Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

книги из ГПНТБ / Монин А.С. Изменчивость мирового океана

.pdf
Скачиваний:
33
Добавлен:
25.10.2023
Размер:
12.4 Mб
Скачать

45.

U d а М.

On

the

nature of

the Kuroshio, its origin and meanders.— In: Stu­

 

dies on

Oceanogr. Hidaka Anniv. vol. Tokyo, 1964,

p. 89—107.

 

 

 

 

46.

Y o s h i d a

K. On

the variation oF Kuroshio and cold water mass off

 

Enshu-

 

nada.—..Hydrogr.

Bui.", 1961, No. 67, p. 11—18.

 

 

 

 

 

47.

M о r i у a s u

Sh.

The fluctuation of hydrographic condition in the sea

south

 

of Honshu, Japan

(Review).—„Oceanogr. Mag.",

1963, vol. 15,

No. 1,

p.

11—

 

29.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

48.

S h o j i

D. Description of

the Kuroshio

(physical

aspect).— In: Ргос.

Sympo­

 

sium on

 

the

Kuroshio. Oceanogr. Soc.

Japan and UNESCO,

1965,

p.

1—11.

49.

R о b i n s о n

A. R.,

T a f t

B. A. A numerical experiment for the path

of

the

 

Kuroshio.—„J. Mar.

Res.",

1972, vol. 30,

No. 1, p. 65—101.

 

 

 

 

5.2. Теоретические представления

Синоптические вихри в открытом океане. Суммируя со­ держание предыдущего параграфа, можно утверждать, что синоп­ тические вихри (т. е. движения с временными масштабами ta от нескольких до десятков суток, горизонтальными масштабами L порядка' 100 км, вертикальными масштабами Н порядка глубины океана и характерными скоростями V порядка 10 см/с) играют очень важную роль в общей динамике океана. Начнем с вывода уравнений, описывающих такие движения.

Прежде

всего проведем необходимую оценку

порядка членов

в основных

уравнениях. Число Кибеля Ki = t7/fL

для рассматри­

ваемых движений является величиной порядка 0,01; поскольку ха­ рактерный временной масштаб' to можно выбрать равным L/U (7-/(7—10 суток), то с большой точностью можно утверждать, что синоптические движения являются геострофическими. Кроме того, очевидна справедливость квазистатического приближения при ана­ лизе синоптических вихрей (H/L 0,01).

Известно, что при изучении геострофических движений важную роль играет уравнение вихря, получаемое путем исключения давле­ ния из уравнений движения по долготе X и широте ср. Пренебрегая силами трения и используя приближение Буссинеска, согласно уравнениям (3.2.1) [дополненных силой Кориолиса, записанной в традиционном приближении (см. § 4.1)], получим

dt '"acostp

дХ *

а

ду >

дг ' °

 

dw

dv

dw

ди

dw

(5.2.1)

dz 1

dz

a cos

<pd\

dz

a d<?= o ,

где

 

 

 

 

 

 

dv

 

1

 

 

 

 

a cos

<fd\

cos <p

 

 

 

— вертикальная компонента относительного

вихря.

 

Заметим, что при записи (5.2.1) было использовано условие несжимаемости морской воды div/i(u, v) +dw/dz = 0.

170

Оценивая порядки членов, имеем:

 

 

dv

dw

da

dw

 

С

т г .

dz

a cos c? d\

dz

ad<?

,,.

- ~

K i

,

 

dz

^ ~ K i .

 

 

 

J

 

 

Поэтому уравнение (5.2.1) можно переписать как

 

 

- g - + P « - / - S — 0 .

 

(5.2.2)

где смысл обозначения полной производной

d/dt

очевиден.

Следуя Бургеру

[1] (см. также

обзор Н. Филлвпса [2]), будем

различать два типа геострофических движений. Для геострофичес­ ких движений первого типа в уравнении (5.2.2) по предположению

все три члена имеют одинаковый порядок. Так как dt,ldt~UzILz

и

Р ~ / / а , то

 

 

 

 

 

 

Вообще говоря, достаточно

предположить,

что L/a ~ K i .

