемое путем исключения давле­ ния из уравнений движения по долготе X и широте ср. Пренебрегая силами трения и используя приближение Буссинеска, согласно уравнениям (3.2.1) [дополненных силой Кориолиса, записанной в традиционном приближении (см. § 4.1)], получим

Заметим, что при записи (5.2.1) было использовано условие несжимаемости морской воды div/i(u, v) +dw/dz = 0.

170

Оценивая порядки членов, имеем:

различать два типа геострофических движений. Для геострофичес­ ких движений первого типа в уравнении (5.2.2) по предположению

Это крупномасштабные геострофические движения; при их анализе

Вернемся к синоптическим движениям. Учитывая их масштабы, естественно считать, что такие движения существуют на фоне

171

N —

где Lн = Я - y - , N — среднее значение частоты Вайсала—Брента. Величина L R носит название масштаба Россби *. Для океана

yVc^2- Ю - 3 с - 1 , и если Я = 4 км, то Lf i =^80 км. Таким образом, ха­ рактерный горизонтальный масштаб синоптических вихрей равен масштабу Россби.

Очевидно, что все вышеизложенное справедливо вне узкой эква­ ториальной полосы и только для условий открытого океана. Ве­ личина /, входящая в выписанные формулы, должна пониматься как некоторое характерное значение параметра Кориолиса; в даль­ нейшем оно будет обозначаться как fo.

Формулы (5.2.3), (5.2.6), (5.2.7) позволяют вывести последова­ тельно уравнения для синоптических вихрей в океане. Для этого представляем искомые величины в виде (см. [5, 6]):

' . (И> v)=U(ti', v');

этих рядов.в исходные уравнения дают следующие уравнения (см. [2,6]):

в нулевом приближении .

—vQ= — дх

+ « o = —- ду

* Важность подобного характерного масштаба, по-видимому, впервые была от­ мечена Россби [3], предложившим называть его радиусом деформации. В неявной форме такой масштаб встречался еще в работе Прандтля [4].

172

(5.2.9)

в первом приближении

По существу, это безразмерная форма записи уравнения (5.2.2). Деля почленно пятое уравнение системы (5.2.9) на N2 и диф­ ференцируя его по 2, находим в силу первых трех уравнений си­

стемы (5.2.9)

dw0 dz

Складывая эти уравнения, имеем

не что иное, как уравнение сохранения потенциального вихря час­ тицы жидкости (см. более подробно [2]).

Применимость уравнений Типа (5.2.11) к анализу синоптичес­ ких вихрей в океане рассматривалась в ряде работ. Кошляков и Грачев [7] по наблюдениям оценили некоторые параметры вихря, изображенного на рис. 5.1.6, и продемонстрировали возможность интерпретации такого вихря как бароклинной волны Россби на не­

Уравнение (5.2.11) должно решаться при следующих граничных условиях:

173

где h' — безразмерное возмущение глубины океана.

Условие (5.2.12) легко получается из обычных граничных усло­ вий на свободной поверхности океана (см. раздел 4.1), поскольку характерный масштаб для уровня океана равен ЯГКд. Условие (5.2.13) мы записываем при 2 = 1, поскольку в области с характер­ ным горизонтальным масштабом порядка 100 км неровности дна обычно «евелики ( Л ~ 5 0 м), и потому мы полагаем, что A / # ~ K i . Обсуждения особенностей синоптических вихрей в области с рез­ кими перепадами глубин см. в обзоре Н. Филлипса [2, стр. 138].

Постановка граничных условий по горизонтали весьма специ­ фична и здесь обсуждаться не будет.

Полезно указать уравнение энергии для рассматриваемых дви­ жений. Умножая первые двауравнения системы (5.2.10) соответ­ ственно на ио и 'Ой, а последнее уравнение системы (5.2.9) на ро и складывая полученные результаты, после простых преобразова­ ний находим

компонента горизонтальной скорости равна нулю, то, интегрируя

Такова интегральная форма закона сохранения энергии.

Используя результаты раздела 4.1, выясним теперь вопрос о том, какие типы волн отфильтровывают принятые нами приближения. Для этого линеаризируем уравнение (5.2.11); в силу первых трех уравнений системы (5.2.9) имеем

174

Решение этого уравнения в случае постоянной глубины океана легко нахо­ дится методом разделения переменных

со

Задача (5.2.16) полностью эквивалентна общей задаче (4.1.8) в квазиста­ тическом приближении. Уравнение (5.2.16) описывает распространение баротропных и бароклинных волн Россби в океане; для не очень длинных волн с волно­ выми числами порядка 1/1000 км и больше это уравнение может быть выведено в ВКБ приближении из общих приливных уравнений Лапласа (соответствую­ щий анализ см. в работе Н. Филлипса [10]).

Итак, принятые нами при выводе уравнений (5.2.9), (5.2.10) и граничных условий (5.2.12) и (5.2.13) приближения полностью отфильтровывают акустиче­ ские, гироскопические и гравитационные волны и оставляют лишь низкочастот­ ные волны Россби (баротропные и бароклинные); причем в линейном прибли­ жении наши уравнения описывают волны Россби практически без искажений (дисперсионные соотношения для волн Россби см. на рис. 4.1.5). Ясно, конечно, что разложение решения задачи на невзаимодействующие между собой баро­ тропные и бароклинные волны Россби возможно лишь в линейном приближении. Подчеркнем, что основное уравнение (5.2.11) нелинейно и в общем случае раз­ личные волны Россби будут взаимодействовать друг с другом.

Интересно также отметить, что определение плотности энергии, согласно уравнению (5.2.14), совпадает с определением плотности энергии для волновых движений малой амплитуды [см.. уравнение (4.1.5)], если, конечно, пренебречь сжимаемостью среды и принять квазистатическое приближение.

