книги из ГПНТБ / Либов Р. Введение в теорию кинетических уравнений

Так как оператор Ä2 действительный, то единственный мнимый член в правой части равенств (2.48) и (2.49) — это слагаемое, содержащее число і. Следовательно, действительные и мнимые части этих двух тождественных комплексных функций выделены явно и соответственно равны.

Таким образом,

Мы видим, что действительная и мнимая части собственных функ­ ций ф; удовлетворяют одному и тому же уравнению второго порядка по р и q.

Тот факт, что собственные функции комплексны, можно уста­

Напомним, что полная производная по времени от динамической функции F задается равенством

Если F является константой движения, то F = 0, и обратно,

если F = 0, то F — константа движения. Произвольная констан­

Уравнение (2.55) говорит о том, что модули собственных

функций фг оператора Л являются константами движения, если они не зависят от времени явно.

Опираясь на эти свойства оператора Лиувилля, перейдем к более общему исследованию. А именно, построим формальное решение уравнения Лиувилля в рамках формализма Пригожина.

Более точно, займемся опять решением задачи с начальными данными. Пусть D 0 = D (q, р, 0). Решение уравнения Лиувилля,

записанного через оператор А (т.е. (2.30)),которое удовлетворяет начальным данным Z)0, имеет вид

Экспоненциальный оператор определяется через свое разложение:

В случае, когда гамильтониан не является явной функцией вре­ мени, оператор А также от времени не зависит и

і

^ d t k = kt. (2.62)

о

При таких условиях разложим D по собственным функциям оператора А:

Задача 2.8. Доказать второе равенство в (2.64).

Задача 2.9. Показать, что

а п= j tynD(q, Р, 0)dqdp .

Построим теперь решение уравнения Лиувилля для системы, состоящей из N невзаимодействующих частиц. Гамильтониан такой системы задается равенством

Я =, V — •^-1 2іщ

Соответствующий оператор Лиувилля имеет вид

Если куб, содержащий газ, настолько велик, что специальный выбор граничных условий становится несущественным, то мы тогда свободны в выборе условий, которые лучше всего подходят для иллюстрации метода. С этой целью наложим периодические граничные условия на собственные функции

Здесь L — вектор, направленный по ребру кубического контей­ нера и равный его длине. Последовательность {к} представляет

выбирается таким образом, чтобы удовлетворялось граничное условие (2.67). Компоненты вектора п і являются целыми числами.

Мы теперь можем выразить начальное значение

D о — D (хь . . ., xw; Ріі • • -i Р N>0)

для N невзаимодействующих частиц через собственные функции (2.68) и собственные значения (2.69).

72 Гл. II. Уравнение Лиувилля и функции распределения

А

Поскольку собственные функции Л не зависят от р, коэффи­ циенты ап в уравнении (2.63) являются теперь функциями импуль­ сов р. Кроме того, индекс п заменен на переменную {к}, характе­ ризующую последовательность. В соответствии с этим обозначим коэффициенты оп нерезв {к} (рі, . . ., рЛг). Они таковы, что началь­ ное распределение D 0 задается выражением

D0(xu . . . , x N, рь • •., Pjv)==S -°{k} (Pi, • • ■, Р^)Ф{к>, (2.71a)

{к}

Каждому набору переменных {к} соответствуют различные экспо­ ненциальные члены в слагаемых выражения (2.71а). Используя ортогональность функций ф{кь получим значения коэффициентов D{k}. Учитывая (2.70), находим

Зная эти коэффициенты, а также собственные значения, опреде­ ляемые равенством (2.69), получим нестационарное решение урав­ нения Лиувилля (ср. с (2.64)). Оно имеет вид

D (хі, • • xN, р,, .. ., pjv, t) =

= L -3jv/22 Ак)(Рь . . . , p w)[exP 2 2 kr ( x z- ^ ) ] . (2.73) {k}

Суммирование указывает на то, что D является функцией пере­ менных

(рі, р2, . . ., Pjv; [xj — (pi/wii) t], [x2 — (p2/m2) t\, . . .).

Кроме того, если каждую из этих 2N независимых переменных положить равной константе, то D будет постоянна. Таким образом, D постоянна вдоль траекторий

Эти уравнения описывают динамическую траекторию точки систе­ мы, состоящей из N свободных частиц. Элемент упрощения, введен­ ный в данную задачу о свободных частицах, обусловлен главным

образом следующим фактом.Оператор Лиувилля Л действует только на конфигурационные переменные х г. В более реальных случаях; Â

функции плотности для задачи о свободной частице в момент времени t.

Подставляя этот ряд в уравнение (2.91) и приравнивая коэф­ фициенты при одинаковых степенях е, получим:

Это есть бесконечная последовательность зацепляющихся урав­ нений, которую формально можно решить до любого желаемого

76 Гл. II. Уравнение Лиувилля и функции распределения

Другой эквивалентный метод решения уравнения (2.86) вытекает из так называемой нестационарной теории возмущений, хорошо известной в квантовой механике. Первый шаг состоит в разложе­ нии решения D (J, Ѳ, t) по собственным функциям невозмущен­

ного оператора Лиувилля А0, а именно по функциям, задаваемым выражением (2.79). Разложение имеет вид

(хотя оператор 8Ä может зависеть от времени, он не содержит операторов производной по времени). В последнем выражении введено обозначение

2я 2я

Уравнение (2.99) — это не что иное, как уравнение (2.88), записанное в особой форме — в так называемом представлении взаимодействия. Метод возмущений, введенный для решения