Тогда

dt,/dt~$v

и, согласно (5.2.2),

сразу получим

первую

формулу

(5.2.3).

Условие

L/a ~ K i хорошо выполняется

для

синоптических

вихрей

(Z, —100

км, Ki — 0,01),

которые оказываются, таким

обра­

зом, геострофическими движениями первого типа

(их

еще

часто

называют мезомасштабными геострофическими

движениями).

Геострофические движения второго типа характеризуются усло­

вием

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 - 1 -

 

 

(5.2.4)

Это крупномасштабные геострофические движения; при их анализе

член aXIdt в уравнении

(5.2.2) может быть отброшен

[(d£,/dt)/$v~

~ K i ] и W = (H/L)U.

Численное моделирование крупномасштаб­

ных геострофических движений обсуждается в главе 9.

 

Вернемся к синоптическим движениям. Учитывая их масштабы, естественно считать, что такие движения существуют на фоне

заданной

стратификации океана. Поэтому запишем уравнение для

плотности в виде

[ср. уравнение (4.1.3)]

 

 

 

 

dp*

|

Ц

fo*

у

dp*

,

( ^

+ ^ ) = 0 ,

(5.2.5)

dt

*

a cos <р dl

'

a

d<?

'

 

 

 

 

где ps(z)

—стандартное

распределение плотности в океане; №(z)

частота Вайсала—Брента, соответствующая

распределению

ps{z);

р* — отклонение плотности от

ps(z).

 

 

 

 

В силу квазистатического и геострофического приближений ха­

рактерное значение возмущения плотности р* определяется как

 

 

 

 

 

 

Ро -

gH Ki .

 

(5.2.6)

171

Далее,

считая, что

в уравнении (5.2.5) горизонтальная

адвек­

ция р* и временное изменение р*, имеющие одинаковый

порядок

(временной

масштаб

L/U), сравнимы по величине с

членом

ic(pslg)N2,

находим

L=LR,

(5.2.7)

 

 

N —

где Lн = Я - y - , N — среднее значение частоты Вайсала—Брента. Величина L R носит название масштаба Россби *. Для океана

yVc^2- Ю - 3 с - 1 , и если Я = 4 км, то Lf i =^80 км. Таким образом, ха­ рактерный горизонтальный масштаб синоптических вихрей равен масштабу Россби.

Очевидно, что все вышеизложенное справедливо вне узкой эква­ ториальной полосы и только для условий открытого океана. Ве­ личина /, входящая в выписанные формулы, должна пониматься как некоторое характерное значение параметра Кориолиса; в даль­ нейшем оно будет обозначаться как fo.

Формулы (5.2.3), (5.2.6), (5.2.7) позволяют вывести последова­ тельно уравнения для синоптических вихрей в океане. Для этого представляем искомые величины в виде (см. [5, 6]):

' . (И> v)=U(ti', v');

 

Р = Р , ( г ) + К 1 Г р , ( г ) Р ' ,

(5.2.8)

где Г = (HN2)

jg — параметр стратификации (Г^: Ю - 3 ; будем

пола­

гать r ~ K i ) ;

все величины со штрихами

безразмерны.

 

Так как Z —100 км, то в дальнейшем

можно ограничиться при­

ближением р-плоскости и считать в силу второй формулы

(5.2.3),

что / = /о(1 + Р*К1|/'), где р* и у' безразмерны

и представляют со­

бой величины порядка единицы.

 

Формальное разложение штрихованных переменных в ряд по

числу Кибеля Ki (например, и' = ua+Kiui+

...) и подстановка

этих рядов.в исходные уравнения дают следующие уравнения (см. [2,6]):

в нулевом приближении .

