§ |
3. |
Обзор |
методов анализа процессов в нелинейных |
|
|
|
|
электронных схемах |
|
Нелинейный элемент электронной схемы характеризует |
ся нелинейной |
зависимостью между и |
и L , Q и и , |
|
и |
i |
(см. рис. 5.1), т.е. между напрягзнкзм и то |
ком, |
зарядом и напряжением, магнитным потокосцеплением |
и током. |
Наличие такого элемента ь |
электронной схеме |
делает всю схему нелинейной. Процессы анализа нелиней ных элементов определяются используемыми при этом мето дами. Общего метода анализа схем с нелинейными элемен тами, конечно, нет. Положение осложняется тем фактом, что принцип суперпозиции в данном случае неприменим. Всего в настоящее время насчитывается несколько сотен методов анализа нелинейных электронных схем. Кх можно разделить на две большие группы: группу графоаналити ческих методов и группу аналитических методов.
I. Графоаналитические методы
Графический метод. Широко применяется при простой конфигурации электронной схемы. Сущность его заключает ся в том, что для определения напряжений на элементах схемы и токов, протекающих по ним, по этому методу стро ят общую вольтамперную характеристику схемы. Чаще ветре чается случай последовательного соединения двух или нескольких элементов схемы, из которых один является нелинейным.
Допустим, что в общем случае заданы два нелинейных элемента и необходимо определить ток в них при последо вательном соединении (рис. 5.17). Для этого, задаваясь
значениями тока, суммируем величины напряжений на эле ментах и получаем значение общего напряжения на участ ке последовательно соединенных элементов. Таким образом строится общая вольтамперная характеристика схемы. При заданном напряжении на участке по общей вольтамперной характеристике можно определить ток.
Графический метод имеет важный частный случай, ког да схема состоит из последовательного соединения линей ного и нелинейного элементов (рис. 5.18). При этом час
то вместе построения общей вольтамперной характеристи ки производят следующее построение. Линейную характери
стику смещают вдоль оси абсцисс на величину приложенно го напряжения и повертывают ее вокруг вертикальной оси таким образом, чтобы получилось зеркальное отображение. Точка пересечения кривых дает ток в схеме. При построе нии нужно учитывать масштабы, т.е. запись вести следую щим образом:
|
г |
= тг |
, |
где т |
- масштабный множитель сопротивления, рав- |
' |
ный |
— ти = |
Рмп • |
|
т |
Описываемый прием особенно широко применяется в электронике при анализе усилительных каскадов и импульс ных схем.
Метод линеаризации. Метод основан на малости сигна ла, воздействующего на электронную схему. Схема прини мается по отношению к этому воздействию линейной и анализируется методами, разработанными для линейных электронных схем. Применяется данный метод при анализе усилителей. В этом случае рабочий участок вблизи точки
А(см. рис. 5.18/ принимается линейным.
3.Метод кусочно-линейной аппроксимации. Он заклю чается в том, что вольтамперная характеристика нелиней ного элемента разбивается на ряд участков, в пределах которых можно считать, что она линейна. Большое внима ние при этом необходимо уделять согласованию границ участков. Для каждого участка составляется линейное диф ференциальное уравнение и решается, после чего решения состыковываются. Обычно требуется, чтобы в точках сты ка были равны искомые переменные и их первые производ ные.
292
2. Аналитические методы
Метод аналитической аппроксимации. Его сущность за ключается в аппроксимации вольтамперной характеристики нелинейного элемента или его рабочего участка такой функ цией, когда становится возможным точное аналитическое решение дифференциального уравнения.
Пример. |
Допустим, что характеристика нелинейного |
элемента R |
в последовательном соединении сопротивле |
ния и индуктивности описывается выражением г/Н.3, = и гг .
