
книги из ГПНТБ / Монин А.С. Изменчивость мирового океана
.pdf45. |
U d а М. |
On |
the |
nature of |
the Kuroshio, its origin and meanders.— In: Stu |
||||||||
|
dies on |
Oceanogr. Hidaka Anniv. vol. Tokyo, 1964, |
p. 89—107. |
|
|
|
|
||||||
46. |
Y o s h i d a |
K. On |
the variation oF Kuroshio and cold water mass off |
|
Enshu- |
||||||||
|
nada.—..Hydrogr. |
Bui.", 1961, No. 67, p. 11—18. |
|
|
|
|
|
||||||
47. |
M о r i у a s u |
Sh. |
The fluctuation of hydrographic condition in the sea |
south |
|||||||||
|
of Honshu, Japan |
(Review).—„Oceanogr. Mag.", |
1963, vol. 15, |
No. 1, |
p. |
11— |
|||||||
|
29. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
48. |
S h o j i |
D. Description of |
the Kuroshio |
(physical |
aspect).— In: Ргос. |
Sympo |
|||||||
|
sium on |
|
the |
Kuroshio. Oceanogr. Soc. |
Japan and UNESCO, |
1965, |
p. |
1—11. |
|||||
49. |
R о b i n s о n |
A. R., |
T a f t |
B. A. A numerical experiment for the path |
of |
the |
|||||||
|
Kuroshio.—„J. Mar. |
Res.", |
1972, vol. 30, |
No. 1, p. 65—101. |
|
|
|
|
5.2. Теоретические представления
Синоптические вихри в открытом океане. Суммируя со держание предыдущего параграфа, можно утверждать, что синоп тические вихри (т. е. движения с временными масштабами ta от нескольких до десятков суток, горизонтальными масштабами L порядка' 100 км, вертикальными масштабами Н порядка глубины океана и характерными скоростями V порядка 10 см/с) играют очень важную роль в общей динамике океана. Начнем с вывода уравнений, описывающих такие движения.
Прежде |
всего проведем необходимую оценку |
порядка членов |
в основных |
уравнениях. Число Кибеля Ki = t7/fL |
для рассматри |
ваемых движений является величиной порядка 0,01; поскольку ха рактерный временной масштаб' to можно выбрать равным L/U (7-/(7—10 суток), то с большой точностью можно утверждать, что синоптические движения являются геострофическими. Кроме того, очевидна справедливость квазистатического приближения при ана лизе синоптических вихрей (H/L — 0,01).
Известно, что при изучении геострофических движений важную роль играет уравнение вихря, получаемое путем исключения давле ния из уравнений движения по долготе X и широте ср. Пренебрегая силами трения и используя приближение Буссинеска, согласно уравнениям (3.2.1) [дополненных силой Кориолиса, записанной в традиционном приближении (см. § 4.1)], получим
dt '"acostp |
дХ * |
а |
ду > |
дг ' ° |
|
|
dw |
dv |
dw |
ди |
dw |
(5.2.1) |
|
dz 1 |
dz |
a cos |
<pd\ |
dz |
a d<?= o , |
|
где |
|
|
|
|
|
|
dv |
|
1 |
|
|
|
|
a cos |
<fd\ |
cos <p |
|
|
|
|
— вертикальная компонента относительного |
вихря. |
|
Заметим, что при записи (5.2.1) было использовано условие несжимаемости морской воды div/i(u, v) +dw/dz = 0.
