книги из ГПНТБ / Мазин П.Н. Основы ядерной электроники учеб. пособие

ut (a,y)= &0(a) + 2 [i?n(a)ccsnf+<vn(a)sinny*[ n=i

Подстановка разложений в систему уравнений дает од­ нозначное определение коэффициентов A,B,ui :

в ряд Фурье, аналогично производим определение Aja) ,

Коэффициенты ряда Фурье в формулах для величин

А,В, и (а,у) находятся по выражениям:

2Я

о

zst

hп(а) - ~\y(ci,ccsy, - dcosin y)sin nfdf .

к/t J

0

Метод рекуррентных формул [26] . Он занимает осо­ бое место среди других методов, так как является чис­ ленным методом, предназначенным для приближенного ре­ шения дифференциальных уравнений любого порядка, линей­ ных и нелинейных, с коэффициентами, зависящими от вре­ мени, с любой правой частью. Метод основан на использо­ вании выражения

300

о о

301

Это уравнение является основным для данного метода и используется при составлении рекуррентных формул. Оно устанавливает связь между мгновенным значением функции в момент и производной от изображения этой функции. Методика применения основной формулы дан­

Начальные условия задачи могут быть любыми, задан­ ными в виде:

с(Пх(0)

ж (0)

~7пгГ

302

Затем дифференциальное уравнение приводится к опе­ раторному виду с учетом начальных условий:

При переходе используется формула

dcc(t)

= p l t p ) ~ * (0 ) .

3. Так как уравнение в операторной форме справед­ ливо при всех значениях оператора р , то оно будет справедливо и при некотором частном значении р = ^

Поэтому данный этап заключается в замене оператора р величиной и применении основной формулы метода к изображениям при р = — , т.е.

’Ъ

3 результате этапа получается нелинейное алгебраи­ ческое уравнение вида

303

4.На четвертом этапе производится решение этого уравнения для получения значения первой ординаты.

5.Пятый этап заключается в получении нелинейного алгебраического уравнения для второй ординаты. Для это­ го исходное дифференциальное уравнение в операторном ви­

де дифференцируется по оператору р , а затем делает­

уравнениям можно определить их взаимосвязь и общность структуры, что позволяет написать общую рекуррентную формулу вида

Г0^ ' « Ч , ) - t f n + <?ч>(*п ).

Очевидно, что, пользуясь данной методикой, можно решать нелинейные дифференциальные уравнения любого по­ рядка. Вычисление будет тем точнее, чем меньше величина шага ^ , но при этом, естественно, увеличится объем вычислений.

3. Примеры использования вышеприведенных методов

Пример I . Дан колебательный контур с варикондом в качестве управляемой емкости. Произвести анализ свобод­ ных колебаний в этом контуре. Для решения задачи приме­ ним асимптотический метод, разработанный академиками Н.М.Крыловьм и Н.К.Боголюбовым [27 ] . На первом этапе решения необходимо составить уравнение. Известно, что наиболее точно зависимость между зарядом вариконда и напряжением на нем описывает гиперболический синус, а именно

304

У- otsfijboc,

где С0- —— - дифференциальная емкость вариконда в рабочей точке.

Теперь производная тока будет

со собственная частота линейного контура, Щ эквивалентного данному нелинейному.

Тогда уравнение примет вид d2x

Для упрощения данного выражения разложим в степен­ ной ряд знаменатель второго члена и множитель свободно­ го члена. Ограничиваясь в разложении вторыми членами, после несложных преобразований приведем уравнение к ви­

ду

с1га.

~di£ + СОгэс - Ц - Х S)x^-^J-j + ~ C O ZX i= 0

Полученное уравнение необходимо разделить иа линейную и нелинейную части. Представляя нелинейную часть в ви­ де зависимости от малого положительного параметра £ , получаем

306

£ ffx ,x )^ x (/-x s)(^-J- 8.

Решение данного нелинейного уравнения второго порядка будем искать в виде ряда по параметру £

jc « acosf +£и;(а,у) + е\(а,<?),

где а - медленно менявдиеся функции времени, оп­ ределяемые из системы уравнений:

— = £А,(а) + £% (а) + ••• ;

-jr^ c o + £В{(а)+£%(а) + -

5 первом приближении решение будем искать в виде

х ~ acosyf

Функции €Ау(о) и £Bj(a) 8 соответствии с ме­ тодом определяются из следующих выражений:

о

307

Подынтегральные функции получаем подстановкой реше­

ния в правую часть уравнения, т.е.

/

S-f(x,x)^ a3co£cos]Psinsp -a sco£cos3fam£P- —coea3cos3y.

Из этих равенств можно сделать вывод, что изменения амплитуды колебаний в контуре в первом приближении не происходит, так как ^ - - 0 • Зависимость же частоты от амплитуды колебаний имеет место уже в первом прибли­ жении. Фаза, как нетрудно убедиться, равна

Ч> - а* ( 1Т т ё ) * 1 >' '

Найдем теперь второе приближение. Для него можно записать

х * acosf + €uf (a, <f>),

где

= €А{ (а) + б \ ( а ) ;

со + € В{(а) + 6SBs (a ),

di

308

Наибольший интерес представляет влияние фазы на ре­ зультирующее колебание. Ограничиваясь поэтому решением уравнения для фазы колебаний, получаем

Из этого выражения видим, что вновь появившиеся члены дают отрицательную поправку.

Для определения спектра сигнала на выходе контура, управляемого варикондом, разложим функцию в ряд Фурье по частоте собственных колебаний контура со . Ограни­ чиваясь второй гармонической составляющей ряда, можно записать

Введем обозначения:

относительная амплитуда постоянной составляющей иапря-

относительная амплитуда первой гармонической составля­

309