книги из ГПНТБ / Либов Р. Введение в теорию кинетических уравнений

После исследования математических аспектов] уместно теперь указать некоторые физические интерпретации теории Пригожина. До сих пор мы дали две интерпретации решения уравнения Лиу­ вилля. Мы дадим еще третью интерпретацию — самую важную. Она связана с тем фактом, что средняя величина любой динамиче­ ской переменной G в любой момент времени t равна

G = j DGdpdqj^ Ddpdq.

(Более подробно это будет обсуждаться в разд. 2.4.) Такая фор­ мулировка средних величин поразительно схожа с формализмом квантовой механики, задаваемым через функцию состояния T1. Более того, как мы видели, уравнения, которым удовлетворяют

и D, имеют одинаковую математическую структуру. Аналогия простирается и далее. Ранее мы нашли, что решение

уравнения Лиувилля можно выразить через ряды по собствен­

ным состояниям оператора А, т. е. по функциям ехр (—icont) X X фп (р, q) (см. уравнение (2.64)). Каждая такая функция, будучи решением уравнения Лиувилля, представляет возможное незави­ симое состояние системы. Для многомерных периодических систем расширенные собственные состояния exp (і2соггегі() фп (0j, . . ., BN) становятся связанными с собственными колебаниями такой систе­ мы. Задача с начальными данными, решение которой дается выра­ жением (2.101), иллюстрирует значение элементов матрицы

(п I 6А 1n'). Коэффициент Dn — это распределение собственных состояний, характеризуемых вектором п. Элементы (n | 8Ä | n')

пропорциональны вероятности того, что взаимодействие 6А инду­ цирует переход от множества п' к множеству п. Для очень слабых взаимодействий, когда е2 s, имеют место только переходы пер­ вого порядка; тогда как если е2 значительно, то и переходы второго порядка будут вносить вклад в скорость изменения Dn (0). В пере­

ходах второго порядка SA сначала индуцирует изменение от п" до n', а затем от п' до п.

82 Гл. II. Уравнение Лиувилля и функции распределения

В методе возмущений будем исходить из невозмущенной резоль­ венты

и соотношения

R - R 0 = R ( R ^ - R - 1 ) R0 = R (Â 0- Z - Â 0-eÖ Â + z)R0 =

Подставляя разложение для R,

в уравнение (2.124)и приравнивая коэффициенты при одинако­ вых степенях е, получим

Мы подставим теперь этот результат вместе с разложением (2.103) в интеграл равенства (2.122). Прежде всего мы получим

со

2( е)" <{к} I Ro [6Л#0]ПI {k'}>Z){k<j(0).

С{к'} п=0

(2.129)

Эта формула является наиболее важным результатом анализа Пригожина. Так как мы еще не подошли к наиболее подходящей интерпретации функции D , то нам пока трудно выяснить физиче­ ский смысл коэффициентов к>. В данный момент это просто коэффициенты, определяющие плотность D . В следующем разделе будет установлена их связь с приведенными s-частичными функ­ циями распределения, смысл которых также будет выяснен позднее. Здесь же мы рассмотрели лишь основы метода Приго­ жина, который важен сам по себе как метод решения полного урав­ нения Лиувилля.

84 Гл. II. Уравнение Лиувилля и функции распределения

— уравнения динамических траектории.

Из предшествующего анализа следуют два очевидных вывода. Во-первых, представляется нелепым вводить в этом случае понятие вероятности. Точность результатов и начальных данных делает применение вероятностных представлений ненужным. Во-вторых, мы имеем дело с одной представляющей точкой, блуждающей в Г- пространстве. Предшествующий анализ при выводе уравнения движения для плотности D показал, что ансамбль должен быть настолько плотным, чтобы к нему можно было применить форма­ лизм механики континуума. Одноточечная система далека от удо­ влетворения этому требованию.

При каких условиях в сферу классической механики вводится вероятностный формализм? Рассмотрим шарик, ограниченный в своем движении прямой проволокой длины а. Классическая динамика такой системы может быть точно сформулирована и точно решена. Но предположим, что начальные условия для системы (шарика) точно не известны. Мы можем только сказать, что перво­ начально шарик находится где-то в области 0 ^ х ^ а/2. В рав­ ной степени вероятно, что шарик находится в любой точке этого интервала в момент t = 0. Предположим далее, что начальные импульсы лежат в некоторой малой области, так что все значения р из интервала р' — бр' ^ р ^ р' + бр' равновероятны.

