книги из ГПНТБ / Либов Р. Введение в теорию кинетических уравнений

3)Я - ^ Я ' = Я ( А + Ѵф(*, О . Ф - ^ И ) •

Задача 1.34. а) Если х — перемещение, то какая форма вто­ рого закона Ньютона следует из гамильтониана

яsix).

б) Пытаясь устранить явную зависимость этого гамильтониана от времени, вызывающую затруднения, можно перейти к новому каноническому представлению, где Н' постоянна. Используя метод Гамильтона — Якоби, это можно сделать следующим обра­ зом. Записать уравнение Гамильтона — Якоби для G (х, t)\ построить решение, при котором / и g будут линейными функциями,

т. е. / = at и g = ßx. Какой вид имеет «новый» гамильтониан?

Ответ.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

А. Ранние работы по аналитической механике

Гамильтон (Hamilton W. R.)

(1833) Problem of Three Bodies by My Characteristic Function.

(1834) On a General Method in Dynamics, by which the Study of the Motions

Лагранж (Lagrange J.L.)

(1773) Mecanique Analytique (1788); Oeuvres, v. 6, p. 335 (1773). Русский перевод: Лагранж Ж. Л., Аналитическая механика, М.— Л., ГИТТЛ, 1950.

(1808) Mém. de L’Institute de France.

Лиувилль (Liouville J.)

(1838) Note sur la théorie de la variation des constants arbitraries, J. de Math., 3, 342.

(1904) The Dynamics of Particles and of Rigid, Elastic and Fluid Bodies, Leipzig, B. G. Teubner, 1904 (New York, Stechert—Hafner, 1920), Chapters 5, 7, 10. Русский перевод: Вебстер А. Г., Механика мате­ риальных точек, твердых, упругих и жидких тел, Л .— М., ГТТИ, 1933.

Голдстейн (Goldstein Н.)

(1959) Classical Mechanics, Reading, Mass., Addison — Wesley. Русский перевод: Голдстейн Г., Классическая механика, М., Гостехиздат, 1957.

Детуш (Destouche J. L.)

(1948) Principes de la Mechanique Classique, Paris, Centre National de 1» Recherche Scientifique.

Зоммерфельд (Sommerfield A.)

(1949) Vorlesungen über Theoretische Physik. Vol. 1: Mechanik, 4th ed., Wiesbaden: Dieterich’sche Verlagsbuchhandlung, Chapters 2, 3, 5.

Русский перевод с 3-го издания: Зоммерфельд А., Механика, М.,

ИЛ, 1947.

Коэ (Сое С. J.)

(1938) Theoretical Mechanics, New York, MacMillan Co., Chapter I.

Ландау Л. Д ., Лифшиц E. M.

(1973) Теоретическая физика; т. 1, Механика, М., «Наука», изд. 3-е.

Лэмб (Lamb Н.)

(1929) Higher Mechanics, 2nd ed., Cambridge, Cambridge University Press.

Русский перевод: Лэмб Г., Теоретическая механика (в 3-х томах),

М,— Л., ГТТИ, 1935. Мак-Миллан (MacMillan W. D.)

(1927) Theoretical Mechanics, New York, McGraw-Hill. Vol. 1: Statics and the Dynamics of a Particle, 1937, Chapter 3. Vol. 3: Dynamics of Rigid Bodies, 1936, Chapter 5. Русский перевод: Мак-Миллан В. Д ., Дина­ мика твердого тела, М., ИЛ, 1951.

Милн (Milne Е. А.)

(1948) Vectorial Mechanics, New York, Interscience, Chapters 1, 5.

Осгуд (Osgood W. F.)

(1937) Mechanics, New York, MacMillan, Chapters 1, 2, 4.

Синг, Гриффис (Synge J. L., Griffith B. A.)

(1949) Principles of Mechanics, 2nd ed., New York, McGraw-Hill, Chapters 1, 5.

Сдейтер, Фрэнк (Slater J.C., Frank N.H.)

(1947) Mechanics, New York, McGraw-Hill, Chapters 3, 11.

Тимошенко, Юнг (Timoshenko S., Young D.H.)

(1948) Advanced Dynamics, New York, McGraw-Hill, Chapters 5, 10.

р — канонический импульс,

q — каноническая координата, S — действие,

Т— кинетическая энергия,

и— динамическая переменная, V — скорость,

V — потенциальная энергия,

А— перемещение,

біп — дельта Кронекера,

е— бесконечно малая, Ф — потенциал,

[,] — скобки Пуассона, V — частота,

Q — объем в Г-пространстве, Ѳ — угловая переменная, %— период.

