книги из ГПНТБ / Либов Р. Введение в теорию кинетических уравнений

Уравнения Гамильтона для г и Ѳ дают истинную динамическую траекторию. Полагая, например, р х = 2р г соэѲ — (pe/r) sin Ѳ вместо предшествующих уравнений преобразования, мы полу­ чили бы в результате

Н' = - ^ j^3p?cos20 + pr — 2pr -y-*sin Ѳcos Ѳ+ (-у -)2] •

Такой гамильтониан не дает верных уравнений движения. Сово­ купность координат и импульсов, которые являются динамически согласованными и приводят к физически реализуемым выводам из уравнений Гамильтона, называются каноническими координа­

летворяющее этим условиям, называется каноническим. Или, что эквивалентно, преобразование является каноническим, если суще­

т. е. является истинным динамическим движением. Это не что иное, как принцип Гамильтона, записанный в новых координатах. Старые координаты (qi, pi) также удовлетворяют принципу Гамильтона, так что

Для того чтобы уравнения (1.39) и (1.40) были одновременно справедливы, подинтегральные выражения этих двух интегралов должны отличаться самое большее на полную производную по вре­ мени от произвольной функции G. Интеграл от dG/dt задается через значения G в конечных точках, где, по определению, вариа­ ции равны нулю.

Функция G называется производящей функцией и имеет большое значение в теории преобразований классической механики. Любое каноническое преобразование g — q' — q' (g, p), p -> p' = p'(q, p) полностью определяется производящей функцией. Поскольку имеется 2N уравнений преобразования, то G может быть функ­ цией самое большее от 2N независимых переменных и времени. В противоположность этому полное число «старых» и «новых» переменных равно 4N. Четырьмя возможными формами функции G являются:

импульсам, а новые импульсы равны старым координатам со зна­ ком минус. В новом представлении координаты и импульсы поме­ нялись ролями.

Остается обсудить два важных вопроса, касающихся канони­ ческихпреобразований. Первый относится кпреобразованию координат и импульсов, дающему действительное перемещение, которое точка, изображающая систему, совершает в фазовом про­ странстве за интервал времени от t до t + Т. Мы увидим, что таким — самым важным из всех преобразований — является каноническое. Второй вопрос связан с концепцией канонических инвариантов. Канонические инварианты суть динамические вели­ чины, инвариантные по отношению к каноническим преобразова­ ниям. Примером канонического инварианта служит функция [А, В], где А ті В — две любые динамические функции. Это можно расписать в явном виде. Если (q, р) -»- (q' , p'), то

Инвариантность этих соотношений относительно любой кано­ нической системы независимых переменных дает другой критерий, которому должны удовлетворять канонические переменные.

Для того чтобы рассмотреть действительное перемещение системы как каноническое преобразование, введем понятие бес­ конечно малого преобразования. Бесконечно малым каноническим

является такое преобразование, при котором новые координаты и импульсы отличаются от старых на бесконечно малые величины. Если е — бесконечно малый параметр, то преобразование

q{ = q i+ бді,

(1.59)

Pi = Pi + бpi,

где бq и бр имеют порядок О (г), представляет собой бесконечно малое каноническое преобразование. Это можно просто показать, построив функцию, которая производит преобразование (1.59). Поскольку это преобразование отличается от тождественного членом О (е), попытаемся взять в качестве производящей функ­ цию (?2, которая отличается от функции, задаваемой уравне­ нием (1.55а) (дающий тождественное преобразование), членом О (s):

6gz==8[ ^ +0(8)] -

Последнее выражение показывает, что замена dldpi на дідрі будет взаимно согласованной, если первоначальный оператор включает множитель 8.

Из полученных уравнений следует, что бесконечно малое пре­ образование определяется только возмущенной производящей функцией ср, поэтому достаточно сказать, что ф производит пре­ образование.

Ясно, что ввиду отсутствия каких-либо ограничений на функ­ цию ф (q, p') вид вариаций 8р и бд совершенно произволен. Среди всех этих преобразований наиболее существенно бесконечно малое преобразование координат и импульсов, происходящее при действительном движении системы за время dt. Такое пре-

1.5. Переменные «действие — угол» и теория Гамильтона — Якоби

Тот факт, что движение системы само является каноническим преобразованием, очень важен для нашего дальнейшего исследо­ вания уравнения Лиувилля. Остается еще другой класс канониче­ ских преобразований, представляющий для нас особый интерес. Это преобразования, которые приводят к переменным «действие— угол». Они используются в анализе Пригожина уравнения Лиу­ вилля, который будет рассматриваться в гл. II.

Теория переменных «действие — угол» основана на более общих представлениях, называемых теорией Гамильтона — Якоби. В этой теории стремятся найти каноническое преобразова­ ние, которое приводит к гамильтониану, циклическому по всем новым координатам. Преимущество такого преобразования огром­ но. Если все новые координаты циклические, то все новые импуль­ сы — константы движения. С другой стороны, новый гамильто­ ниан Н ’ (p') является функцией только новых постоянных импуль­ сов. Поэтому, продифференцировав его по этим импульсам, полу­

чим функцию от новых постоянных импульсов, дН'Ідр' = q'Т которая сама будет константой. Уравнения Гамильтона в новых

(т. е. производящей функции), чтобы новые импульсы были кон­ стантами движения. А эта последняя задача тесно связана с непо­ средственной проблемой интегрирования уравнений движения, что является в свою очередь не более чем формальной операцией отображения начальных координат и импульсов на их величины в момент времени t. Действительно, для всех динамических задач, кроме особого класса, теория Гамильтона — Якоби более важна своей близкой причастностью к нейтральной области между клас­ сической динамикой и квантовой механикой, чем своими прило­ жениями.

Как было отмечено ранее, теория Гамильтона — Якоби опи­ рается на нахождение производящей функции, которая все новые импульсы делает константами движения. Из четырех фундамен­ тальных форм производящей функции наиболее подходящей будет функция G2 = G2 (q, p').

Подставляя (1.69) в последнее уравнение, получим Ji как функ­ ции (ри qi):

Согласно введенному ранее интегралу действия S, эти новые переменные J і называются переменными действия. Так как каж­ дая Ji определяется только через независимые пары (qi, pi), они

образуют систему N независимых констант и, следовательно, дей­ ствительно являются новыми постоянными импульсами.

Подстановка J і — J і (оц, . . ., a N) в G (qt, . . ., qN, a t, . . .

. . ., a N) дает

В то же время новый гамильтониан является функцией только новых постоянных импульсов, поскольку он должен быть цикли­ ческим по всем новым координатам:

Координаты, сопряженные переменным действия / ь называют­ ся угловыми переменными Ѳі. Они связаны с / ; через производящую функцию G согласно уравнению (1.506):

Из последних двух уравнений вместе с уравнениями Гамиль­ тона мы получим