Дифференциальное уравнение в соответствии с законом Кирхгофа будет иметь вид
где £ - напряжение, приложенное к данной схеме. Подставляя значение напряжения на нелинейном элементе, получим
Разделяя переменные, получим:
3Cdi - (Е - a i &) d t ,
Xati
|
( E - a i ‘) " Ut ' |
Интегрируем |
t |
|
откуда
Ошибка метода определяется степенью приближения ха рактеристики нелинейного элемента к аналитическому выра жению, ее аппроксимирующему.
Случай, когда уравнение интегрируется точно, встре чается редко. Гораздо чаще интегрирование дифференци альных уравнений производится приближенно. При этом ис пользуются различные приемы [25J :
-разложение общего интеграла в ряды, расположен ные по степеням независимой переменной;
-разложение общего интеграла в ряды по степеням по
стоянных параметров, входящих в уравнение; - разложение в ряды по степеням начальных значений
искомой функции и ее производных.
Первый прием используется, когда нужно получить ре шение, удовлетворяющее заданным начальным условиям и кратковременное. Обычно используют разложение в ряды Тейлора, Маклорена.
Второй прием применяется, когда уравнение заключа ет в себе главную и второстепенную части, т.е.
где oL - малый постоянный множитель. Главная часть обычно допускает точное решение, а второ степенная является возмущением.
Третий прием удобен для исследования колебательных свойств системы, когда заранее известно, что амплитуда колебаний мала.
Рассмотрим некоторые методы, основанные на этих при емах.
Метод малого параметра. Сущность его заключается
вразложении правой части уравнения в степенной ряд
ив поиске приближенных решений получившегося ряда урав нений. Этот метод представляет интерес при анализе про цессов в автоколебательных системах, например в генера торах, управляемых нелинейными элементами (варикондами, варикапами). Колебания в таких системах мало отличаются от синусоидальных, следовательно уравнение можно раз бить на главную и второстепенную части вида
d zx + со*0х |
f |
tti* |
|
где £ - малый параметр. |
Правая часть раскладывается |
в ряд по степеням малого параметра:
dt3-
Боснову анализа кладется решение дифференциально го уравнения нулевого приближения
Л
+ oOqX. = О ,
сИ&
которое описывает автоколебательный процесс в генера торе без затухания. Его решение имеет вид
X (t) — Asinco0t.
Затем учитывается первый член разложения правой части и т.д. Как правило, более двух-трех приближений не ищут, из-за громоздкости выкладок.
К методам малого параметра относятся методы Ван дер Поля, Крылова-Боголюбова и др.
Метод Ван дер Поля применяется для решения уравне
ний вида |
|
°j{2~e |
= Ет Sinwt • |
Решение этого уравнения ищут в виде
x(t) = a (t)sin cot + t(t)coscot,
где |
a ft) , |
f ( t ) |
- медленно меняющиеся амплитуды ко |
|
|
|
лебания. Для подстановки его в |
|
|
|
уравнение |
необходимо найти про |
|
|
|
взводные |
ляг |
с/&х . |
|
|
|
ы Г |
и dt* ' |
dx |
da |
|
|
|
|
|
|
|
|
~ J T ~ ~ Sinco t+ QCOCOSCot->- ~ |
ct> scot+ fco(-sin cot) |
dt |
dt |
|
|
|
|
|
d ^ i_ d 1k . / |
da |
л da |
|
|
d t & |
d& Sif lcot + d t |
COCOSc° t |
+ ^ |
00 coscot - |
- a cousincot +d 4 .
