книги из ГПНТБ / Либов Р. Введение в теорию кинетических уравнений

пройдет полный цикл, и останется неизменной в любом другом

Очевидно, что т і есть период колебания для движения, связан­ ного с изменением qi. Но v* определяется через т; предшествую­ щим уравнением,

и, следовательно, является частотой периодического движения,

так что переменная 2лѲг играет роль углового перемещения, связанного с периодическим изменением qi.

Для системы, координаты которой осуществляют периодиче­ ские движения, настоящая техника дает метод получения частот движения без детального решения динамической задачи.

Теперь совершенно очевидно, что имеется значительный пробел в нашей теории. Весь анализ опирается на производящую функ­ цию G. Рассмотрим вкратце метод ее вычисления. Тогда мы полу­ чим замкнутую теорию в переменных «действие — угол».

Напомним прежде всего, что для всех четырех ранее рассмот­ ренных типов производящих функций старый гамильтониан Н

иновый гамильтониан Н' всегда связаны равенством Н' = Н +

+dG/dt.

y'=C0nst

А =f f *%•=

Я J(^)<bc'dy

С=С'

Р и с . 10. Геометрическая интерпретация интегралов, определяющих пло­ щадь.

В настоящем обсуждении мы ограничимся двумерными интегралами. Если С — замкнутая кривая в декартовом про­ странстве (X, у), то площадь, ограничиваемая этой кривой,

равна А = j j dx dy, как показано на рис. 1.10, а. При пре-

D

образовании переменных (х, у ) (x' , у') интеграл А -> А ' —

j j J(x, ylx', у') dx' dy' = А. Площадь, конечно, остается

и

неизменной. Она не зависит от того, в каких координатах ее вы­ числять. Символ J обозначает якобиан преобразования. Кривая С представляет собой тот же геометрический объект, что и кри­ вая С. Это есть кривая С, выраженная через новые координаты.

Кривые, на которых x' и у' являются соответственно постоян­ ными, образуют координатную сетку в плоскости (ж, у). Они также изображены на рис. 1.10, а. Площадь поверхности А, естественно, не зависит от того, какой координатной сеткой она покрыта. Это обеспечивается наличием якобиана, который дает правильное значение элемента площади в новой системе координат.

Существует другое важное геометрическое представление коор­ динат (x' , у') — в их собственном декартовом пространстве. Оно иллюстрируется рисунком 1.10, б. Что представляет собой

кривая С, являющаяся кривой С в этом новом декартовом про­ странстве? В общем случае, это, конечно, не тот же самый гео­ метрический объект, что кривая С в начальном декартовом про­

странстве (х, у). Вычислим площадь А , ограниченную кривой С, т. е.

так что А — А , если / = 1. Хотя кривые С и С представляют собой один и тот же аналитический объект, в большинстве случаев они являются различными геометрическими объектами. В случае, когда якобиан J (x' , y'lx, у) равен единице, площадь, ограни­ ченная кривой С в декартовом пространстве (ж, у), будет той же

самой, что и площадь, ограниченная искаженной кривой С в декар­ товом пространстве (x' , у').

Следующий тривиальный пример разъясняет сказанное выше.

Рассмотрим площадь

Через новые координаты она выразится следующим образом:

Кривая С и соответствующая область изображены на рис. 1.11, а: С и D представлены на рис. 1.11, б.

Хотя С и С — различные геометрические объекты, площади А и А одинаковы. Преобразование с J = 1 сохраняет величину

j I dx dy, xQTH геометрический объект С может измениться,

D

J=1

A- JJ dxdy—JJ dx'd/=A

Р и с . 1.11. Пример интегрального инварианта.

Теперь мы подошли к тому, чтобы сделать важное утверждение, геометрические следствия которого будут очевидны: якобиан канонического преобразования (д, р) ->• (g', p') равен единице. Геометрические и иные следствия этого утверждения имеют фунда­ ментальное значение в теории неравновесной статистической механики.

Поскольку якобиан канонического преобразования равен еди­ нице, объем

ограниченный поверхностью 2 в декартовом фазовом простран­ стве, имеет то же самое значение, что и объем й , ограниченный деформированной поверхностью 2 в новом (отмечаемом штрихом)

Тогда, согласно предыдущему определению, объем £2 является

каноническим инвариантом.

