книги из ГПНТБ / Либов Р. Введение в теорию кинетических уравнений

18 Гл. I. Элементы классической механики

на по времени. Такие координаты дг называются циклическими. В механике существует метод, который не только использует этот факт, но и позволяет представить обширное поле механики как науку с принципами симметрии. Этот метод воплощен в фор­ мализме Гамильтона.

Первой задачей нашего нового подхода является переход

от переменных (q, q) к (q, dL/dq). Такой переход достигается при использовании преобразования Лежандра, которое переводит

L — функцию g, q и t — в гамильтониан Н , являющийся функ­

цией g, dL/dq, t. Преобразование имеет вид

N

(1-15)

і=і Hi

Образуя дифференциал от Н, легко проверить, что Н действитель­

но является функцией g, dL/dqi и t. Если мы введем

— канонические импульсы, или импульсы, сопряженные координа­ там qh то Н = II (д, р, t).

Чтобы найти уравнения движения системы через эту новую ди­ намическую функцию, мы сначала запишем дифференциал Н как функцию д, р (и t, если Н явная функция времени). Это дает

где при построении дифференциала мы воспользовались уравне­ ниями Лагранжа. Отсюда следует, что

и dH/dt = —dL/dt. Если L не зависит явно от времени, то имеют смысл только уравнения (1.18). Они называются уравнениями Гамильтона и, как мы видим, представляют собой 2N уравнений первого порядка в противоположность уравнениям Лагранжа, которые являются N уравнениями второго порядка.

Из уравнения (1.186) видно, что если гамильтониан не зависит от координаты qi (т. е. ф циклическая), то импульс рі, сопряжен­ ный этой координате, сохраняется. Этот факт, связанный с неотъ-

Другим исследуемым свойством пространства является его изотропность. Это свойство означает, что уравнения движения изолированной системы инвариантны относительно виртуального бесконечно малого поворот системы вокруг некоторой фиксированной оси. Такой поворот показан на рис. 1.4. Каждая частица испытывает перемещение, при котором гг ->■ ѵ\ —

=гг + бгI, где бгі = бѳ X гI. Снова гамильтониан должен быть

инвариантным; таким образом,

(1.23)

Поскольку 6Ѳ произвольна, мы полу­ чаем второе важное свойство гамиль­ тониана изолированной системы:

N

У,чх дЩдті 0. (1.24)

Это соотношение совместно с уравнением (1.22) и кинематиче­

Полный угловой момент X (относительно произвольного фикси­ рованного начала координат) постоянен во времени.

Задача 1.10. Как изменяется полный угловой момент систе­ мы при преобразовании координат гг К + а, где а — постоян­ ный вектор?

Задача 1.11. Построить в декартовых координатах (исходя из лагранжиана) гамильтониан для свободной частицы, движу­ щейся в трехмерном пространстве. Какие величины сохраняются при таком движении?

Задача 1.12. Решить задачу 1.11, выражая*# в сферических координатах (г, Ѳ, ф). Построить уравнения движения (т. е. уравнения Гамильтона) для координат, не являющихся цикли­ ческими.

Коэффициенты aih не содержат обобщенных скоростей.

Задача 1.14. Исходя из

N

т=\ 2

г=і

(N — число частиц в системе) и уравнений преобразования в фор­ ме Г; = гг (qi, . . ., qN), доказать, что коэффициенты aik не содер­ жат обобщенных скоростей.

Из теоремы Эйлера, которая утверждает, что если g является

однородной функцией порядка ѵ от переменных хи то ^jX^dg/dzi) —

= vg (для нашего случая ѵ = 2), следует, что

— полная энергия системы. Для консервативной системы с неза­ висящими от времени связями гамильтониан равен полной энергии и постоянен во времени. Отметим, что изолированная система не может описываться уравнениями преобразований, явно содер­ жащими время. В таком случае гамильтониан также не будет явной функцией времени, и Н сохраняется. Тот факт, что гамиль­ тониан изолированной системы не может содержать явно время, выражает однородность времени. В данном случае, как мы уже видели, Н представляет собой константу движения, а именно энергию.

Время, также как и пространство, обладает еще одним фунда­ ментальным свойством — свойством изотропности. Этого рода симметрия ведет к принципу динамической обратимости. Если одномерный объект, такой, как время, является изотропным, то не существует различия между временем прогрессирующим и вре­ менем регрессирующим. При обращении времени законы движе­ ния остаются инвариантными, так что Н (t) = Н (—t). В свете уравнений Гамильтона это означает, что если [q (t), р (t)] являет­ ся динамическим решением, то [q (—t),— р (—£)] также будет решением.

