книги из ГПНТБ / Либов Р. Введение в теорию кинетических уравнений

338 Гл. V. Решение и дальнейшие свойства уравнения Больцмана

средняя по ансамблю систем. Равенство легко установить, если G одна и та же для всех систем ансамбля, что в свою очередь может быть доказано, если система эргодическая. Система называется эргодической, если ее динамическая орбита за бесконечный интер­ вал времени проходит через все точки энергетической поверхности или, что эквивалентно, если энергетическая поверхность состоит из единственной динамической траектории (это было исходным предположением Больцмана). Напомним, что орбита, проходящая через некоторую точку, единственным образом этой точкой опре­ деляется. Следовательно, все орбиты эргодической системы оди­ наковы. Единственное различие заключается во времени про­ хождения через заданную точку. Так как все орбиты совпадают,,

то G для всех них одна и та же, и равенство (5.253) установлено. Однако можно показать, что это достаточное условие справед­ ливости предшествующего равенства никогда не реализуется в природе. Одна из возможных аргументаций осуществляется через 2N (N — число степеней свободы) констант движения {hi}. Так как все орбиты на энергетической поверхности обладают оди­ наковой энергией, то остается 2N — 1 произвольных постоянных. Но одну из них можно использовать, чтобы фиксировать начальное

время (см. следующую задачу).

Задача 5.24. Рассмотрим систему с N степенями свободы. Два члена представляющего ансамбля таковы, что все 2N констант движения, кроме одной пары, попарно одинаковы для обоих

Доказать, что орбиты точек двух систем совпадают, если не учитывать время запаздывания. Рассмотреть частный случай двух свободных частиц, движущихся в одном измерении, чтобы установить связь времени запаздывания с А.

Из задачи 5.24 следует, что две точки на одной и той же траек­ тории могут иметь только одну пару констант (из 2N констант), различных для каждой из этих точек. Теперь выберем две точки, у которых только одна постоянная движения общая, а все остав­ шиеся 2 N —1 постоянных различны. Это означает, что вторая точка никогда не может быть настигнута первой. Мы получили простую аргументацию в пользу того, что большая часть систем не являются эргодическими. Полностью убедительное доказатель­ ство этого факта было дано Розенталем и независимо Планчерелем в 1913 г. Они показали, что геометрическое место точек любой динамической траектории образует множество меры нуль на энер­ гетической поверхности, мера которой отлична от нуля. Выра-

340 Гл. V. Решение и дальнейшие свойства уравнения Больцмана

Как было указано в гл. II, концепция энергетического слоя была введена, во-первых, чтобы лучше использовать следствия уравнения Лиувилля. С другой стороны, именно к энергетической поверхности относится любое из предыдущих утверждений эргодической теории.

Существует простой путь, чтобы ввести в формализм энерге­ тической поверхности свойства инвариантности, связанные с уравнением Лиувилля. Рассмотрим энергетический слой, по­ рождаемый двумя поверхностями Н = Е и Н = Е + 8Е. В любой точке внутренней поверхности нормальное перемещение 6z между

в той же самой точке, то соответствующий элемент объема в энер­ гетическом слое равен | 6z | | 62 |. Но вектор V # нормален к поверхности постоянной энергии, откуда заключаем, что данный объем пропорционален 8 2 /1ѴН |. Следствием теоремы Лиувилля является сохранение этого фазового объема (говоря более точно, это интегральный инвариант Пуанкаре).

Введем теперь меру р (Л) множества точек z £ А на энерге­ тической поверхности согласно равенству

При естественном движении системы (порождаемом оператором £г) множество точек А за время t перейдет в множество Л ', тогда

Теорема Лиувилля утверждает, что

Теперь мы можем сформулировать полную эргодическую гипотезу. Почти все (за исключением множества меры нуль *)) орбиты на энергетической поверхности Е проходят через каждую область поверхности Е с положительной мерой и остаются в данной обла-

') Если для любого сколь угодно малого в существует открытое мно­ жество В, которое покрывает множество А и ц (В) < е, то Л — множество меры нуль. Любое счетное множество на действительной прямой (множество, которому можно поставитъ во взаимно однозначное соответствие натураль­ ный ряд чисел) является множеством меры нуль. Его покрытие составляют открытые интервалы, каждый д л и н о й е/2п.

сти в течение среднего времени, равного отношению ее меры

кмере Е.

