книги из ГПНТБ / Либов Р. Введение в теорию кинетических уравнений

Если при вычислении / <2) пренебречь всеми членами выше а(2,г то в последнее уравнение будут входить {р, и, Т , а)2’ } и л и , что то же, {р, и, Т, Рц). Поскольку аг)2) —симметричный тензор

ных величин, которые определяют состояние системы в прибли­ жении первого порядка.

Тензорное уравнение (5.124) содержит шесть скалярных величин. Эти уравнения вместе с уравнением неразрывности

* + ѵ . р и = о ,

уравнением импульсов

р ( 4 f + u , V u ) + v - ^ = 0

и условием

Тг а<2> = О

составят одиннадцать скалярных уравнений. Система замкнута.

Задача 5.7. Вычислить вектор теплового потока Q, используя аппроксимацию первого порядка (уравнение (5.123)).

Задача 5.8. Используя приближение (5.123), получить явное выражение для / <2) в частном случае взаимодействия максвеллов­ ских молекул. Другими словами, показать, что

где

Ъх= л sin2 Ѳcos2 ѲdQ.

298 Гл. V. Решение и дальнейшие свойства уравнения Больцмана

5.4. Релаксация к равновесному состоянию

а) Дальнейшее толкование необратимости

Мы уже встречались с понятием необратимости в разд. 2 гл. I, в разд. 4 гл. II и в разд. 1 гл. IV. В главе I в основном обсужда­ лась динамическая обратимость. В главе II явление обратимости кратко рассматривалось с точки зрения Ѵ-частичной функции

распределения. В главе IV было замечено, что любой закон, где существенно направление изменения времени, является необрати­ мым законом.

Примером необратимого закона может служить уравнение диффузии

дп „ дгп

(5.125)

dt дх%

Решение этого уравнения таково, что начальный пик плот­ ности рассеивается со временем таким образом, что устраняется пространственная неоднородность функции п. Процесс прекра­ щается, когда п становится однородной (рис. 5.4).

300 Гл. V. Решение и дальнейшие свойства уравнения Больцмана

Рассмотрим теперь процесс, который подчиняется уравнению (5.125) при обратном течении времени. То есть события развора­ чиваются так, что время t последовательно уменьшается. Этого легко достигнуть, заменяя t на —1' и считая время t' возрастаю­ щим. Тогда обратный процесс описывается уравнением

Это уравнение не совпадает с (5.125), и п (х , t) не обязана совпа­ дать с п (х, t'). Однако, очевидно, что положительные значения

п

ные данные.

пхх вызывают убыль п, а отрицательные значения пхх вызывают

рост п. Таким образом, поведение плотности п противоположно поведению плотности п из уравнения (5.125). Процесс изменения

п показан на рис. 5.7.

Кроме того, различие между уравнениями (5.125) и (5.126) хорошо выявляется при исследовании устойчивости их решений. Пусть мы хотим исследовать устойчивость равновесного состоя­

ния п = п — п0. Для этого внесем возмущения, так что при

, t — 0 плотность будет такова:

п = п = п0 + 8 cos kx = {гс0 + А (X, t)} 1і=0, (5.127)

где е <С и к — действительная положительная постоянная. Рассмотрим решение вида

Оно принимает при t = 0 заданное начальное значение. Чтобы

п

Р и с . 5.7. Изменение числовой плотности, описываемое уравнением диф­ фузии при обращенном течении времени.

найти со, надо подставить это решение в исходное уравнение

((5.125) либо (5.126)). Подстановка в (5.125) дает

времени и со = A-Dk? — для обратного. В более общем случае линеаризация обратимого закона около равновесного состояния должна включать как возрастающие, так и затухающие решения, так что оба движения возможны для прямого течения времени. Если существуют только возрастающие решения, то, несомненно, должен быть возможен эксперимент, устанавливающий различие между двумя направлениями течения времени.

Задача 5.10. а) Рассмотреть дисперсионное соотношение для уравнений Максвелла в вакууме и доказать обратимость этих уравнений.

б) Подобным же образом исследовать обратимость уравнений

/ = аЕ,

дЕ _ q дх е0

В чем заключается основное различие между этими уравнениями и электромагнитным уравнением в вакууме?

б) Равновесные распределения. Микросостояния и макросостояния. Априорный подход

Уравнение диффузии

дп „ д2п

(5.125)

dt дх2

и ему подобные необратимы и, следовательно, находятся в про­ тиворечии с фундаментальными законами механики, которые являются обратимыми. Однако эксперимент подтверждает спра­ ведливость уравнения (5.125). А раз оно всегда удовлетворяется (при условии, что имеется достаточное число частиц, чтобы можно было ввести плотность п), то, по-видимому, закон диффузии (на­ зываемый иногда законом Фика) является верным. Но если этот закон справедлив, то существует различие между временем, теку­ щим в прямом и обратном направлениях (стрелка времени).