/
~ ^ co(~ sin cot)
/d t
— t o s in c o t +
+ (- £ 10 s-coscot) •
x s = a^sin^cot + t>scosscoi + 2 a ts in cotcos cot
Тот факт, что амплитуды |
а и |
jf |
|
изменяются мед |
ленно по сравнению с частотой колебаний |
со |
, позволя |
ет пренебречь вторыми производными от |
a f t ) и |
t(t) , а |
также произведениями малого параметра на первые произ |
водные от a f t ) |
и |
t ft) |
• |
Тогда |
|
|
|
|
da |
|
d t |
r |
|
|
|
|
|
|
COcOSCot -hCOCOScot +— |
г cosincot-cosincot |
■ accPsincdt-Sodccxot- |
d t . |
|
d t |
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
da |
|
- £ — 'xfoscot + |
- £ а со соз cot - Sco^coocot — sin cot |
|
/ |
4 |
d t |
|
|
d t |
|
+ £ tc o s in c o t + [ f |
assin*cot |
-/-S a tsin c o t cos c o t |
+ |
+ £ t^ c c s £cot J \a £s in &cot |
^ ~ |
sin C o t |
-f- |
a CO COS cot ■+ |
dt
+coscot+b/+aaX-sincot)\+co*asincot +tco£coscot=£ sincot dt 1 0 o ' -т
ИЛИ
da |
d t / |
——Scocoscot |
+ —— ( - В c o sin c o t) ~ u c o zs in c o t - |
d t |
d t |
- t co&coscot |
- < ? j / — ~g~~ [f~&>s2(cot+fp)]J [acocoscot-S- |
•f tc o ( - sincot)^ + c c* x - E m s in c o ty
где f = axctq— '
Приравнивая коэффициенты при синусах и косинусах можно получить систему дифференциальных уравнений пер вого порядка:
|
со/ - cos |
£ |
|
со |
----- а |
|
£ |
dt_ - а со/ _ со2 |
- 7 * ' |
dt |
со |
Это система"укороченных" уравнений Ван дер Поля, кото рые и решается.
Таким образом, сущность метода заключается в заме не дифференциального уравнения второго порядка, состав ленного относительно мгновенных значений сигнала, диф ференциальными уравнениями первого порядка относитель но медленно меняющихся амплитуд. Условие медленности изменения амплитуды состоит в выполнении неравенств:
da |
|
|
d£ |
“>of; |
d t |
|
|
di |
|
|
|
d*a |
и |
da |
a( 4 ^ ^ |
d t |
---- — |
|
— - |
----- • |
d t? |
|
° d t |
d t 2 |
d t |
Недостатком метода Ван дер Поля является ограничен ность его применения из-за появления во многих случаях членов, содержащих параметр t в виде сомножителя.
Это приводит к нарастанию ошибки со временем. От этого недостатка свободен метод Крылова-Боголюбова.
Решение уравнения
где |
<f |
- малый параметр, ищется в виде |
|
|
|
|
х |
- d(-t)cosf +<?и{(а,(р) +€aug(a,(p) + •• • > |
|
т.е. |
в виде ряда по степеням малого параметра, где |
|
|
|
|
ы£(в,у) - периодические функции с перио |
дом |
2!fc , |
а амплитуда первой гармоники а |
и фаза |
f |
определяются из уравнений: |
|
|
|
|
i f |
|
+ - ■, |
|
|
|
|
d t |
|
|
|
|
|
— |
= op + £В{(а) +6SBS,(*) + - |
|
|
|
Задача |
состоит в подборе таких функций |
А, В, и |
, |
чтобы решение х |
удовлетворяло уравнению. |
В качест |
ве дополнительных уравнений ставится условие отсутствия первой гармоники в выражениях для и {(а,У), и2(а, V)
|
|
|
|
|
и т.д. |
Это необходимо для того, чтобы в решении не оы- |
ло членов с параметром t |
в виде сомножителя (сингу |
лярных членов). |
После подстановки решения х |
в уравне |
ние получается |
система уравнений вида: |
|
|
+ utJ = f0( a , f ) + 2ooA,sin f +Scoa |
cos |
|
+ u*) |
+ 2wb&sinY +9coaB,2ccs(? |
Для определения |
Функции |
u^a,^) |
и и |
(a, <f) |
раскладываются в ряд Фурье: |
|
U |
Оо |
|
|
f0(a, Ф) = Q (а) + X \$п(л)ccsnf+fin(a)sinny\ ; n-i'~