170
Оценивая порядки членов, имеем:
|
|
dv |
dw |
da |
dw |
|
С |
т г . |
dz |
a cos c? d\ |
dz |
ad<? |
,,. |
- ~ |
K i |
, |
|
dz |
^ ~ K i . |
|
|
|
|
J |
|
|
|
Поэтому уравнение (5.2.1) можно переписать как |
||||||
|
|
- g - + P « - / - S — 0 . |
|
(5.2.2) |
||
где смысл обозначения полной производной |
d/dt |
очевиден. |
||||
Следуя Бургеру |
[1] (см. также |
обзор Н. Филлвпса [2]), будем |
различать два типа геострофических движений. Для геострофичес ких движений первого типа в уравнении (5.2.2) по предположению
все три члена имеют одинаковый порядок. Так как dt,ldt~UzILz |
и |
||||||
Р ~ / / а , то |
|
|
|
|
|
|
|
Вообще говоря, достаточно |
предположить, |
что L/a ~ K i . |
Тогда |
||||
dt,/dt~$v |
и, согласно (5.2.2), |
сразу получим |
первую |
формулу |
|||
(5.2.3). |
Условие |
L/a ~ K i хорошо выполняется |
для |
синоптических |
|||
вихрей |
(Z, —100 |
км, Ki — 0,01), |
которые оказываются, таким |
обра |
|||
зом, геострофическими движениями первого типа |
(их |
еще |
часто |
||||
называют мезомасштабными геострофическими |
движениями). |
||||||
Геострофические движения второго типа характеризуются усло |
|||||||
вием |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 - 1 - |
|
|
(5.2.4) |
Это крупномасштабные геострофические движения; при их анализе
член aXIdt в уравнении |
(5.2.2) может быть отброшен |
[(d£,/dt)/$v~ |
~ K i ] и W = (H/L)U. |
Численное моделирование крупномасштаб |
|
ных геострофических движений обсуждается в главе 9. |
|
Вернемся к синоптическим движениям. Учитывая их масштабы, естественно считать, что такие движения существуют на фоне
заданной |
стратификации океана. Поэтому запишем уравнение для |
|||||||||||
плотности в виде |
[ср. уравнение (4.1.3)] |
|
|
|
|
|||||||
dp* |
| |
Ц |
fo* |
• |
у |
dp* |
, |
( ^ |
+ ^ ) = 0 , |
(5.2.5) |
||
dt |
* |
a cos <р dl |
' |
a |
d<? |
' |
||||||
|
|
|
|
|||||||||
где ps(z) |
—стандартное |
распределение плотности в океане; №(z) |
— |
|||||||||
частота Вайсала—Брента, соответствующая |
распределению |
ps{z); |
||||||||||
р* — отклонение плотности от |
ps(z). |
|
|
|
|
|||||||
В силу квазистатического и геострофического приближений ха |
||||||||||||
рактерное значение возмущения плотности р* определяется как |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
Ро - |
gH Ki . |
|
(5.2.6) |
171
Далее, |
считая, что |
в уравнении (5.2.5) горизонтальная |
адвек |
ция р* и временное изменение р*, имеющие одинаковый |
порядок |
||
(временной |
масштаб |
L/U), сравнимы по величине с |
членом |
ic(pslg)N2, |
находим |
L=LR, |
(5.2.7) |
|
|
N —
где Lн = Я - y - , N — среднее значение частоты Вайсала—Брента. Величина L R носит название масштаба Россби *. Для океана
yVc^2- Ю - 3 с - 1 , и если Я = 4 км, то Lf i =^80 км. Таким образом, ха рактерный горизонтальный масштаб синоптических вихрей равен масштабу Россби.
Очевидно, что все вышеизложенное справедливо вне узкой эква ториальной полосы и только для условий открытого океана. Ве личина /, входящая в выписанные формулы, должна пониматься как некоторое характерное значение параметра Кориолиса; в даль нейшем оно будет обозначаться как fo.
Формулы (5.2.3), (5.2.6), (5.2.7) позволяют вывести последова тельно уравнения для синоптических вихрей в океане. Для этого представляем искомые величины в виде (см. [5, 6]):
' . (И> v)=U(ti', v');
|
Р = Р , ( г ) + К 1 Г р , ( г ) Р ' , |
(5.2.8) |
|
где Г = (HN2) |
jg — параметр стратификации (Г^: Ю - 3 ; будем |
пола |
|
гать r ~ K i ) ; |
все величины со штрихами |
безразмерны. |
|
Так как Z —100 км, то в дальнейшем |
можно ограничиться при |
||
ближением р-плоскости и считать в силу второй формулы |
(5.2.3), |
что / = /о(1 + Р*К1|/'), где р* и у' безразмерны |
и представляют со |
бой величины порядка единицы. |
|
Формальное разложение штрихованных переменных в ряд по |
|
числу Кибеля Ki (например, и' = ua+Kiui+ |
...) и подстановка |
этих рядов.в исходные уравнения дают следующие уравнения (см. [2,6]):
в нулевом приближении .