—vQ= — дх

+ « o = —- ду

дра

.

ди-о | dv0

 

-Ро,

-дх~~Т-~ду~—U'

* Важность подобного характерного масштаба, по-видимому, впервые была от­ мечена Россби [3], предложившим называть его радиусом деформации. В неявной форме такой масштаб встречался еще в работе Прандтля [4].

172

(5.2.9)

в первом приближении

т"Р

У И о + м Н — Л 7 —1 г

о0

п

r v ° "~

—'

ду '

 

 

 

dt

 

""

 

 

 

 

 

^ Г + ^ - + ^ - 0

-

 

 

(6-2.10)

Заметим, что в первом приближении

мы не выписываем ана­

логи третьего и

пятого

уравнений

системы (5.2.9),

поскольку

в дальнейшем эти уравнения не используются.

 

 

Исключая из первых двух уравнений

системы

(5.2.10)

давление

Ри легко получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[ dt

i и°

дх

ду )

\ дх

 

ду

 

У)—

dz •

 

По существу, это безразмерная форма записи уравнения (5.2.2). Деля почленно пятое уравнение системы (5.2.9) на N2 и диф­ ференцируя его по 2, находим в силу первых трех уравнений си­

стемы (5.2.9)

dw0 dz

Складывая эти уравнения, имеем

Это и есть окончательная

форма уравнения для описания си­

ноптических

вихрей; функции

и0,

vo, ро в силу первых трех уравне­

ний (5.2.9)

просто выражаются

через ро. Уравнение (5.2.11) есть

не что иное, как уравнение сохранения потенциального вихря час­ тицы жидкости (см. более подробно [2]).

Применимость уравнений Типа (5.2.11) к анализу синоптичес­ ких вихрей в океане рассматривалась в ряде работ. Кошляков и Грачев [7] по наблюдениям оценили некоторые параметры вихря, изображенного на рис. 5.1.6, и продемонстрировали возможность интерпретации такого вихря как бароклинной волны Россби на не­

ровном дне [линейный анализ уравнения

(5.2.11)]; Бретертон и

Карвайт [8] показали, что уравнение типа

(5.2.11)

удовлетвори­

тельно описывает эволюцию наблюденных

вихрей

(см. рис. 5.1.6

и 5.1.9).

 

 

Уравнение (5.2.11) должно решаться при следующих граничных условиях:

173

на поверхности океана

 

 

w0=0

при 2 = 0 ,

(5.2.12)

на дне океана

 

 

w°=u°-~dx~+v°-dT~

П Р И z = = 1 >

(5.2.13)

где h' — безразмерное возмущение глубины океана.

Условие (5.2.12) легко получается из обычных граничных усло­ вий на свободной поверхности океана (см. раздел 4.1), поскольку характерный масштаб для уровня океана равен ЯГКд. Условие (5.2.13) мы записываем при 2 = 1, поскольку в области с характер­ ным горизонтальным масштабом порядка 100 км неровности дна обычно «евелики ( Л ~ 5 0 м), и потому мы полагаем, что A / # ~ K i . Обсуждения особенностей синоптических вихрей в области с рез­ кими перепадами глубин см. в обзоре Н. Филлипса [2, стр. 138].

Постановка граничных условий по горизонтали весьма специ­ фична и здесь обсуждаться не будет.

Полезно указать уравнение энергии для рассматриваемых дви­ жений. Умножая первые двауравнения системы (5.2.10) соответ­ ственно на ио и 'Ой, а последнее уравнение системы (5.2.9) на ро и складывая полученные результаты, после простых преобразова­ ний находим

-дГ{

2

) = = - ^ \ ^ о

[

2

T"2]v2-+^J + v,Po| -

 

 

--^(РоЩ),

 

 

 

(5.2.14)

где символ

div/t обозначает плоскую дивергенцию векторов

и vo =

= (uo, vo);

Vi==(«.i, vt). Величина

p20l2N2,

по существу,

дает

выра­

жение

для плотности доступной

потенциальной

энергии

(см. [9]).

