книги из ГПНТБ / Либов Р. Введение в теорию кинетических уравнений

дия dDldt представляет производную по времени от D (q, р)т вычисленную в системе отсчета, которая движется вместе с точкой динамической системы.

Уравнение (2.8) называется уравнением Лиувилля. Выведем его снова, используя теорему об интегральных инвариантах Пуанкаре. Теорема утверждает, что при каноническом преобразо­

( 2. 10)

где У — образ области У, ограниченной поверхностью 2 в новом Г'-пространстве при данном (но произвольном) каноническом преобразовании.

Р и с . 2.1. Каноническое преобразование в различных фазовых пространст­ вах.

штрихом равны значениям, которые принимают q (t) я р (t) в момент t + Т . При изображении изменения формы, которое претерпевает

поверхность 2 в силу канонического преобразования t (Т), имеются две возможности. Либо мы можем рассматривать Г'-про- странство отдельно от начального пространства Г, либо мы можем эти два пространства наложить одно на другое.

Для свободной частицы с единичной массой движение задается уравнением q = p 0t + qo (если q — линейное перемещение, а р — линейный импульс). Пусть начальные условия для этой частицы «размазаны». Область в Г-пространстве, занимаемая этими началь­ ными точками, изображена на рис. 2.1, а. Спустя время Т пре­

Задача 2.2. а) Описать аналитически кривую 2 ' и доказать, что й ' = Q для случая, изображенного на рис. 2.1.

б) Повторить предшествующее геометрическое построение

и доказательство для движения q = g, где g — постоянная. Масса предполагается равной единице.

С другой стороны, если пространства Г' и Г наложены одно на другое, то динамическое преобразование будет таким, как

р

Р и с. 2.2. Каноническое преобразование в одном и том же фазовом прост­ ранстве.

показано на рис. 2.2. Поскольку преобразование £ (Т) порож­ дает само динамическое движение, область Q' представляет собой совокупность таких точек системы в момент времени Т , которые в момент t = 0 находились в й.

Физически более естественно рассматривать теорему Пуанкаре с точки зрения представлений о геометрическом наложении, как изображено на рис. 2.2. Хотя для только что рассмотренного простого одномерного случая равенство й = й ' почти тривиально, теорема Пуанкаре говорит нам, что даже для более общего случая

£(Т)

TV-мерной задачи Й----- > й ' остается инвариантом, так что й = й '. Каково число точек системы в Й? Может ли внутренняя точка

•стать внешней точкой при преобразовании С (Г)? Обозначим через 2 геометрическое место граничных точек области й . Если точка, внутренняя по отношению к 2 , станет внешней к 2 после пре­

образования £ (Т), то она должна пересечь граничную точку. Пусть она пересечет ее в момент t ' , удовлетворяющий условию

Сравнение этого последнего равенства с (2.11а) показывает, что

iD(T)D = D' = D. (2. И г)

Отсюда следует, что величина D является постоянной для рассмат­ риваемого малого объема, так что

( 2. 12)

Таким образом, мы снова приходим к уравнению Лиувилля. Вернемся к одномерной задаче, изображенной на рис. 2.2.

то эти точки представят непрерывную область начальных условий для одной и той же единственной одномерной системы. Динамиче­ ские траектории точек системы являются траекториями множест­ ва систем, воспроизводящих одну-единственную систему. Разли­ чие между ними заключается только в начальных условиях. Сово­ купность этих точек представляет образец ансамбля. Существенно, что понятие ансамбля связано с описанием единственной системы.

В только что рассмотренном простом случае системой является единичная частица, движущаяся в одном измерении. Для газа, заключенного в сосуд, система имеет ЗА" обобщенных координат и ЗА сопряженных импульсов. Тем не менее в обоих случаях системы изображаются единственной точкой Г-пространства. Если начальные условия изменить на бесконечно малую величину, то начальная точка получит бесконечно малое смещение. Если начальные условия изменяются непрерывно, так что представляю­ щая точка описывает непрерывную область Й в Г-пространстве, то эта область представит тогда начальную конфигурацию ансамбля системы.