—vQ= — дх
+ « o = —- ду
дра |
. |
ди-о | dv0 |
|
-Ро, |
-дх~~Т-~ду~—U' |
* Важность подобного характерного масштаба, по-видимому, впервые была от мечена Россби [3], предложившим называть его радиусом деформации. В неявной форме такой масштаб встречался еще в работе Прандтля [4].
172
(5.2.9)
в первом приближении
т"Р |
У И о + м Н — Л 7 —1 г |
о0 |
—п |
r v ° "~ |
—' |
ду ' |
|
|||
|
|
dt |
|
"" |
|
"° |
|
|
||
|
|
^ Г + ^ - + ^ - 0 |
- |
|
|
(6-2.10) |
||||
Заметим, что в первом приближении |
мы не выписываем ана |
|||||||||
логи третьего и |
пятого |
уравнений |
системы (5.2.9), |
поскольку |
||||||
в дальнейшем эти уравнения не используются. |
|
|
||||||||
Исключая из первых двух уравнений |
системы |
(5.2.10) |
давление |
|||||||
Ри легко получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[ dt |
i и° |
дх |
ду ) |
\ дх |
|
ду |
|
У)— |
dz • |
|
По существу, это безразмерная форма записи уравнения (5.2.2). Деля почленно пятое уравнение системы (5.2.9) на N2 и диф ференцируя его по 2, находим в силу первых трех уравнений си
стемы (5.2.9)
dw0 dz
Складывая эти уравнения, имеем
Это и есть окончательная |
форма уравнения для описания си |
||
ноптических |
вихрей; функции |
и0, |
vo, ро в силу первых трех уравне |
ний (5.2.9) |
просто выражаются |
через ро. Уравнение (5.2.11) есть |
не что иное, как уравнение сохранения потенциального вихря час тицы жидкости (см. более подробно [2]).
Применимость уравнений Типа (5.2.11) к анализу синоптичес ких вихрей в океане рассматривалась в ряде работ. Кошляков и Грачев [7] по наблюдениям оценили некоторые параметры вихря, изображенного на рис. 5.1.6, и продемонстрировали возможность интерпретации такого вихря как бароклинной волны Россби на не
ровном дне [линейный анализ уравнения |
(5.2.11)]; Бретертон и |
|
Карвайт [8] показали, что уравнение типа |
(5.2.11) |
удовлетвори |
тельно описывает эволюцию наблюденных |
вихрей |
(см. рис. 5.1.6 |
и 5.1.9). |
|
|
Уравнение (5.2.11) должно решаться при следующих граничных условиях:
173
на поверхности океана |
|
|
w0=0 |
при 2 = 0 , |
(5.2.12) |
на дне океана |
|
|
w°=u°-~dx~+v°-dT~ |
П Р И z = = 1 > |
(5.2.13) |
где h' — безразмерное возмущение глубины океана.
Условие (5.2.12) легко получается из обычных граничных усло вий на свободной поверхности океана (см. раздел 4.1), поскольку характерный масштаб для уровня океана равен ЯГКд. Условие (5.2.13) мы записываем при 2 = 1, поскольку в области с характер ным горизонтальным масштабом порядка 100 км неровности дна обычно «евелики ( Л ~ 5 0 м), и потому мы полагаем, что A / # ~ K i . Обсуждения особенностей синоптических вихрей в области с рез кими перепадами глубин см. в обзоре Н. Филлипса [2, стр. 138].
Постановка граничных условий по горизонтали весьма специ фична и здесь обсуждаться не будет.