Если предположить, что жидкость заключена в конечный

объем

V с отвесными вертикальными стенками,

на

которых

нормальная

компонента горизонтальной скорости равна нулю, то, интегрируя

(5.2.14)

по объему V и учитывая

условие (5.2.12), а также

то, что

в силу

(5.2.13) и первого, второго и четвертого

уравнений

системы

(5.2.9)

p0w0=divll(p0k'v0)r

при 2 = 1

,

 

 

 

получим

 

 

 

 

4 l ( ^ + J r ) « V = 0 .

(5.2.15,

Такова интегральная форма закона сохранения энергии.

Используя результаты раздела 4.1, выясним теперь вопрос о том, какие типы волн отфильтровывают принятые нами приближения. Для этого линеаризируем уравнение (5.2.11); в силу первых трех уравнений системы (5.2.9) имеем

174

Решение этого уравнения в случае постоянной глубины океана легко нахо­ дится методом разделения переменных

со

 

Рй=2

¥

я

( х - У' о

2 «

 

 

1

 

 

 

 

 

где функции Ч?п (х, у, t)

удовлетворяют

уравнениям

 

( Д Л ¥ „ -

е„\6'л ) + р*

 

= 0,

л = 1. 2

(5.2.16)

(г)—собственные

значения

и соответствующие им собственные функ­

ции следующей задачи:

д / 1

dZ

\

 

 

 

 

 

Z ' ( 0 ) = 0 ,

 

Z ' ( 1 ) = 0 ;

 

(5.2.17)

Задача (5.2.16) полностью эквивалентна общей задаче (4.1.8) в квазиста­ тическом приближении. Уравнение (5.2.16) описывает распространение баротропных и бароклинных волн Россби в океане; для не очень длинных волн с волно­ выми числами порядка 1/1000 км и больше это уравнение может быть выведено в ВКБ приближении из общих приливных уравнений Лапласа (соответствую­ щий анализ см. в работе Н. Филлипса [10]).

Итак, принятые нами при выводе уравнений (5.2.9), (5.2.10) и граничных условий (5.2.12) и (5.2.13) приближения полностью отфильтровывают акустиче­ ские, гироскопические и гравитационные волны и оставляют лишь низкочастот­ ные волны Россби (баротропные и бароклинные); причем в линейном прибли­ жении наши уравнения описывают волны Россби практически без искажений (дисперсионные соотношения для волн Россби см. на рис. 4.1.5). Ясно, конечно, что разложение решения задачи на невзаимодействующие между собой баро­ тропные и бароклинные волны Россби возможно лишь в линейном приближении. Подчеркнем, что основное уравнение (5.2.11) нелинейно и в общем случае раз­ личные волны Россби будут взаимодействовать друг с другом.

Интересно также отметить, что определение плотности энергии, согласно уравнению (5.2.14), совпадает с определением плотности энергии для волновых движений малой амплитуды [см.. уравнение (4.1.5)], если, конечно, пренебречь сжимаемостью среды и принять квазистатическое приближение.

Важнейшей проблемой динамики океана является

вопрос

о ге­

нерации

синоптических

вихрей в океане, или, иными

словами,

воп­

рос об

энергетическом

источнике синоптической

изменчивости

в океане. Естественно прежде всего рассмотреть возможность пря­ мой резонансной генерации синоптических вихрей в океане атмо­ сферными возмущениями. Обратимся для этого к табл. 5.2.1, (см. [11]), в которой приведено распределение энергии по характерным

участкам спектра для некоторых атмосферных

параметров *.

