книги из ГПНТБ / Либов Р. Введение в теорию кинетических уравнений
.pdf5.1. |
Анализ Чепмена — Энскога уравнения Больцмана |
277 |
||
уравнений для jF (r): |
|
|
|
|
|
О = / (0) ( ^ (0)), |
(5.37а) |
||
|
(■Ж+ 3 } ) ^ ІЮ= ^ |
( ^ (Ю, . Г 1’), |
(5.376) |
|
|
f |
<o) = |
/ » ( tf ; ° > j “,) j r (2>), |
(5.37в) |
Решение |
нулевого порядка |
получается из (5.37а): |
|
|
|
J { ^ w |# г<0>)= 0 . |
|
||
Из предыдущего обсуждения d^-теоремы (разд. 4.4 (в)) следует, что решением этого уравнения является локальное распределение
Максвелла |
_ |
п |
|
|
j£t(°) = |
||
|
|
{2пБТ)А1г е хР ( Ю Й Г ) ' |
|
Напомним, что относительная скорость с равна |
|||
|
|
с = |
I — U. |
Согласно предыдущим ограничениям (равенства (5.26)), п, и |
|||
и Т в |
представляют собой фактическую концентрацию, макрос |
||
скопическую скорость и температуру газа. Все они являются функциями х и t.
Решение нулевого порядка в приближении малого свободного пробега дается локальным максвеллианом Лр°. Э т о решение в свою очередь можно использовать для получения системы гидродина мических уравнений нулевого порядка. Чтобы их построить,
вычислим сначала тепловой поток Q и напряжение Р. Из определе ний, данных в гл. Ill,
Q= f- j
Р = m j ccjfd3%.
Подстановка jF° в эти две формулы дает
Q(0) = |
О, |
(5.39а) |
Р (0) = Ip = |
InkT. |
(5.396) |
В записи по компонентам последнее равенство имеет вид
Р и с . 5.2. Метод Чепмена — Энскога интегрирования уравнения Больцмана.
280 Гл. V. Решение и дальнейшие свойства уравнения Больцмана
Подставляя значения (см. (5.35))
|
£оа |
— Ѵ .щ і, |
|
|
dt |
|
|
^ H .= |
- u .V u + K — р-'ѴпкТ, |
(5.47) |
|
dt |
- u . V J - lоr v . u |
|
|
в уравнение (5.46), получаем д0jf°ld t как функцию только про странственных градиентов от п, и и Т . Если затем подставить выражения (5.46) и (5.47) в уравнение (5.45), то после некоторой перегруппировки и сокращения членов мы получим
У ' ш т ( 4 |
т |
- |
і ) у |
ш |
- ѵ |
^ т + |
ж |
( |
= 'K 2 n r ( s 2- | - ) s . V |
l n r + 2 ( ^ - y S 2r ) : ¥ ^ = р Ф а \ |
(5.48) |
|
|||||
где s — безразмерная относительная |
скорость, |
|
|
|
||||
|
|
|
S2___£L |
|
|
(5.49) |
|
|
|
|
|
— 2RT • |
|
|
|
|
|
Если Ф(1) найдена, то |
известна до членов |
первого |
порядка: |
|
||||
|
|
^ |
= .^°(1+ф<і>), |
|
|
(5.50) |
|
|
|
|
П |
-і4 |
|
|
e~sid3s. |
|
|
|
(2яRT)3/2 |
|
|
|
|
|
|
|
Чтобы найти Ф(1>, мы должны решить линейное неоднородное интегральное уравнение (5.48), при условии что
^■°Ф<1>| 1 I eZc = 0. |
(5.51) |
г.2 |
|
Общее решение уравнения (5.48) получается путем сложения некоторого частного решения Ф)1’ этого уравнения с общим реше нием Ф£> однородного уравнения
□ Ф £’ = 0. |
(5.52) |
Решением этого уравнения будет являться линейная комбинация трех сумматорных инвариантов:
Ф л ^ а + Р-игс + ууш с2, |
(5.53) |
где а, ß, у — произвольные постоянные. Форма среднего члена продиктована тем фактом, что Ф скаляр. Чтобы получить частное
5.1. Анализ Чепмена — Энскога уравнения Больцмана |
281 |
решение уравнения (5.48), отметим сначала, что его левая часть имеет вид
X(s)-(2RT)i/2V ln T + ¥ (s): Wu. |
(5.54) |
Поскольку оператор □ линейный, а Ф(1> —скаляр, из (5.54) следует, что частное решение уравнения (5.48) имеет вид
Ф)11 = А (s) • (2RT)i/2 V YaT -\-Ё (s): fu . |
(5.55) |
Таким образом, получение неоднородного решения Ф)1’ свелось
к задаче отыскания вектор-функции А и тензор-функции В. Под ставляя эту форму решения в уравнение (5.48) и приравнивая
коэффициенты при различных компонентах V ln Г и Ѵи, получим
следующие уравнения, которым должны удовлетворять А и В~.