Полезно указать уравнение энергии для рассматриваемых дви жений. Умножая первые двауравнения системы (5.2.10) соответ ственно на ио и 'Ой, а последнее уравнение системы (5.2.9) на ро и складывая полученные результаты, после простых преобразова ний находим
-дГ{ |
2 |
) = = - ^ \ ^ о |
[ |
2 |
T"2]v2-+^J + v,Po| - |
|||
|
|
--^(РоЩ), |
|
|
|
(5.2.14) |
||
где символ |
div/t обозначает плоскую дивергенцию векторов |
и vo = |
||||||
= (uo, vo); |
Vi==(«.i, vt). Величина |
p20l2N2, |
по существу, |
дает |
выра |
|||
жение |
для плотности доступной |
потенциальной |
энергии |
(см. [9]). |
||||
Если предположить, что жидкость заключена в конечный |
объем |
|||||||
V с отвесными вертикальными стенками, |
на |
которых |
нормальная |
компонента горизонтальной скорости равна нулю, то, интегрируя
(5.2.14) |
по объему V и учитывая |
условие (5.2.12), а также |
то, что |
|
в силу |
(5.2.13) и первого, второго и четвертого |
уравнений |
системы |
|
(5.2.9) |
p0w0=divll(p0k'v0)r |
при 2 = 1 |
, |
|
|
|
|||
получим |
|
|
|
|
|
4 l ( ^ + J r ) « V = 0 . |
(5.2.15, |
Такова интегральная форма закона сохранения энергии.
Используя результаты раздела 4.1, выясним теперь вопрос о том, какие типы волн отфильтровывают принятые нами приближения. Для этого линеаризируем уравнение (5.2.11); в силу первых трех уравнений системы (5.2.9) имеем
174
Решение этого уравнения в случае постоянной глубины океана легко нахо дится методом разделения переменных
со
|
Рй=2 |
¥ |
я |
( х - У' о |
2 « |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
где функции Ч?п (х, у, t) |
удовлетворяют |
уравнениям |
|
|||
( Д Л ¥ „ - |
е„\6'л ) + р* |
|
= 0, |
л = 1. 2 |
(5.2.16) |
|
(г)—собственные |
значения |
и соответствующие им собственные функ |
||||
ции следующей задачи: |
д / 1 |
dZ |
\ |
|
|
|
|
|
|
||||
Z ' ( 0 ) = 0 , |
|
Z ' ( 1 ) = 0 ; |
|
(5.2.17) |
Задача (5.2.16) полностью эквивалентна общей задаче (4.1.8) в квазиста тическом приближении. Уравнение (5.2.16) описывает распространение баротропных и бароклинных волн Россби в океане; для не очень длинных волн с волно выми числами порядка 1/1000 км и больше это уравнение может быть выведено в ВКБ приближении из общих приливных уравнений Лапласа (соответствую щий анализ см. в работе Н. Филлипса [10]).
Итак, принятые нами при выводе уравнений (5.2.9), (5.2.10) и граничных условий (5.2.12) и (5.2.13) приближения полностью отфильтровывают акустиче ские, гироскопические и гравитационные волны и оставляют лишь низкочастот ные волны Россби (баротропные и бароклинные); причем в линейном прибли жении наши уравнения описывают волны Россби практически без искажений (дисперсионные соотношения для волн Россби см. на рис. 4.1.5). Ясно, конечно, что разложение решения задачи на невзаимодействующие между собой баро тропные и бароклинные волны Россби возможно лишь в линейном приближении. Подчеркнем, что основное уравнение (5.2.11) нелинейно и в общем случае раз личные волны Россби будут взаимодействовать друг с другом.
Интересно также отметить, что определение плотности энергии, согласно уравнению (5.2.14), совпадает с определением плотности энергии для волновых движений малой амплитуды [см.. уравнение (4.1.5)], если, конечно, пренебречь сжимаемостью среды и принять квазистатическое приближение.