Эти начальные условия определяют характер любых вопросов, касающихся последующей динамики такой системы. Можем ли мы спросить, где будет частица в момент времени t? Предположим, что кто-то, проведя длинные вычисления, заключил, что в момент t

частица будет находиться в точке (р, q). Если это так, то такая частица должна была находиться в точке (р 0, q0) при t = 0, по­ скольку существует одна и только одна динамическая траектория,

проходящая через точку (р, q). Но если при t = 0 частица нахо­ дится в точке (ро, q0), то утверждение, согласно которому она может с равной вероятностью находиться в начальный момент времени в любой точке области (р' — бр ', 0) ^ (р, q) ^ (р ’ + + бр ', а!2), становится неверным. Следовательно, поставленный вопрос несовместим с описанием начального состояния системы.

Мы можем лишь спросить: каково вероятное состояние системы в момент времени £? Такой вопрос не только корректен, но на него и не слишком трудно дать ответ. Сначала изобразим область в соот­ ветствующем двумерном фазовом пространстве, которая содержит все допустимые точки рассматриваемой системы. Эта область (пря­ моугольник (—бр, бр, 0, а)) показана на рис. 2.6. Отметим, что

допустимым величинам импульсов соответствуют значения энергии между энергетическими поверхностями Н = Е ж Н = Е-\~ бЕ.

Для удобства мы выбрали Е = 0. На рис. 2.6 изображены все возможные начальные состояния (при t = 0). Мы задались усло­ вием, что каждое такое состояние равновероятно. Это означает, что если произвести эксперимент в момент t — 0 для измерения

Р и с . 2.6. Фазовое пространство для шарика на прямой; Z0 — время движе­ ния шарика от а/2 до а. В заштрихованной области }і = (абр)-1; в незаштри­ хованной области fi = 0.

(q0, ро), то с равной вероятностью можно получить любую вели­ чину (р, q), которая лежит внутри начального энергетического слоя Е ^ И ^ Е + ЬЕ фазового пространства. Совокупность этих начальных состояний можно рассматривать как ансамбль. Свяжем далее начальное распределение вероятностей с начальной плот­ ностью точек ансамбля. Более точно, пусть г) — полное число точек системы в ансамбле, так что (возвращаясь на момент к обще­ му случаю 2іѴ-мерного Г-пространства)

86 Гл. II . Уравнение Лиувилля и функции распределения

где интегрирование проводится по всему объему Q. Тогда величина

выражает «отношение числа систем, находящихся в пределах обла­ сти Q', к полному числу систем. А это не что иное, как вероятность того, что некоторая система ансамбля находится внутри данной области» *). В предельном случае континуума ц обращается в бес­ конечность, но отношение (2.136) остается.конечным, причем таким, что

о

Это уравнение выражает тот факт, что вероятность нахождения системы в некоторой точке внутри всего допустимого объема в Г- пространстве равна единице. Функция f N является А-частичной функцией распределения и такова, что произведение/jvdg! . . .dpN есть вероятность нахождения системы в состоянии dqi . . . dp N около состояния (qi, . . ., p N) в момент t. Поскольку функция f N отличается от D на постоянный множитель

она также удовлетворяет A-частичному уравнению Лиувилля. Другой путь, иллюстрирующий связь между f N viD, состоит в использовании понятия средней по ансамблю. Пусть G — неко­

торая динамическая характеристика системы, такая, например, как полная кинетическая энергия Ер?/2т, полная потенциальная энергия ЕЕ (фі;- — потенциал взаимодействия двух частиц), полный линейный импульс Е рг. Если D — плотность ансамбля данной системы, то средняя по ансамблю от G определяется равен­ ством

Равенство предполагает, что D (q, p, 0) dp dq пропорциональ­ на вероятности нахождения системы в начальный момент времени в состоянии dpdq около (р, q).

Экспериментально G определяется следующим образом. Про­ изведем А экспериментов. Начальное макроскопическое состояние системы во всех экспериментах одинаково. Спустя t секунд изме-1

1) Гиббс [1928]. Отметим также, что равенство (2.136) можно записать в дифференциальной форме: D dp dq! J Ddp dq = fNdp dq.