книги из ГПНТБ / Мазин П.Н. Основы ядерной электроники учеб. пособие

Начальное значение тока г (О) задано, а начальное зна­ чение первой производной тока находится из уравнения для i = О

При составлении систем интегродифференпигльних урав­ нений часто удобно сводить задачи с ненулевыми начальны­ ми условиями к задачам с нулевыми начальными условиями. При ненулевом начальном условии напряжение яа емкости, кслример, может быть представлено суммой двух слагаемых

28С

ной емкости (рис. *5.13). Алылогично и для индуктивности ток в общем случае будет ранен

t

о

Задача, сводится к задаче с нулезмии начальными условия- ?и, но дополнительными источниками.

Определенные трудности возникают при анализе схем, имеющих магнитную связь между отдельными элементами. Таг, и трансформаторе нужно учитывать направление токов, проходящих через катушки (обмотки). Различают согласный (см. рис. 5.13) и встречный выбор направлений токов.

При согласном выборе общее потокосцеплекие катулки опредедг.ется с/мгой собственного потокоонепнеккя кэтудки и потокоспе-глгяи--г 3". счет ик"нитнеб стн.чн

231

Дифференцируя по времени, имеем

ков при этом таково, что магнитные потоки складываются. При встречном включении

% - - Мгг .

Пример 2. В качестве примера составим систему для электронной схемы, изображенной на рис. 5.14. Наличие индуктивной связи приводит к появлению самостоятельных частей схемы. Для каждой из них нужно составить уравне­ ние Кирхгофа, а именно:

= О .

М dt * V * +Х& dt

Как и следовало ожи­ дать, влияние индук­ тивной связи привело к появлению дополни­ тельного члена в обо­ их уравнениях.

2. Операционный метод

Сущность операционного метода заключается в том,

282

что функции действительной переменной (оригиналы) заме­ няются функциями комплексной переменной (изображениями) с целью алгебраизации уравнений, описывающих процесс в электронной схеме, что облегчает решение задачи. После решения задачи обычно осуществляется обратный переход к временной функции. В основе операционного метода ле­ жит преобразование Лапласа или Карсона. Одностороннее

преобразование Лапласа имеет вид

оа

Функция j!(i) должна удовлетворять условиям Дирихле, а

Представляет интерес установление связи между напряже­ ниями и токами в пассивных элементах цепи. Для катушки индуктивности связь между оригиналами имеет вид

Изображение для левой части определится в соответствии с основной формулой как

283

ж

О

а для правой части, вероятно, нужно или использовать правило дифференцирования оригинала, или непосредственно пр:гменить преобразование Лапласа, беря интегралы по ча­ стям:

Методика применения операционного метода для реше­ ния задач ЯЭ в общем случае проста. Она состоит из че­ тырех этапов:

-составление дифференциального уравнения по прин­ ципиальной или эквивалентной схеме;

-переход от оригиналов к изображениям;

-решение алгебраического уравнения;

-нахождение оригинала решения.

Бтех случаях, когда удобно представить электрон-

284

ную схему в виде пассивного четырехполюсника, методика несколько изменяется, а именно:

-определение изображения входного напряжения;

-определение по схеме четырехполюсника изображения

коэффициента передачи заменой £со на р ;

-определение изображения выходного напряжения пере­ множением коэффициента передачи в операторной форме на изображение входного напряжения;

-определение по таблицам оригинала выходного на­ пряжения.

В качестве примера определим реакцию RC - цепочки, изображенной на рис. 5.15, на прямоугольный импульс дли­ тельностью ^ и амплитудой Е . Применяя методику, найдем вначале изображен® входной функции, которая за­ пишется в виде

Предварительно разбив импульс на две ступеньки высотой

Коэффициент передачи четырехполюсника, как видно из рис. 5.15, имеет вид

285

Рс

={ +рРС

Т]

Е

1

Г t

Рис. 5.15

Изображение выходного напряжения

Оригинал этого изображения имеет вид

t

RC ЛС

3. Метод интеграла Дюамеля

Входная функция может быть сложной формы, что зат­ руднит нахождение ее изображения. В ряде случаев удоб­ но разложить входную функцию на элементарные составля­ ющие (единичный скачок или дельта-функцию), затем опрв' делить реакции схемы на эти составлящие и, используя принцип суперпозиции, просуммировать эти реакции, опре делив таким образом выходную функцию.

286

Сущность метода заключается, следовательно, в раз­ ложении временной функции на бесконечную сумму элемен­ тарных составляющих и анализе юс воздействия на элек­ тронную схему.

Возьмем произвольную функцию u(i) (рис. 5.16) и представим ее в виде скачков различной высоты, для чего разобьем ось времени на равные отрезки A t . Как видно из рисунка, для выделенного участка приближенно можно установить равенство следующего вида:

Ли({) At и '(i)f

Рис. 5.16

Учитывая его, нетрудно выразить и всю функцию и аналогичным образом:

где У(t) - единичная функция. Каждая из составляющих суммы берется в момент, сдвинутый относительно пре-

28?

дыдущих на число отрезков A t , равное ее порядковому номеру. Для получения точного равенства необходимо пе­ рейти к пределу, учитывая, что

Это и есть одна из форм интеграла Дюамеля.

Формула (5.2.1) дает только разложение функции на элементарные составляющие. Если эти составляющие, т.е. единичные функции, подать на вход четырехполюсника, то реакцией его будут переходные характеристики H(t) .

Следовательно, на выходе четырехполюсника будет функция, которая в соответствии с принципом суперпозиции пред­ ставляет собой сумму всех реакций с учетом времени их появления. Поэтому можно записать для выходной функции четырехполюсника

Формула (5.2.2) позволяет по известным переходной ха­ рактеристике и входному напряжению определить напряже­ ние на выходе четырехполюсника. Входное напряжение обычно задано, а переходную характеристику можно опре­ делить непосредственно по виду электронной схемы, экс­ периментально или из таблиц.

Пример^ Пусть на электронную схему (см.рис. 5.15)

288

подается напряжение, нарастающее по линейному закону

и$я ({) = a t • Тогда напряжение на выходе будет равно i

О

Это и есть переходная характеристика н(р) в операци-

онном виде. Оригинал ее

t

H(t) RC

Используя формулу интеграла Дюамеля, выходное на­ пряжение получим в виде