Важнейшей проблемой динамики океана является |
вопрос |
о ге |
||
нерации |
синоптических |
вихрей в океане, или, иными |
словами, |
воп |
рос об |
энергетическом |
источнике синоптической |
изменчивости |
в океане. Естественно прежде всего рассмотреть возможность пря мой резонансной генерации синоптических вихрей в океане атмо сферными возмущениями. Обратимся для этого к табл. 5.2.1, (см. [11]), в которой приведено распределение энергии по характерным
участкам спектра для некоторых атмосферных |
параметров *. |
|
||||||||
Согласно |
этой таблице, |
наблюдается |
отчетливый |
энергетичес |
||||||
кий пик для скорости |
ветра |
в частотном |
диапазоне, |
соответствую |
||||||
щем так называемому |
естественному |
синоптическому |
периоду |
(5— |
||||||
10 суток) |
в атмосфере (интервал 3 |
в табл. 5.2.1). Это диапазон |
||||||||
синоптической |
изменчивости |
атмосферы; |
хорошо |
известно, |
что |
|||||
* Таблица |
построена по |
данным |
кораблей |
погоды |
и |
островных метеостанций |
||||
в Атлантике за период 50—100 лет для среднемесячных |
величин и 1—2 года для |
|||||||||
срочных наблюдений. |
|
|
|
|
|
|
|
|
175
Т а б л и ц а |
5.2.1. Распределение энергии по характерным участкам |
спектра |
||||||||||
для |
температуры Т (град.2 ), |
давления р (мбар2 ) и скорости |
ветра |
Vw (м2 /с2 ) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
на уровне |
моря |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Участок |
спектра |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
а |
|
|
ЕГ |
|
|
|
|
|
|
|
и |
и |
U |
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
t*. |
|
t- |
|
|||
|
|
|
|
|
|
со |
1 |
1 |
|
1Я |
со |
т |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
1 |
||
|
|
Район |
|
|
О |
О |
О |
|
О |
О |
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
СО |
CN |
со |
|
t-- |
ю |
ю |
||
|
|
|
|
|
|
с-1 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
г--* |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
J1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
о |
1 |
О |
|
ю1 |
со |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
00 |
|
|
О |
О |
О1 |
|
|
|
|
|
|
О |
о1 |
|
.—. |
1—I |
,—| |
|
|
|
|
|
|
СО |
' |
1—1 |
|
' |
|
—ч _ |
|
|
|
|
|
|
* ^ со |
/ N |
|
СО |
CN ' |
С> со |
||
|
|
|
|
|
|
|
' со |
|
^ |
со |
||
Северная |
часть |
Атлан |
0,50 |
7,75 |
1,34 |
2,44 |
|
— |
||||
тики (60—40° с. ш.) |
4,35 |
72 |
61 |
82 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
— |
— |
14,2 |
75 |
|
|
— |
|
Центральная |
часть Ат |
0,081 |
1,57 |
3,74 |
5,25 |
—. |
— |
|||||
лантики |
(40—20° с. ш.) |
0,58 |
7,46 |
— |
50 |
|
— |
|||||
|
|
|
|
|
— |
— |
17,5 |
95 |
|
|
— |
|
Экваториальная |
часть |
0,10 |
0,74 |
0,15 |
2,48 |
— |
— |
|||||
Атлантики (10° с.ш.— |
0,11 |
1,04 |
0,26 |
1,48 |
— |
|||||||
10° ю. ш.) |
|
|
— |
— |
1.7 |
15 |
|
0,149 |
0,428 |
|||
Южная часть Атланти |
0,12 |
1,22 |
0,90 |
6,6 |
— |
— |
||||||
ки |
(40—60° ю. ш.) |
1,31 |
14,60 |
20,5 |
114 |
|
||||||
|
|
|
|
|
— |
— |
6,4 |
65 |
|
— |
— |
П р и м е ч а н и е . Для каждой станции первая цифра отвечает о\ (п), вторая
ОО
а р ( л ) . третья av(ri); п — номер участка спектра.
синоптическая изменчивость в атмосфере формируется циклонами и антициклонами с характерным горизонтальным масштабом порядка 1000 км. Так как характерный горизонтальный масштаб для синоп тических вихрей в океане имеет порядок 100 км, то возможность прямого резонансного возбуждения таких вихрей, по-видимому, отпадает.
В настоящее время реалистичной 'представляется следующая схема: атмосферные возмущения типа циклонов и антициклонов ге нерируют в океане крупномасштабные течения, которые 'благодаря
различным физическим механизмам оказываются |
неустойчивыми, |
в результате чего и возбуждаются мезомасштабные |
геострофичес |
кие движения, заимствующие, таким образом, свою энергию от крупномасштабных движений. Однако вряд ли направление потока
энергии |
всегда |
односторонне; возможно, что в некоторых |
областях |
|
океана |
поток |
энергии |
направлен от мезомасштабных |
движений |
к крупномасштабным |
(мы еще вернемся к этому вопросу в гла |
|||
ве 9). |
|
|
|
|
Итак, актуальными становятся задачи об устойчивости крупно масштабных течений, или, более обще, проблемы взаимодействия крупномасштабных и мезомасштабных геострофических движений.