в океане. Естественно прежде всего рассмотреть возможность пря­ мой резонансной генерации синоптических вихрей в океане атмо­ сферными возмущениями. Обратимся для этого к табл. 5.2.1, (см. [11]), в которой приведено распределение энергии по характерным

175

П р и м е ч а н и е . Для каждой станции первая цифра отвечает о\ (п), вторая

ОО

а р ( л ) . третья av(ri); п — номер участка спектра.

синоптическая изменчивость в атмосфере формируется циклонами и антициклонами с характерным горизонтальным масштабом порядка 1000 км. Так как характерный горизонтальный масштаб для синоп­ тических вихрей в океане имеет порядок 100 км, то возможность прямого резонансного возбуждения таких вихрей, по-видимому, отпадает.

В настоящее время реалистичной 'представляется следующая схема: атмосферные возмущения типа циклонов и антициклонов ге­ нерируют в океане крупномасштабные течения, которые 'благодаря

кие движения, заимствующие, таким образом, свою энергию от крупномасштабных движений. Однако вряд ли направление потока

Итак, актуальными становятся задачи об устойчивости крупно­ масштабных течений, или, более обще, проблемы взаимодействия крупномасштабных и мезомасштабных геострофических движений.

176

оно разложено в ряд по числу Кибеля Кд и отдельные члены этого ряда удовлетворяют уравнениям (5.2.9), (5.2.10) и т. д.:

Возмущая это решение, легко получим линейные относительно таких возмущений уравнения. Ограничимся тем, что приведем лишь уравнение для суммарной энергии таких возмущений. Повторяя, по существу, вывод уравнения (5.2.15), находим

где величины с волнистой линией сверху означают возмущения. Мы видим, что существуют два источника энергии возмущений. Первый источник связан с тем, что крупномасштабное движение изменяется по горизонтали. Если такое движение действительно не­ устойчиво (на обсуждении конкретных критериев устойчивости мы останавливаться не будем, отсылая читателя к только что цитиро­ ванным работам), то неустойчивость такого вида называется баротропной, поскольку, вообще говоря, бароклинность морской воды не имеет в этом случае существенного значения. Энергетическим источником возмущений является кинетическая энергия крупно­ масштабного движения.

Второй источник энергии возмущений обусловлен существова­ нием горизонтального градиента плотности дро/ду (или в силу гео­ строфического соотношения вертикального градиента скорости dUa/dz). Неустойчивость такого вида называется бароклинной. Пер­ воначальным энергетическим источником возмущений является до­ ступная потенциальная энергия крупномасштабного движения.

Интересный новый механизм генерации синоптических вихрей предложили недавно Бретертон и Карвайт [8]. Их механизм обус­ ловлен неустойчивостью крупномасштабного течения при слабом (h/H~Ki) возмущении рельефа дна (наличие «шероховатости» дна). Численное исследование задачи показало не только возмож­ ность генерации синоптических вихрей, но и их сильное «обратное» влияние на крупномасштабное движение.

чальные теории меандрирования рассматривали это явление в рам­

чивости указывает на очень быстрое нарастание возмущений; по­ этому как линейная теория она применима лишь в очень узком диапазоне (как во времени, так и в пространстве).

объяснения существования двух устойчивых стационарных положе­ ний оси Куросио (см. раздел 5.1). Было показано, что положение оси Куросио существенно зависит от величины придонной скорости (эта величина является входным параметром в теории). По суще­ ству, объяснение существования преимущественно двух устойчивых положений оси Куросио сводится к доказательству существования «запретной зоны», разделяющей эти положения оси Куросио; при вариации входных параметров теории, согласно наблюдениям, ось Куросио крайне редко попадает в такую зону. Однако нелинейная теория топографических меандров не учитывает важной роли не­ стационарных эффектов (см. обсуждение особенностей меандриро­ вания Гольфстрима в разделе 5.1).

Указанные два механизма, бесспорно, существенны, однако не­ обходима (по крайней мере, для Гольфстрима) такая нестацио­ нарная нелинейная теория, которая включила бы как эффект баро­ клинной неустойчивости, так и эффект образования стационарных меандров из-за рельефа дна. Поскольку построение такой теории связано с очень большими трудностями (см. обзор Робинсона [22, п. 6, 7], где кратко обсуждаются основные положения этой тео­ рии), мы рассмотрим упрощенную линейную теорию, по-видимому, правильно описывающую формирование не очень сильных меанд­ ров и вихрей [29].

При построении теории число Кибеля предполагается малым и учитываются лишь первые члены разложения в ряд скорости, дав­ ления и температуры течения. После некоторых преобразований задача сводится к анализу следующей системы, которую удобно

178

ниями (г = 0 соответствует дну и ось z направлена вверх); v(v,z,t) — скорость вдоль изобат; V(z) —начальная скорость (х=0) поперек изобат [в первом приближении скорость поперек изобат повсюду равна V(z)]; h* — некоторый параметр, определяющий эффект рельефа дна.

Ограничимся описанием некоторых важных свойств решений этих уравнений, связанных с процессом меандрирования течений. Прежде всего уравнения (5.2.19), (5.2.20) допускают волновые ре­

возникать нарастающие колебания; проще всего это продемонстри­ ровать, полагая /г* = 0. Тогда

зать, что после ряда преобразований получается следующее урав­ нение для vo = v(v, 0, t):

^+2<^>-Й +<^>%+^(4-+^)^- (5.2.22)

Стационарное решение этого уравнения существует лишь при

dvo/dv при v = 0 приводит к корректной задаче.