 

Согласно

этой таблице,

наблюдается

отчетливый

энергетичес­

кий пик для скорости

ветра

в частотном

диапазоне,

соответствую­

щем так называемому

естественному

синоптическому

периоду

(5—

10 суток)

в атмосфере (интервал 3

в табл. 5.2.1). Это диапазон

синоптической

изменчивости

атмосферы;

хорошо

известно,

что

* Таблица

построена по

данным

кораблей

погоды

и

островных метеостанций

в Атлантике за период 50—100 лет для среднемесячных

величин и 1—2 года для

срочных наблюдений.

 

 

 

 

 

 

 

 

175

Т а б л и ц а

5.2.1. Распределение энергии по характерным участкам

спектра

для

температуры Т (град.2 ),

давления р (мбар2 ) и скорости

ветра

Vw 2 2 )

 

 

 

 

 

 

 

на уровне

моря

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Участок

спектра

 

 

 

 

 

 

 

 

 

У

а

 

 

ЕГ

 

 

 

 

 

 

 

и

и

U

 

и

 

 

 

 

 

 

 

t*.

 

t-

 

 

 

 

 

 

 

со

1

1

 

со

т

 

 

 

 

 

 

1

 

 

1

1

 

 

Район

 

 

О

О

О

 

О

О

о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

СО

CN

со

 

t--

ю

ю

 

 

 

 

 

 

с-1

 

 

 

 

 

 

 

г--*

 

 

 

 

 

 

 

1

1

 

J1

1

1

 

 

 

 

 

 

о

1

О

 

ю1

со

 

 

 

 

 

 

1

00

 

 

О

О

О1

 

 

 

 

 

 

О

о1

 

.—.

1—I

,—|

 

 

 

 

 

СО

'

1—1

 

'

 

—ч _

 

 

 

 

 

* ^ со

/ N

 

СО

CN '

С> со

 

 

 

 

 

 

 

' со

 

^

со

Северная

часть

Атлан­

0,50

7,75

1,34

2,44

 

тики (60—40° с. ш.)

4,35

72

61

82

 

 

 

 

 

 

 

14,2

75

 

 

Центральная

часть Ат­

0,081

1,57

3,74

5,25

—.

лантики

(40—20° с. ш.)

0,58

7,46

50

 

 

 

 

 

 

17,5

95

 

 

Экваториальная

часть

0,10

0,74

0,15

2,48

Атлантики (10° с.ш.—

0,11

1,04

0,26

1,48

10° ю. ш.)

 

 

1.7

15

 

0,149

0,428

Южная часть Атланти­

0,12

1,22

0,90

6,6

ки

(40—60° ю. ш.)

1,31

14,60

20,5

114

 

 

 

 

 

 

6,4

65

 

П р и м е ч а н и е . Для каждой станции первая цифра отвечает о\ (п), вторая

ОО

а р ( л ) . третья av(ri); п — номер участка спектра.

синоптическая изменчивость в атмосфере формируется циклонами и антициклонами с характерным горизонтальным масштабом порядка 1000 км. Так как характерный горизонтальный масштаб для синоп­ тических вихрей в океане имеет порядок 100 км, то возможность прямого резонансного возбуждения таких вихрей, по-видимому, отпадает.

В настоящее время реалистичной 'представляется следующая схема: атмосферные возмущения типа циклонов и антициклонов ге­ нерируют в океане крупномасштабные течения, которые 'благодаря

различным физическим механизмам оказываются

неустойчивыми,

в результате чего и возбуждаются мезомасштабные

геострофичес­

кие движения, заимствующие, таким образом, свою энергию от крупномасштабных движений. Однако вряд ли направление потока

энергии

всегда

односторонне; возможно, что в некоторых

областях

океана

поток

энергии

направлен от мезомасштабных

движений

к крупномасштабным

(мы еще вернемся к этому вопросу в гла­

ве 9).

 

 

 

 

Итак, актуальными становятся задачи об устойчивости крупно­ масштабных течений, или, более обще, проблемы взаимодействия крупномасштабных и мезомасштабных геострофических движений.