□ а = х = |
8 ( з2- | ) , |
(5.56а) |
Q Ë = f = 2 |
(ss — g-s2J ) . |
(5.566) |
Теперь А зависит только от s, п и Т . Из этих трех величин можно образовать только одну векторную величину — сам век тор s. Таким образом, мы запишем, что>
А = — % (s2) s,
где g —некоторая скалярная функция. (Вектор □ А должен иметь направление вектора s.)
Помимо этого, из линейности уравнения (5.566) и вида входят
щего в него неоднородного члена следует, что В — симметричный
тензор с нулевым следом. И опять В зависит только от s, п и Т . Из этих переменных можно образовать единственный симметрич
ный тензор с нулевым следом (ss —-|-s2/ j , так что
Ё = |
(s2) ( T s - j S 2T ). |
(5.57) |
□ # должен иметь «направление» тензора ^ss — s2/ j . J
Скалярные функции g и & удовлетворяют интегральным урав нениям:
□ (s& )= —s (*2- у ) . |
(5.58а) |
□ [ ( ю - ^ Г ) ®] = - 2 ( S - ^ s 2f ). |
(5.586) |
Если эти уравнения разрешить относительно ^ и <8, то Ф(1> будет определена. Однако однородная часть решения Фд1’ все еще
282 Гл. V. Решение и дальнейшие свойства уравнения Больцмана
содержит неизвестные постоянные (а, ß, у). Они определяются из условий (5.51). Подставляя
.^ = І г'°[1 + Ф л , + Ф И |
(5.59) |
в эти ограничительные уравнения получим три интегральных условия:
|
I JF0( “ + ТY тс1j de = 0, |
(5.60а) |
j |
jF° О (s2) ^ ln. Т — mß] mc2 de = 0, |
(5.606) |
|
j jp° [ a + -|- mc2y j -|-mc2dc = 0. |
(5.60b) |
Из первого и |
третьего уравнений следует, что |
|
|
а — у = 0. |
(5.61) |
Из второго уравнения вытекает, что ß имеет направление вектора V ln Т , следовательно, его можно объединить с членом
V In Г в Ф|х>.
Полное решение уравнения Больцмана до членов первого
порядка включительно имеет вид |
|
|
||||
іг = ^ ° [ і + (2й ;Г)1/2А.Ѵ1п Г + і : v^] ^ |
|
|
||||
= |
^ ° [ l — (2i?r)i/2g (s)s.V ln T , -@ (s) ( s s - y s 2f ) : |
(5.62) |
||||
где |
скалярные |
функции |
ff, |
& являются |
частными |
решениями |
интегральных |
уравнений |
(5.58). |
теперь построить Q(1) |
|||
|
Определив |
до членов |
О (е), можно |
|||
и Р (1). Они получаются путем подстановки последнего выражения для в? в определяющие уравнения:
Р = m2RT j ssj^ de = I р Р (1), |
(5.63a) |
Q = \ m (2RT)3'2 j s2sjjp de = 0 + Q(1>. |
(5.636) |
Здесь мы выделили члены низшего порядка в выражениях для Р
и Q. Для Р (1) |
мы будем иметь |
|
Р а) = |
— 2 -^ - ^ и в j ss (ss — y s 2f ) @{s)^°d c. |
(5.64) |
Чтобы получить отсюда коэффициент вязкости ц, надо представить результат в виде (5.5). Проще всего это сделать с помощью сле дующей теоремы, доказательство которой предлагается читателю в качестве задачи.