2.2. Решение уравнения Лиувилля

Обратимся теперь к построению наиболее общего решения урав­ нения Лиувилля. Если система, которую представляет ее ансамбль, имеет А степеней свободы, то существует 2А констант движения. Рассмотрим одну из них вида

Это поверхность в Г-пространстве. Если t входит явно, то она будет перемещаться и деформироваться, в противном случае эта поверхность будет неизменной. С течением времени точка системы движется в Г-пространстве по поверхности ht = Ct. Движение

таково, что hL не изменяется за время 8t, так что

Щ = hi (р + pöt, q+q8t, t-\- öt) — hi(p, q, t) = 0,

Таким образом, любая константа движения является решением уравнения Лиувилля и обратно, любое решение уравнения Лиу­ вилля является константой движения. Но существует 2N таких независимых констант х). Следовательно, самым общим решением уравнения Лиувилля будет произвольная функция 2N констант движения:

Самым общим называется такое решение уравнения, которое включает в себя все решения как частные случаи. Какая-либо определенная функция всех констант движения не будет являться самым общим решением уравнения Лиувилля. Например, решение

которые являются решениями динамических уравнении движения. Отсюда мы заключаем, что самое общее решение уравнения Лиу­ вилля эквивалентно знанию всех N динамических орбит. Одно­ единственное уравнение Лиувилля описывает поведение всей системы.

Когда полное число степеней свободы равно N, Г-пространство явля­ ется 2У-мерным. Когда N —полное число частиц системы и каждая частица имеет у степеней свободы, Г-пространство является 2уЛг-мерны.м, С обоими этими толкованиями мы встречаемся в тексте.

ведет себя подобно плотности несжимаемой жидкости. Она остает­ ся постоянной, если следовать за элементом жидкости, но может изменяться поперек динамических траекторий.

Получение самого общего решения уравнения Лиувилля хотя и поучительно, связь его с классом решений, относящихся к «про­ блеме ансамбля», является не больше чем академической. Более целесообразно рассматривать задачу с начальными данными. Пусть задана функция D 0 = D (р , q, 0). Каково будет значение D через бесконечно малое время АЯ Разложение D в ряд Тейлора около t = 0 имеет вид

Решение (равенство 2.23) можно теперь записать только через начальные данные D 0:

Задача 2.4. Распространить решение (2.23) на случай, когда Я явно зависит от времени (используя равенство (І.Збе)).

Разложение решения по степеням At определяется единствен­ ным образом через одно начальное условие. Это, конечно, не являет­ ся неожиданностью, поскольку уравнение Лиувилля — дифферен­ циальное уравнение первого порядка по времени.

Решению, полученному таким путем, можно дать геометриче­ скую интерпретацию. Значение D при t = 0 соответствует заданию

D на «плоскости» t = 0 в (2N + 1)-мерном Г-пространстве. Ряды

64 Гл. II. Уравнение Лиувилля и функции распределения

При построении D через D 0 (р 0, q0, 0) с помощью ряда Тейлора переменные (q, р, t) должны рассматриваться как независимые. Это требование особенно легко выполнить при нашем прежнем подходе, если просто предусмотреть специальную форму реше­ ния. Если, например, для одиночной свободной частицы началь­ ное условие выражается равенством D 0 = lip sin q, то в после­ дующее время t решением будет D = Up sin {q — (р/т) t], т. е.

Р и с. 2.4. Геометрия построения рядов Тейлора при решении уравнения Лиувилля.

функция р, q, t. Она оказывается постоянной вдоль динамиче­ ского пути Сі = q — (р/т) t‘, р = р 0. Но это не мешает нам вычис­ лить величину D (р, q, і) (для любых трех чисел (р, q, t)) из начальных данных, используя разложение в ряд Тейлора.

Задача 2.5. Для начального ансамбля свободных частиц D 0 = = 1/| р I sin I q |. Найти D (Дг), используя разложение в ряд Тейлора.

В общем случае мы можем применять разложения типа рядов Тейлора, чтобы найти изменение функции N переменных вдоль