176

Рассмотрим сначала кратко результаты линейной

теории

устойчи­

вости

простых зональных или

меридиональных

геострофических

течений. Этому вопросу посвящена большая литература

(см. ра­

боты

[5,

6, 12—17] и библиографию к ним); в

последнее время

интенсивно изучаются проблемы нелинейной устойчивости

(см., на­

пример,

[18—21]).

4

 

 

 

Пусть

задано,

например, зональное геострофическое

движение

и h' = h'(y). В силу простоты

этого движения можно считать, что

оно разложено в ряд по числу Кибеля Кд и отдельные члены этого ряда удовлетворяют уравнениям (5.2.9), (5.2.10) и т. д.:

U0=Uu{y,

z);

V0=0;

Wo=0;

Р00(У,

г);

Ро=Ро(У,

г);

i / i = £/i(y,

г);

V , = b ;

W , = 0 ;

/>,=/>, (у,

z);

P l = P l ( y ,

г).

Возмущая это решение, легко получим линейные относительно таких возмущений уравнения. Ограничимся тем, что приведем лишь уравнение для суммарной энергии таких возмущений. Повторяя, по существу, вывод уравнения (5.2.15), находим

где величины с волнистой линией сверху означают возмущения. Мы видим, что существуют два источника энергии возмущений. Первый источник связан с тем, что крупномасштабное движение изменяется по горизонтали. Если такое движение действительно не­ устойчиво (на обсуждении конкретных критериев устойчивости мы останавливаться не будем, отсылая читателя к только что цитиро­ ванным работам), то неустойчивость такого вида называется баротропной, поскольку, вообще говоря, бароклинность морской воды не имеет в этом случае существенного значения. Энергетическим источником возмущений является кинетическая энергия крупно­ масштабного движения.

Второй источник энергии возмущений обусловлен существова­ нием горизонтального градиента плотности дро/ду (или в силу гео­ строфического соотношения вертикального градиента скорости dUa/dz). Неустойчивость такого вида называется бароклинной. Пер­ воначальным энергетическим источником возмущений является до­ ступная потенциальная энергия крупномасштабного движения.

Интересный новый механизм генерации синоптических вихрей предложили недавно Бретертон и Карвайт [8]. Их механизм обус­ ловлен неустойчивостью крупномасштабного течения при слабом (h/H~Ki) возмущении рельефа дна (наличие «шероховатости» дна). Численное исследование задачи показало не только возмож­ ность генерации синоптических вихрей, но и их сильное «обратное» влияние на крупномасштабное движение.

12 Заказ № 519

177

Меандрирование пограничных течений. Перейдем, наконец,

к краткому обзору теории узких меандрирующих

течений, таких,

как Гольфстрим и Куросио (см. обзор Робинсона

[22]). Первона­

чальные теории меандрирования рассматривали это явление в рам­

ках классической теории бароклинной (или баротрош-юй)

неустой­

чивости заданного потока (см., например, [14, 15,

23, 24]).

Однако, как отмечает Робинсон [22], теория бароклинной

неустой­

чивости указывает на очень быстрое нарастание возмущений; по­ этому как линейная теория она применима лишь в очень узком диапазоне (как во времени, так и в пространстве).

В работах

Уоррена

[25], Робинсона и Ниилера [26], Ннилера

и Робинсона

[27] предложена нелинейная стационарная

теория,

объясняющая

формирование меандров влиянием рельефа дна. Эта

теория была

успешно

применена Робинсоном и Тафтом

[28] для

объяснения существования двух устойчивых стационарных положе­ ний оси Куросио (см. раздел 5.1). Было показано, что положение оси Куросио существенно зависит от величины придонной скорости (эта величина является входным параметром в теории). По суще­ ству, объяснение существования преимущественно двух устойчивых положений оси Куросио сводится к доказательству существования «запретной зоны», разделяющей эти положения оси Куросио; при вариации входных параметров теории, согласно наблюдениям, ось Куросио крайне редко попадает в такую зону. Однако нелинейная теория топографических меандров не учитывает важной роли не­ стационарных эффектов (см. обсуждение особенностей меандриро­ вания Гольфстрима в разделе 5.1).