Существует подкласс в классе всех канонических преобразо­ ваний, для которого эти интегральные инварианты имеют особое динамическое значение. Этот подкласс представляет собой множе­ ство преобразований, соответствующих действительному динами­ ческому перемещению системы. Мы вернемся к этой теме при одном из наиболее простых выводов уравнения Лиувилля.

В конце девятнадцатого столетия теория динамических преоб­ разований находилась в своем зените. Основы этой теории были заложены Лагранжем (1788) и Гамильтоном (1833), а ее дальней­ шее развитие связано с работами Максвелла (1859) и Пуанкаре (1890). Почти на рубеже двух столетий эта фундаментальная основа познания дала начало новой науке — неравновесной статистиче­ ской механике. Новый формализм опирался на явления необра­ тимости и концепцию ансамбля (Больцман (1871), Максвелл (1879),

Гиббс (1902), Эйнштейн (1902)).

В главе II вводится понятие ансамбля, которое естественным образом приводит к определению новой динамической перемен­ ной — N -частичной функции распределения. Уравнение, кото­ рому удовлетворяет эта функция,— уравнение Лиувилля — являет­ ся одним из наиболее важных во всей классической неравновес­ ной статистической механике. Из теории этого уравнения исходит теория кинетических уравнений, а из последней — количественное описание явлений необратимости.

Некоторые темы, развитые в этой главе, найдут применение в последующих главах. Переменные «действие — угол» будут использованы в анализе Пригожина уравнения Лиувилля, пред­ ставленном в гл. II. Концепция констант движения применяется при нахождении самого общего решения уравнения Лиувилля и в заключительной дискуссии этой книги, касающейся эргодиче-

ской теории. К динамической обратимости орбит мы будем часто

ведется по двумерным поверхностям в фазовом пространстве. Соответствую­ щие интегралы для четырех-, шести-, . . . Л’-мерных поверхностей в фазовом пространстве также будут каноническими инвариантами. Для дальнейшего ознакомления с этими вопросами можно обратиться к литературе, указан­ ной в конце главы.

макроскопических систем. Уравнения Гамильтона являются наи­ более широко используемым аппаратом на протяжении всей книги.

Основой теории кинетических уравнений служит динамика. Теория только тогда будет незыблемой, когда этот фундамент прочен.

Задача 1.21. Показать, что произведение двух канонических преобразований само будет каноническим преобразованием.

Задача 1.22. Показать, что скобки Пуассона для любых двух динамических переменных являются каноническим инвариантом.

Задача 1.24. Вычислить якобиан преобразования, задаваемого уравнениями (1.38а). Каково будет значение этого определителя, если вместо рх = pr cos Ѳ — (joq/г) sin Ѳ положить рх = 2рг?

Задача 1.25. Показать, что скобки Пуассона для двух декар­ товых компонент углового момента X частицы удовлетворяют соотношению \Хі, X f ] = Хп, где (i, j, k) представляют собой круговую перестановку переменных (х , у, z).

Задача 1.26. Рассмотреть одномерную задачу о рассеянии:

[Ѵ'І ~ U 21a j \Ѵ ] •

а) Предположим, что эксперимент производится много раз, так что начальные скорости располагаются в малой непрерывной области 2 около (ѵ, V). Показать тогда, что

Р и с . 1.12. Каноническое отображение процесса бинарного столкновения.

Задача 1.27. Для свободной частицы, движущейся в одном измерении, имеются две константы движения:

т

Показать, что [hu Н] = 0 и [h2, Н] + dh2ldt — 0.

Задача 1.28. а) Если в данной задаче переменные q и р кано­ нические, показать, пользуясь уравнениями Гамильтона, что они удовлетворяют уравнению

dq dp dq dp

б) Решение данной динамической задачи приводит к уравне­ ниям

Будут ли переменные (q, р) каноническими?

Задача 1.29. Показать, что [u, g (и)] = 0.

Задача 1.30. Доказать равенства (1.57) и (1.58).

Задача 1.31. Формализмы Лагранжа и Гамильтона можно сохранить для случая сил, зависящих от скоростей, если выпол­ нены некоторые условия. Требуется, чтобы сила F і в направлении обобщенной координаты qi выражалась в форме