176
Рассмотрим сначала кратко результаты линейной |
теории |
устойчи |
||||
вости |
простых зональных или |
меридиональных |
геострофических |
|||
течений. Этому вопросу посвящена большая литература |
(см. ра |
|||||
боты |
[5, |
6, 12—17] и библиографию к ним); в |
последнее время |
|||
интенсивно изучаются проблемы нелинейной устойчивости |
(см., на |
|||||
пример, |
[18—21]). |
4 |
|
|
|
|
Пусть |
задано, |
например, зональное геострофическое |
движение |
|||
и h' = h'(y). В силу простоты |
этого движения можно считать, что |
оно разложено в ряд по числу Кибеля Кд и отдельные члены этого ряда удовлетворяют уравнениям (5.2.9), (5.2.10) и т. д.:
U0=Uu{y, |
z); |
V0=0; |
Wo=0; |
Р0=Р0(У, |
г); |
Ро=Ро(У, |
г); |
i / i = £/i(y, |
г); |
V , = b ; |
W , = 0 ; |
/>,=/>, (у, |
z); |
P l = P l ( y , |
г). |
Возмущая это решение, легко получим линейные относительно таких возмущений уравнения. Ограничимся тем, что приведем лишь уравнение для суммарной энергии таких возмущений. Повторяя, по существу, вывод уравнения (5.2.15), находим
где величины с волнистой линией сверху означают возмущения. Мы видим, что существуют два источника энергии возмущений. Первый источник связан с тем, что крупномасштабное движение изменяется по горизонтали. Если такое движение действительно не устойчиво (на обсуждении конкретных критериев устойчивости мы останавливаться не будем, отсылая читателя к только что цитиро ванным работам), то неустойчивость такого вида называется баротропной, поскольку, вообще говоря, бароклинность морской воды не имеет в этом случае существенного значения. Энергетическим источником возмущений является кинетическая энергия крупно масштабного движения.
Второй источник энергии возмущений обусловлен существова нием горизонтального градиента плотности дро/ду (или в силу гео строфического соотношения вертикального градиента скорости dUa/dz). Неустойчивость такого вида называется бароклинной. Пер воначальным энергетическим источником возмущений является до ступная потенциальная энергия крупномасштабного движения.
Интересный новый механизм генерации синоптических вихрей предложили недавно Бретертон и Карвайт [8]. Их механизм обус ловлен неустойчивостью крупномасштабного течения при слабом (h/H~Ki) возмущении рельефа дна (наличие «шероховатости» дна). Численное исследование задачи показало не только возмож ность генерации синоптических вихрей, но и их сильное «обратное» влияние на крупномасштабное движение.
12 Заказ № 519 |
177 |
Меандрирование пограничных течений. Перейдем, наконец, |
|
к краткому обзору теории узких меандрирующих |
течений, таких, |
как Гольфстрим и Куросио (см. обзор Робинсона |
[22]). Первона |
чальные теории меандрирования рассматривали это явление в рам
ках классической теории бароклинной (или баротрош-юй) |
неустой |
чивости заданного потока (см., например, [14, 15, |
23, 24]). |
Однако, как отмечает Робинсон [22], теория бароклинной |
неустой |
чивости указывает на очень быстрое нарастание возмущений; по этому как линейная теория она применима лишь в очень узком диапазоне (как во времени, так и в пространстве).
В работах |
Уоррена |
[25], Робинсона и Ниилера [26], Ннилера |
|
и Робинсона |
[27] предложена нелинейная стационарная |
теория, |
|
объясняющая |
формирование меандров влиянием рельефа дна. Эта |
||
теория была |
успешно |
применена Робинсоном и Тафтом |
[28] для |
объяснения существования двух устойчивых стационарных положе ний оси Куросио (см. раздел 5.1). Было показано, что положение оси Куросио существенно зависит от величины придонной скорости (эта величина является входным параметром в теории). По суще ству, объяснение существования преимущественно двух устойчивых положений оси Куросио сводится к доказательству существования «запретной зоны», разделяющей эти положения оси Куросио; при вариации входных параметров теории, согласно наблюдениям, ось Куросио крайне редко попадает в такую зону. Однако нелинейная теория топографических меандров не учитывает важной роли не стационарных эффектов (см. обсуждение особенностей меандриро вания Гольфстрима в разделе 5.1).