5.2. Свойства линейного больцмановского оператора столкновений 285
Функция V (I) называется частотой столкновений. Такая тер минология обусловлена следующей записью оператора □ф:
□ ф = j |
d3ha d ü V jfl (ф] + Ф' — ф4 |
— ф) = |
|
|
= |
- ф (S) j d ^ o dQ V^l + |
j d ^ ö d Q |
V (ф] + ф' - |
%) = |
== — v(g)ij5(l)rf j |
|
фі) = |
|
|
|
j d3l, [- ö ( І - so V (SO + |
к (S, SO] |
(SO, |
(5-70) |
где б (S — SO — дельта-функция Дирака. Последняя форма запи
си оператора □ иллюстрирует его сингулярную природу. Сле дующее отсюда определение функции v (S) тождественно определе нию (4.209) для частоты столкновений в кинетическом уравнении КБГ.
Задача 5.4. Показать, что для жестких сфер диаметра D
частота столкновений ѵ (S) имеет вид |
|
|
|
'(s) = v0 | V s2 + |
(2 s+ |
j |
е-л2 dpj |
s = 2RT ’ |
vn = nD2 |
|
2яkT |
|
|
||
и что в пределе, когда s^> l, |
|
|
|
V ('s ) ~ ] 7 я ѵ = п |
п І У |
г с . |
|
Функция К (S, SO в уравнении (5.69) является симметричным ядром. Это будет показано в разд. 5.2, где исследуются свойства
линейного оператора столкновений □ .
5.2. Свойства линейного больцмановского оператора столкновений
Если состояние газа близко к равновесному, то J f близка к J f 0. При таких условиях мы положим
& = |
+ |
(5.71) |
где ф (S) мала по сравнению с единицей. Если эту форму функции Jë подставить в уравнение Больцмана (без внешней силы)
286 Гл. V. Решение и дальнейшие свойства уравнения Больцмана
и пренебречь квадратичными членами по ф, то мы получим
4 f + i - s - + * ф = ° .
(5.72)
Хф = J d3h o d Q V j f oi (ф + фі— Ф' — Фд-
Оператор X равен со знаком минус оператору □ , определенно му равенством (5.44). Отметим также, что максвеллиан в пред
шествующем |
уравнении является абсолютным |
максвеллианом, |
в то время как в анализе Чепмена — Энскога |
мы имели дело |
|
с локальным |
распределением Максвелла. Однако, что касается |
|
свойств ^-зависимости операторов X и — □ , они идентичны. Оператор X имеет следующие важные свойства.
а) Симметрия ядра
Ядро оператора X определяется соотношением
Хф |
j ^ 0ld ^ K (І, SO ф (li) = j |
d\kyK (I, li) ф(li), |
(5.73) |
|
где du — весовая функция, |
|
|
|
|
|
ф |
= ^ о ^ 3І. |
|
(5.74) |
Чтобы доказать симметрию ядра К, т, е. что |
|
|||
|
K (l, |
!i)= Ä (li, |
I), |
(5.75) |
мы введем следующее матричное представление для X:
Хф$ = (ф\Х\^>) = j dpфX^lp = j d\i d p ^ (1) К (1, |j) op (li) =
= j йрфцасйТКф [ф + % — ф '— ф']. |
|
Сначала мы покажем, что |
|
Хф^ = Х^ф, |
(5.76) |
т. е. что Хфу —симметричная матрица. Тем же самым путем, что и при выводе инвариантов столкновений (см. гл. IV), мы получим
Хфъ = ^ \ |
+ |
ф' — |
+ % —ф' —гК). |
(5-77) |
Это в свою очередь можно переписать как |
|
|
||
Хфц = j' dp, d ^ o dQVty (ф + фі — ф' — фі) = Хфф, |
(5.78) |
|||
что и доказывает справедливость равенства (5.76).
Следствием из (5.77) является положительность всех диагональ ных элементов Хфф, кроме случаев, когда ф — любая линейная