Указанные два механизма, бесспорно, существенны, однако не­ обходима (по крайней мере, для Гольфстрима) такая нестацио­ нарная нелинейная теория, которая включила бы как эффект баро­ клинной неустойчивости, так и эффект образования стационарных меандров из-за рельефа дна. Поскольку построение такой теории связано с очень большими трудностями (см. обзор Робинсона [22, п. 6, 7], где кратко обсуждаются основные положения этой тео­ рии), мы рассмотрим упрощенную линейную теорию, по-видимому, правильно описывающую формирование не очень сильных меанд­ ров и вихрей [29].

При построении теории число Кибеля предполагается малым и учитываются лишь первые члены разложения в ряд скорости, дав­ ления и температуры течения. После некоторых преобразований задача сводится к анализу следующей системы, которую удобно

записать в безразмерном

виде:

 

 

w

+

v & ~b~7dz

- з г = ° ;

( 5 - 2 Л 9 >

l { - ^ 5 r + ^ ( z ) - ^ " } f l f e + A * ^ ( v . °- 0 = 0 ,

(5.2.20)

где v отсчитывается

поперек изобат, предполагаемых

прямыми ли-

178

ниями (г = 0 соответствует дну и ось z направлена вверх); v(v,z,t) — скорость вдоль изобат; V(z) —начальная скорость (х=0) поперек изобат [в первом приближении скорость поперек изобат повсюду равна V(z)]; h* — некоторый параметр, определяющий эффект рельефа дна.

Ограничимся описанием некоторых важных свойств решений этих уравнений, связанных с процессом меандрирования течений. Прежде всего уравнения (5.2.19), (5.2.20) допускают волновые ре­

шения вида

v=A(z)

expi(kv

— at).

Из (5.2.19) сразу находим, что

A (z) = V{z)

— со/А; подстановка в (5.2.20) дает дисперсионное соот­

ношение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2+2

 

< V> k2u-

< V2}

£ 3 + Л * ( - с о + Л р ) = 0 ,

(5.2.21)

где выражение

в

угловых

скобках

означает

среднее

по глубине,

а V — значение V при 2 = 0.

 

 

 

 

 

Нетрудно показать,

что

в баротропном

случае

(V) = ~jf (V2) =

= V = V волны

всегда

устойчивы.

В бароклинной

случае

могут

возникать нарастающие колебания; проще всего это продемонстри­ ровать, полагая /г* = 0. Тогда

 

k = W { < 1 / > ± К < Ю 2 - < 1 / 2 > } .

 

к

Поскольку (У)2 <(У2 ),то при действительном со волновое число

будет комплексным, что и означает экспоненциальное нарастание

колебаний при увеличении v (вниз по течению).

 

 

Отметим необычный характер системы (5.2.19), (5.2.20): вообще

говоря, уравнение (5.2.19) определяет

вертикальную

структуру v,

а

уравнение (5.2.20)горизонтальную

структуру v.

Можно пока­

зать, что после ряда преобразований получается следующее урав­ нение для vo = v(v, 0, t):

^+2<^>-Й +<^>%+^(4-+^)^- (5.2.22)

Стационарное решение этого уравнения существует лишь при

наличии рельефа дна (к*ф0);

длина волны топографических

меан­

дров равна /г*У/(1/2).

 

 

 

 

 

В баротропном

случае уравнение (5.2.22) сильно упрощается

и принимает вид

 

 

 

 

 

Это

известное телеграфное

уравнение

(только

роль «времени»

играет

v, а роль

«координаты» — t).

Поэтому

задание

VQ и

dvo/dv при v = 0 приводит к корректной задаче.

12*

179

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