Экспериментальное подтверждение уравнения (5.125), каза­ лось бы, ставит под сомнение справедливость законов механики (которые, по-видимому, также всегда верны). Как согласовать эти два факта?

Хорошего «примирения» можно достичь, если ввести в тео­ рию вероятностные законы. Это так называемый априорный под­ ход — вывод следствий из определений или принципов, рассматри­ ваемых как самоочевидные. Введем прежде всего постулат равных априорных вероятностей, согласно которому все состояния на энергетической поверхности равновероятны.

304 Гл. V. Решение и дальнейшие свойства уравнения Больцмана

Данный принцип применим к системам, находящимся в равно­ весии. В этом отношении данный формализм весьма близок к равновесной термодинамике, которая хотя и всегда способна описать равновесные состояния, однако не может указать направ­ ление изменения системы.

Ясно, что подобную методику можно ввести в равновесную статистическую механику. Рассмотрим простой пример. Пусть известно, что вероятность одного состояния системы (газ занимает половину сосуда) много меньше вероятности другого состояния (газ однородно заполняет сосуд). Все «шансы» за то, что более вероятным является то состояние системы, которое мы наблюдаем. С другой стороны, предположим, что система приведена в наименее вероятное состояние (газ сжат в одном конце сосуда). Если суще­ ствует механизм, изменяющий состояние системы, то при после­ дующем наблюдении мы должны увидеть систему в более вероят­ ном состоянии (т. е. в однородном состоянии).

Этим идеям можно дать количественную основу, формулируя их через микросостояния и макросостояния. Микросостояние изо­ бражается вектором в Г-пространстве. Макросостояние опреде­ ляется через ц-пространство. Это фазовое пространство для одной частицы (ц —для молекулы; Г — для газа). Хотя координаты

и импульсы для N частиц системы изображаются одной точкой

в67Ѵ-мерном Г-пространстве, в 6-мерном ц-пространстве они будут представлены множеством из N точек (отдельной точкой изображаются координаты и импульсы каждой частицы).

Разделим теперь ц-пространство на маленькие «ячейки». После­ довательность чисел заполнения, задающая количество частиц в каждой ячейке, определяет макросостояние. В этом состоит процедура крупнозернистого разбиения ц-пространства.

Когда определено микросостояние, то известны координаты и импульсы всех частиц. Каждой частице присваивается индекс. То есть мы должны считать, что частица 1 находится в (qt, pt), частица 2 —в (q2, р2) и т. д. для того, чтобы определить микро­ состояние.

С другой стороны, чтобы определить макросостояние системы,

в себе много меньше информации об объекте, чем микросостояние. Чтобы задать микросостояние системы, нужно знать всю ее струк­ туру. Чтобы знать макросостояние, необходимо знать лишь сово­ купность чисел заполнения.

Можно проиллюстрировать различие между этими двумя уров­ нями описания на примере системы из двух частиц. Система тако­ ва, что каждая частица может быть только в одном из четырех возможных состояний. Обозначая частицы через а и Ъ, можно

306 Гл. V. Решение и дальнейшие свойства уравнения Больцмана

буется в макроскопической физике, где мы чаще имеем дело с макросостояниями. Например, распределение энергии п (Е ) dE, задающее число частиц с энергией dE около Е , характеризует макросостояние. Одночастичное распределение по скоростям I d3^, задающее число частиц со скоростями в элементе d3^ около

I, также определяет макросостояние.

В рассмотренной элементарной задаче с двумя частицами, каждая из которых может находиться в одном из четырех упомя­ нутых состояний, мы нашли, что существует восемь микросостоя­

ний, соответствующих макросостоянию 1 * 1 * 1 . Анало­

гично можно установить, что существуют два микросостояния,

дающие одно макросостояние 1 ** 1 і , и два микросостоя­

Итак, в целом имеется двенадцать микросостояний, и все они равновероятны. Это означает, что в любой заданной (достаточно многочисленной) совокупности производимых измерений систе­ мы все микросостояния встречаются одинаково часто. При доста­ точно большом числе экспериментов 4/6 измерений дадут макро­

иллюстрирует два момента. Во-впервых, как видно из рис. 5.9, одному макросостоянию соответствует много микросостояний. Во-вторых, вероятность макросостояния (называемая иногда тер­ модинамической вероятностью) пропорциональна полному числу различных микросостояний, реализующих данное макросостояние.

Так как концепция макросостояния основана на разбиении ц-пространства на ячейки с некоторыми шестимерными объемами, то уместно вывести правило для получения вероятностей макро­ состояний через объемы Г-пространства, которое является есте­ ственной системой координат для микросостояния.

Поскольку любое заданное макросостояние определяется через объем в р-пространстве, относящиеся к нему микросостояния