книги из ГПНТБ / Либов Р. Введение в теорию кинетических уравнений

5.2.Свойства линейного болъцмановского оператора столкновений 287

В последнем выражении подразумевается, что ядро К (х, у) дей­ ствует только на функции от у. Если мы определим ядро

то (5.82) можно записать в виде

І!)С(1, 1 0 = о,

G(i, іо = ^ (і)я И іо

для всех допустимых ф и ф . Функции ф и ф называются допусти­ мыми, если

единственный способ удовлетворить условию j Тфф = 0 для всех

Ф и ф — это тождественное обращение в нуль ядра Т . Итак, К —симметричное ядро.

290 Гл. V. Решение и дальнейшие свойства уравнения Больцмана

в) Дальнейшие свойства % и ѵп

До сих пор мы лишь отметили тот факт, что последователь­ ность {ѵ„} содержит пятикратное вырожденное собственное зна­ чение (vj = 0), соответствующее пяти сумматорным инвариантам.

Остальные собственные значения оператора X все лежат на поло­ жительной части действительной оси.

Недавно Трэд (1963) доказал четыре других свойства спектра

(т. е. последовательности собственных значений) оператора X . Для уяснения этих свойств необходимо сначала ввести концепцию жесткого потенциала, который определяется через частоту столк­ новений (ср. с (5.70)):

(5.96)

Потенциал является жестким, если ѵ (£) изменяется от минималь­ ного значения до бесконечности, и мягким, если ѵ (£) изменяется от максимума до нуля. Отметим, что потенциал жесткого ядра, рассмотренный в задаче 5.4, включается в класс жестких потенциа­ лов, так как для него ѵ (|) возрастает как £ для больших Для взаимодействий по закону обратной степенной зависимости (см.

своего минимального значения ѵ (0) до бесконечности. Следова­ тельно, взаимодействия такого рода относятся к классу жестких потенциалов. Для N < 5 частота ѵ (1) монотонно убывает от своей максимальной величины ѵ (0) до нуля, когда | неограниченно растет (рис. 5.3). Для особого случая максвелловских молекул N = 5 и V = ѵ0 не зависит от £.

Для широкого класса пороговых потенциалов Трэд (1963)

установил следующие свойства оператора X .

1. Для жестких потенциалов частота vj = 0 изолирована от

остального спектра частот оператора X . Кроме ѵ4 = 0, спектр X содержит континуум значений, принимаемых частотой столкнове­ ний V (I), т. е. все значения от минимума ѵ (0) до бесконечности. Для мягких потенциалов континуум собственных значений про­ стирается от максимума ѵ (0) до нуля.

2. Запишем X в виде

£ = ѵ ( £ ) - 5 Г ,

(5.97)

0Г= j d ^ K d , 1,)

292 Гл. V. Решение и дальнейшие свойства уравнения Больцмана

то легко установить следующее. Если (г|/, Я') —соответственно

Это преобразование лучшевсего годится для случая усеченного максвелловского закона взаимодействия (см. разд. 4 ниже), при котором V не зависит от

3.Оператор Ж является вполне непрерывным. Ограниченный

линейный оператор Ж называется вполне непрерывным, если он обладает следующим свойством. Для любой ограниченной после­

{Ж ^п} содержит по крайней мере одну сходящуюся подпоследова­ тельность. Из этого факта и спектральной теоремы х) следует,

что Ж имеет дискретный точечный спектр с единственной предель­ ной точкой в начале.

Физический смысл непрерывной части спектра £ заключается в следующем. Предварительно отметим, что собственные значения VI входят в решение задачи с начальными значениями в виде чле­ нов ехр (—vit). Для жестких потенциалов, где ѵ отделена от нуля

для г ^ r0; G — 0 для г > г0; спектр оператора £ является чисто дискретным с единственной точкой накопления ѵ = const. Кроме того, для максвелловских молекул собственные функцйи операто­

ра £ будут полиномами Эрмита Я[п) с соответствующими собствен­ ными значениями:

294Гл. V. Решение и дальнейшие свойства уравнения Больцмана

5.3.Моментный метод Трэда

В1949 году Трэд в своей докторской диссертации (1949) раз­ работал более общий метод решения уравнения Больцмана. Он известен сейчас как моментный метод Грэда. Причина такого названия вскоре станет ясна. Моментный метод отличается от метода Чепмена — Энскога, поскольку построенные решения не

и безразмерного распределения g для функции ^ , нормированной

на полную массу системы М = J Цр d \ dx:

Отсюда сразу следуют три свойства функции g:

с весовой функцией со, определенной равенством (5.105), имеет вид

оо

или, что то ясе, можно выразить jF через локальное распределе­ ние Максвелла

Функция # -n) является тензором порядка п и полиномом сте­ пени п. Нижним индексом і обозначена совокупность из п индек­ сов. Некоторые примеры таких функций даны в (5.108).

В развернутом виде (5.113) будет выглядеть так:

g = «в [ a ^ H ^ + a ^ H ^ + ^ r alfHir + ~ a b kHbk+ . . . ] . (5.115)

Разложение справедливо (в смысле средней квадратичной схо­ димости), если функция co-1/2g- квадратично интегрируема, т. е.

Так как функции Н\п) — полиномы по скорости |, то коэффи­

циенты а<и) являются моментами функции распределения fp. Каждый из этих моментов будет некоторой гидродинамической переменной. Коэффициенты a(jn> разложения функции распределе­ ния по полиномам Эрмита являются гидродинамическими пере­ менными. Например,

а<0) = 1,

а? = О,

{повторяющиеся индексы означают свертку).

Чтобы построить решение JP, мы должны получить выражения для коэффициентов а-'1’. С этой целью мы сначала подставим раз­