Г Л А В А II

УРАВНЕНИЕ ЛИУВИЛЛЯ II ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

2Л. Концепция ансамбля и уравнение Лиувилля

Представим себе стеклянный сосуд, заполненный газом. В сосу­ де имеется огромное количество частиц (молекул). Если частицы являются точечными и всего их А, то имеется ЗА обобщенных координат и размерность Г-пространства равна 6А. Состояние газа в любой момент времени изображается единственной точкой в Г-пространстве. Представим себе другой сосуд, идентичный первому во всем, кроме одного: в любой данный момент состояние во втором сосуде отлично от состояния в первом сосуде. Состояния двух одинаковых сосудов — с идентичными молекулами —изобра­ жаются двумя различными точками Г-пространства. В ходе изме­ нения времени два идентичных множества молекул в двух сосудах перемещаются и одновременно две точки, описывающие эти мно­ жества, прочерчивают две различные динамические траектории в Г-пространстве. Эти траектории не пересекаются. Если бы они коснулись одна другой, то состояние первого газа, определяемое 6А числами (g, р), совпало бы с состоянием второго газа. Эти два множества из 6А чисел можно было бы принять за начальные условия, которые в свою очередь единственным образом опреде­ лили бы движение, и данные две траектории слились бы в одну. Следовательно, одна и только одна динамическая траектория проходит через каждую точку Г-пространства.

Задача 2.1. а) Обращаясь к рис. 1.6 и предшествующей аргу­ ментации, доказать, что двумерное движение (с исключенным временем, так что q = q (р )) всегда удовлетворяет условию dq!dp= = 0 при р — 0. Показать также, что замкнутая орбита, пересе­ кающая ось р , должна иметь симметричное отражение относитель­ но оси д. (Эти теоремы теряют силу на границах фазового про­

странства.)

Указание. Предположить, что кривая р = р (q) не пересекает ось g по нормали, и затем построить обратную динамическую траек­ торию. (Заметим, что доказательство должно включать соображе­ ния о гладкости dp/dq.)

Утверждение можно доказать без применения геометрии путем

В пределе, когда £2 — 0 (используя теорему о среднем значении), получим хорошо известное в гидродинамике уравнение неразрыв­ ности:

Это уравнение выражает закон сохранения точек системны. Оно никак не связано с динамикой индивидуальных систем. Информа­ ция о последней заключена в переменной и —«скорости». Что представляет собой этот вектор в точке (д, р) в момент t? Если движение точки системы задано уравнениями ді = Qi (t), pi = = pi(t) (для N частиц индекс I пробегает значения от 1 до 3N), то

«скорость» точки системы (q, р) равна (gt, . . ., qZN; pi, . . ., p 3N). «Скорости» бесконечно близких динамических траекторий будут

отличаться от (gt, . . ., р і, . . .) на бесконечно малые (поскольку соответствующие начальные условия отличаются на бесконечно малые). Отсюда следует, что скорость и точек в элементе

(dq^, . . ., dq3N; dpt, . . ., dp3N) около (q, p) задается производ­ ными координат и импульсов частиц, образующих систему, кото­ рая проходит через точку (q, р) в момент t:

При выводе равенства (2.4в) были использованы уравнения

Гамильтона для скорости (д, р) точек траектории системы, так что в соотношении (2.4г) учитываются динамические законы движе­ ния. Теперь уравнение (2.3) принимает вид

Здесь функция D — это плотность точек динамической систе­ мы, в то время как в уравнении (2.3) эта функция представляла просто плотность точек, которые не возникают и не уничтожаются.

56 Гл. II. Уравнение Лиувилля и функции распределения

Из уравнения (2.5) следует, что «жидкость», для которой D является плотностью, несжимаема. Рассмотрим для простоты одномерное движение жидкости с массовой плотностью р = = р (X, t). Если жидкий элемент находится в положении х в момент

в объеме Ах остается неизменным. Отсюда следует, что р (х, t) Ах—

В пределе, когда Аі-^-0, будем иметь уравнение для плотности несжимаемой жидкости:

Согласно этому уравнению, плотность в окрестности точки являет­ ся инвариантным свойством точки, когда последняя совершает свое динамическое движение.

То, что уравнение (2.5) отражает свойство несжимаемости динамической переменной D, можно увидеть более наглядным

где мы опять использовали уравнения Гамильтона. Вспоминая обозначение скобок Пуассона, можно записать последнее уравне­ ние иначе:

дР

[D, Н] = 0. ( 2. 8)

dt

Но в гл. I мы установили, что полная производная по времени от любой динамической переменной задается как раз таким выра­ жением. Отсюда следует, что полная скорость изменения D по вре­ мени равна нулю:

Впроизводную dD/dt входят производные решений q (t) и р (t).

Влюбой момент t дифференцируемые функции q и р определяют положение точки системы в этот же самый момент времени. Опера-