В1931 г. фон Нейман доказал так называемую среднюю эрго- дическую теорему, которая состоит в следующем. Пусть кривая Сг

содержит начальную точку z0, и ТА (z0, t) — часть времени из интервала t, проводимая кривой CZq в области А. Тогда теорема

фон Неймана утверждает: если последовательность преобразований {f,t} является метрически транзитивной (определение этого

у {А)

понятия будет дано позднее), то ТА сходится в среднем к ТА-

И(Я) '

То есть

lim [ТА (z0, t) — TA]2 = 0,

(5.258)

Биркгоф (1931) уточнил эту теорему, доказав, что для z0 почти всюду в Е сходимость является точечной:

t-*-со

Группа преобразований {£;} множества точек Е называется метри­ чески транзитивной, если единственными множествами, инва­ риантными по отношению к этим преобразованиям, является вся совокупность множеств меры нуль. Более наглядное определение таково: множество Е не может быть разложено (при преобразова­

ниях {£г} множество Е является метрически неразложимым) на два инвариантных множества х) A t и А 2, имеющих положитель­

ную меру. Можно считать, что полностью «перемешивает» мно­ жество Е. Именно в этом механизме «перемешивания» (или «рас­ сеяния») заключена сущность эргодической теоремы. Он объясняет необратимость макроскопических законов.

Мы видим, что эргодическая гипотеза заключается в следую­ щем. Ансамбль, первоначально занимающий только часть энерге­ тической поверхности, со временем самораспределяется однород­ ным образом по всей энергетической поверхности, чтобы принять микроканоническое распределение. На первый взгляд это кажется не совместимым с уравнением Лиувилля, которое требует, чтобы плотность ансамбля оставалась постоянной вдоль динамических траекторий. Наглядное разрешение этого кажущегося парадокса впервые было предложено Гиббсом с помощью следующей модели.

*) При данном преобразовании t t точки системы изменяют свои началь­

координат А ’ = А , то преобразование \ t отображает начальное множество А на само себя, и А является инвариантом преобразования ’Qt.

342 Гл. V. Решение и дальнейшие свойства уравнения Больцмана

Рассмотрим закрытую мензурку, наполовину заполненную водой, а наполовину маслом (обе жидкости предполагаются несжимаемы­ ми). Вначале вода занимает нижнюю половину мензурки, а масло— верхнюю. После сильного встряхивания масло разбивается на множество мельчайших капелек, которые однородным образом заполняют всю мензурку. Если смотреть на расстоянии, плотность суспензии кажется однородной. Однако при близком осмотре обнаружится, что плотность осталась постоянной вдоль путей частиц, а суспензия в действительности является однородной самое большее в смысле крупнозернистости. Другое толкование «участия» динамических законов в необратимости может быть дано посредством так называемой «крупнозернистой» плотности ансамбля. Прежде чем коснуться этого формализма, нам хотелось бы рассмотреть вопрос о строгости предположения о метрической

транзитивности операторов £г.

Например, предположим, что энергетическая поверхность является метрически неразложимой. Пусть начальное распределе­ ние ансамбля отлично от нуля в области А с Е, р (Е — А) > 0. Тогда в любой последующий интервал времени этот начальный ансамбль должен исказиться, иначе Е была бы разложимой. Начальное множество z (0) £ А переходит в z (t) £ А' ф А . Те же рассуждения можно вновь применить к і ' и т . д. Таким образом, мы видим, что предположение, согласно которому гамильтониан порождает метрически транзитивные преобразования, влечет за собой очень схожие эргодические условия. Разумеется, если это свойство преобразований Гамильтона будет доказано, то анализ Биркгофа станет, несомненно, уместным. В этом направлении было выдвинуто предположение (Окстоби, Улем (1941)), согласно кото­ рому почти каждая группа непрерывных преобразований является метрически транзитивной. С другой стороны, Кац (1959) доказал, что фактически невозможно установить, порождает ли гамильто­ ниан метрически транзитивные преобразования. В качестве послед­ него замечания укажем, что если любая из оставшихся 2N — 2 (N — число степеней свободы) констант движения является изоли­ рующим интегралом, то Е разложима.

Задача 5.25. Доказать справедливость последнего утвержде­ ния.

5.6.«Крупнозернистое» разбиение

Описываемый ниже метод был введен Гиббсом, чтобы согласо­ вать возможное сглаживание и приближение к микроканони­ ческому распределению с любым начальным распределением ансамбля, каким бы «искаженным» оно ни являлось. Анализ начинается с разбиения энергетического слоя на такие подобласти, что 1-я подобласть имеет объем Qi. Если D (z, t) — плотность

344 Гл. V. Решение и дальнейшие свойства уравнения Больцмана

Если г) переменна, то при условии, что начальное состояние D постоянно внутри каждой ячейки, р убывает. Кроме того, ц пере­ стает убывать, когда П становится однородной. Справедливость этого утверждения можно доказать следующим образом. Пусть

Р и с . 5.20. График функций, рассматриваемых в теореме о крупнозернистом разбиении.

П — однородное распределение. Рассмотрим изменение функции П, при котором она переходит в П' = Пек , где х — произвольная функция z. Во-первых, из условия нормировки П следует, что

Преобразуя этот интеграл с использованием (5.268), можем записать его в виде

бг] = j П (xe*-f-1 — ex)dpdq^>0.

Это неравенство следует из следующего соотношения (см.