Указанные два механизма, бесспорно, существенны, однако не обходима (по крайней мере, для Гольфстрима) такая нестацио нарная нелинейная теория, которая включила бы как эффект баро клинной неустойчивости, так и эффект образования стационарных меандров из-за рельефа дна. Поскольку построение такой теории связано с очень большими трудностями (см. обзор Робинсона [22, п. 6, 7], где кратко обсуждаются основные положения этой тео рии), мы рассмотрим упрощенную линейную теорию, по-видимому, правильно описывающую формирование не очень сильных меанд ров и вихрей [29].
При построении теории число Кибеля предполагается малым и учитываются лишь первые члены разложения в ряд скорости, дав ления и температуры течения. После некоторых преобразований задача сводится к анализу следующей системы, которую удобно
записать в безразмерном |
виде: |
|
|
|
w |
+ |
v & ~b~7dz |
- з г = ° ; |
( 5 - 2 Л 9 > |
l { - ^ 5 r + ^ ( z ) - ^ " } f l f e + A * ^ ( v . °- 0 = 0 , |
(5.2.20) |
|||
где v отсчитывается |
поперек изобат, предполагаемых |
прямыми ли- |
178
ниями (г = 0 соответствует дну и ось z направлена вверх); v(v,z,t) — скорость вдоль изобат; V(z) —начальная скорость (х=0) поперек изобат [в первом приближении скорость поперек изобат повсюду равна V(z)]; h* — некоторый параметр, определяющий эффект рельефа дна.
Ограничимся описанием некоторых важных свойств решений этих уравнений, связанных с процессом меандрирования течений. Прежде всего уравнения (5.2.19), (5.2.20) допускают волновые ре
шения вида |
v=A(z) |
expi(kv |
— at). |
Из (5.2.19) сразу находим, что |
|||||
A (z) = V{z) |
— со/А; подстановка в (5.2.20) дает дисперсионное соот |
||||||||
ношение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-Ы2+2 |
|
< V> k2u- |
< V2} |
£ 3 + Л * ( - с о + Л р ) = 0 , |
(5.2.21) |
||||
где выражение |
в |
угловых |
скобках |
означает |
среднее |
по глубине, |
|||
а V — значение V при 2 = 0. |
|
|
|
|
|
||||
Нетрудно показать, |
что |
в баротропном |
случае |
(V) = ~jf (V2) = |
|||||
= V = V волны |
всегда |
устойчивы. |
В бароклинной |
случае |
могут |
возникать нарастающие колебания; проще всего это продемонстри ровать, полагая /г* = 0. Тогда
|
k = W { < 1 / > ± К < Ю 2 - < 1 / 2 > } . |
|
|
к |
Поскольку (У)2 <(У2 ),то при действительном со волновое число |
||
будет комплексным, что и означает экспоненциальное нарастание |
|||
колебаний при увеличении v (вниз по течению). |
|
||
|
Отметим необычный характер системы (5.2.19), (5.2.20): вообще |
||
говоря, уравнение (5.2.19) определяет |
вертикальную |
структуру v, |
|
а |
уравнение (5.2.20)—горизонтальную |
структуру v. |
Можно пока |
зать, что после ряда преобразований получается следующее урав нение для vo = v(v, 0, t):
^+2<^>-Й +<^>%+^(4-+^)^- (5.2.22)
Стационарное решение этого уравнения существует лишь при
наличии рельефа дна (к*ф0); |
длина волны топографических |
меан |
||||
дров равна /г*У/(1/2). |
|
|
|
|
|
|
В баротропном |
случае уравнение (5.2.22) сильно упрощается |
|||||
и принимает вид |
|
|
|
|
|
|
Это |
известное телеграфное |
уравнение |
(только |
роль «времени» |
||
играет |
v, а роль |
«координаты» — t). |
Поэтому |
задание |
VQ и |
dvo/dv при v = 0 приводит к корректной задаче.
12* |
179 |