Чтобы сделать доказательство более убедительным, рассмот­ рим сначала начальные и конечные условия:

Далее найдем динамический путь, соответствующий новым началь­ ным условиям р * (0) = —pi, q* (0) = qx. Имеем решение

Р* = —Р i—t* +'h), Я* = q (—t* + О 7

где t* есть время в задаче с переменными, отмеченными звездочкой (заметим, что р и q — те же самые функции, что и в первом слу­ чае). Таким образом, мы нахо­ дим, что

Р* (t* = 0) = —р (h) = —ри q* (0) = qu

изменяется по времени энергия шарика? Если эта энергия возрастает (убывает), то откуда (куда) идет прирост (убыль) энергии?

Утверждение, что некая динамическая переменная постоянна по времени, означает, что существует функция координат и им­ пульсов, которая не изменяется при изменении qi и рі по времени. Такая функция

^ (?І7 • • •? qNi Pii ■ • ч Р Nt

постоянная вдоль «динамического пути системы», называется константой движения. Эта концепция, в сущности, является

•одной из наиболее важных во всей классической динамике. Сколь­ ко независимых констант движения существует для системы с N обобщенными координатами? Из второго закона Ньютона либо из уравнений Лагранжа или Гамильтона мы видим, что решение включает 2N постоянных интегрирования. Обращая эти решения так, что постоянные интегрирования становятся функциями дина­ мических переменных, получаем совокупность 2N независимых констант движения. Разрешенные относительно индивидуальных

24 Гл. I. Элементы классической механики

координат и импульсов, эти 2N первых интеграла уравнений движения, как мы видим, будут эквивалентны решению задачи. Существование 2N независимых констант движения можно также усмотреть из геометрического построения.

2іѴ-мерное декартово пространство с координатами (д1? . . ., qN; Pi, . . ., p N) называется фазовым пространством (а также Г-про- странством). В этом пространстве вся система изображается одной

уравнение этой динамической кривой является важным соот­ ношением, которому должны удовлетворять р и х , она не дает информации о развитии системы во времени. С другой стороны,

в (2N + 1)-мерном расширенном фазовом пространстве (Г-про­ странстве), которое включает ось времени, кривая, прочерчивае­ мая точкой системы, дает полное динамическое решение задачи. Для рассмотренной задачи с гармоническим осциллятором эта кривая является пересечением двух поверхностей а = р/cos соt, Ъ — xlsmuit. Динамический путь изображен на рис. 1.7.

Для одномерного движения свободной частицы кривая системы

в трехмерном Г-пространстве представляет собой пересечение

стей» в этом же пространстве. Кривая в пространстве с любым числом измерений является одномерным геометрическим местом

/і (X, г/, z) = 0 и / 2 (х, у, z) = 0 определяют кривую, так как только одна координата точки этого многообразия может быть выбрана произвольно. Геометрически кривая является пересече­ нием двух соответствующих поверхностей. Поверхность в іѴ-мер- ном пространстве есть (N — 1)-мерное многообразие. Таким обра-

Р и с. 1.8. Динамическая траектория свободной частицы в трехмерном Г- пространстве.

зом, в трехмерном пространстве уравнение g (х, у, z) = 0 опре­ деляет поверхность, так как только две координаты могут быть выбраны произвольно.

В (2N + 1)-мерном Г-пространстве уравнение

h (qi, . . ., qд.; pi, . . ., p N, t) — C1= 0

представляет собой поверхность. Пересечение 2N таких различ­ ных поверхностей образует одномерное многообразие в Г-про­

странстве, т. е. кривую. Но кривая в Г-пространстве может быть записана в параметрической форме дг = qt {х); p t = p t (х); t = х, что дает динамическое решение задачи. С другой стороны, 2N — 1 констант определяют двумерное многообразие, т. е. две пере­ менных могут быть выбраны произвольно. Обозначим их через Рі и t. Если рі и t независимы, то задача не решена. Итак, мы заключаем, что 2N независимых констант движения полностью определяют решение.

Хотя концепция констант движения является полезным геомет­ рическим понятием в теории неравновесной статистической меха­ ники, в любой задаче классической механики только часть этих констант имеет значение. Например, насколько важны начальные значения координат? После утомительного решения системы 2N