рис. 5.20, б)

Таким образом, когда П однородна, г] — минимальна (поскольку любое изменение распределения II от однородного состояния вызы­ вает увеличение энтропии ц).

На первый взгляд может показаться, что мы получили необра­ тимый закон (5.266) из одной только динамики (уравнение Лиувилля). Но это не так. Слабым местом теоремы является предположе­ ние о том, что D изменяется, удаляясь от своего начального зна­ чения D (0), постоянного в подобластях энергетического слоя. Это очень сильное предположение. Оно эквивалентно предполо­ жению о метрической неразложимости. Во-вторых, теорема свя­ зана с введением «крупнозернистой» функции распределения П. При переходе к П-представлению часть информации теряется. Знать П — это много меньше, чем знать чисто динамическун> функцию распределения D . Знание П не дает никакой информации о структуре каждой ячейки. Именно на этом «рафинированном» детализованном уровне динамики законы природы являются обратимыми. При получении «крупнозернистых» макроскопиче­ ских средних переменных приносится в жертву это детальное описание и тогда выступает необратимость макроскопической физики.

Задача 5.26. Используя теорему Биркгофа, доказать, чте частица, ограниченная в своем движении замкнутой сферической идеально отражающей стенкой, не является эргодической систе­ мой.

Указание. Сохранение углового момента означает, что прицель­ ный параметр частицы (относительно центра сферы) постоянен. Используя этот факт, найти континуум траекторий, которые отображают фиксированную подобласть на саму себя.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Гильберт (Hilbert D.) (1912) Math. Ann., 72, 562.

Трэд (Grad H.)

(1949) Comm. Pure and Applied Math., 2, 331.

Джемс (James C.G.F.)

(1921) Proc. Camb. Phil. Soc., 20, 477.

346 Гл. V. Решение и дальнейшие свойства~уравнения Больцмана

Джинс (Jeans J. Н.)

(1901) Phil. Trans. Roy. Soc. A, 196, 399.

(1904) Quart. J. Math., 25, 224.

Джонс (Леннард) (Jones J. E. (Lennard)) •(1924) Proc. Roy. Soc. A., 106, 441.

Лоренц (Lorentz H. A.)

(1887) On the Equilibrium of Kinetic Energy among Gas-Molecules, Wien. Ber., 95, 115.

■(1905) The Motions of Electrons in Metallic Bodies, Proc. Amsterdam Acad., 7, 438, 585, 684.

(1905) Arch. Neerland, 10, 343.

Массей, Mop (Massey H. S. W., Mohr С. B. O.)

(1933) On the Rigid Sphere Model, Proc. Roy. Soc., A, 141, 434.

<(1934) On the Determination of the Laws of Force between Atoms and Mole­ cules, Proc. Poy. Soc., 144, 188.

Пиддак (Pidduck F. B.)

(1916) The Kinetic Theory of the Motions of Ions in Gases, Proc. bond. Math. Soc., 15, 89.

(1922) The Kinetic Theory of a Special Type of Rigid Molecule, Proc. Roy, Soc. A, 101, 101.

Хэсс (Hasse H. R.) (1926) Phil. Mag., 1, 139.

Хэсс, Кук (Hasse H. R., Cook W. R.)

(1927) Phil. Mag., 3, 977.

(1929) Proc. Roy. Soc., 196.

(1931) Phil. Mag., 12, 554.

Чепмен (Chapman S.)

(1912) Phil. Trans. Roy. Soc. A ., 211, 433.

(1916) On the Law of Distribution of Velocities, and on the Theory of Visco­ sity and Thermal Conduction, in a Non-Uniform Simple Monatomic Gas, Phil. Trans. Roy. Soc. A, 216, 279.

(1917) Phil. Trans. Roy. Soc. A, 217, 115.

(1917) Phil. Mag., 34, 146.

(1919) Phil. Mag., 38, 182.

(1922) On Certain Integrals Occuring in the Kinetic Theory of Gases, Manches­ ter Mem., 66, 1.

(1929) Manchester Mem., 7, 1.

(1928) On Approximate Theories of Diffusion, Phil. Mag., 5, 630.

(1933) On the Convergence of the Infinite Determinants in the Lorentz Case,

J. bond. Math. Soc., 8, 266.

Чепмен, Хейнсуорс (Chapman S., Hainsworth W.)

(1924) Some Notes on the Kinetic Theory of Viscosity, Conduction and Dif­ fusion, Phil. Mag., 48, 593.

Энског (Enskog D.)

(1911) Phys. Zeit., 12, 56, 633.

(1912) Ann. der Phys., 38, 731.

(1917) The Kinetic Theory of Phenomena in Fairly Rare Gases, Dissertation, Uppsala.

(1921) The Numerical Culculation of Phenomena in Fairly Rare Gases, Svensk. Vet. Akad. (Arkiv. f. Mat. Ast. och Fys.), 16, 1.