Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Либов Р. Введение в теорию кинетических уравнений

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

13.16 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 2728 / 3928 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 > Следующая >>>

Г Л А В А V

РЕШЕНИЕ II ДАЛЬНЕЙШИЕ СВОЙСТВА УРАВНЕНИЯ БОЛЬЦМАНА.

РЕЛАКСАЦИЯ К РАВНОВЕСИЮ

5.1. Анализ Чепмена — Энскога уравнения Больцмана. Приближение малого среднего свободного пробега

а) Коэффициенты переноса

До сих пор мы мало касались вопроса о решении произволь ного кинетического уравнения и о возможностях его каких-нибудь других практических приложений. Одно из наиболее важных применений кинетического уравнения связано с вычислением коэффициентов переноса. Эта задача особенно поучительна, поскольку она сосредоточена на построении одночастичной функ ции распределения, т. е. на получении решения данного кинети ческого уравнения.

Коэффициенты переноса играют большую роль в кинетической теории газов. Неотъемлемая слабость теории макроскопических уравнений состоит в том, что системы этих уравнений всегда незамкнуты: число неизвестных всегда больше числа уравнений. Уравнение неразрывности является одним уравнением для четы рех скалярных величин (п, и). Если мы попытаемся исправить положение, вводя уравнение импульсов, то в действительности ситуация только ухудшается. В уравнения импульсов, которые состоят из трех скалярных уравнений, входит шесть независимых

компонент тензора напряжений Р. Следовательно, первые два закона сохранения дают четыре уравнения для десяти неизвест ных. Очевидно, что добавление к системе третьего уравнения сохранения, уравнения энергии, не улучшит дела, точно так же как добавление любого уравнения из оставшегося счетного мно жества моментных уравнений. Мы всегда будем иметь больше неизвестных, чем уравнений.

Выход из этой «безнадежной» ситуации — на феноменологичес ком пути. Феноменологическими называются утверждения физики,

основанные на эксперименте	(и интуиции) и не вытекающие
из фундаментальных законов.	Например, если ограниченный

(но свободный от внешних воздействий) газ первоначально обла дает градиентом плотности, то с течением времени система будет релаксировать к однородному состоянию с нулевым градиентом. Другими словами, макроскопическая скорость и «сдвигает» жид кие элементы из плотных областей в разреженные. Этот феноме нологический закон описывается уравнением

mi = — DV п,

(5.1)

268 Гл. V. Решение и дальнейшие свойства уравнения Больцмана

где D называется коэффициентом диффузии. Если это урав нение подставить в уравнение неразрывности (одно уравнение для четырех скалярных величин п и и)

дп + Ѵ-пи = 0, dt

то мы получим (считая, что D не зависит от х)

^ - = Г>Ѵ2«

(5.2)

— так называемое уравнение диффузии, где D — коэффициент переноса. Этот простой пример показывает, каким образом коэф фициенты переноса помогают получить замкнутую систему гидро динамических уравнений. Но так как D все еще неизвестная вели чина, то мы попросту только изменили задачу, а не решили ее. Тем не менее существует формальный подход к вычислению коэф фициентов переноса1). Он основан на построении самой функции вр. Например, пусть решение уравнения Больцмана имеет вид

•F(*. I, 0 = -^£(1)-Ѵтг(х, t),

(5.3)

где g —известная функция | и п —числовая плотность:

п = j Jpd3l.

Образуя моментное (по скорости) соотношение от равенства (5.3), будем иметь:

пи= j

— Vrc j gd3£.

(5-4)

Из последнего равенства заключаем следующее. Во-первых, если

мы положим D = j gd3|, то (5.4) примет вид

пи = — D V п.

Это означает, что феноменологическое утверждение, заключенное в (5.1), в действительности является точным аналитическим утверждением. Во-вторых, коэффициент D должен определяться

тождеством D = ^ gd3|.

Вообще для газовой динамики важны следующие три коэф фициента переноса.

1. Коэффициент диффузии D, который связывает и с градиен том п согласно (5.1).

*) Менее формальный подход состоит в вычислении средней длины свободного пробега. Иллюстрацию этого метода можно найти в работе Ли, Сирса, Таркотта (1963).

5.1. Анализ Чепмена — Энского, уравнения Болъцмана

269

2. Коэффициент вязкости р, связывающий Р с градиентом -функции и следующим образом:

Р = Тр — 2ц (X — Ѵ- и 7) .

(5.5)

Отметим, что такая форма записи требует, чтобы р = у Т г Р .

Здесь I — единичная матрица, р —скалярное давление и Л — (сим метричный) тензор скоростей деформаций, определенный равенст

вом (4.138); XX и ^-компоненты тензора Р имеют вид

		дих	диу	диг
= Р - 4	р (2	дх	ду	dz ) ,	(5.6а)
Рху —	Р- (	дих	, дЧу у		(5.66)
Рху —	Р- (	ду	дх / *		(5.66)

Задача 5.1. Показать, что тензор давлений, задаваемый в фор ме (5.5),

Р = 7р — 2ц ( X - j V . u f ) ==Fp —f,

обладает следующими тремя свойствами:

1)Р не содержит пространственных производных порядка выше первого, т . е. Р = О (V«);

2)S равен нулю, если жидкость вращается как твердое тело,

т. е. если и = Q х г, где Й — вектор постоянной угловой скоро сти;

3) Тг Р = 3р.

В этой формулировке, связанной с разреженным газом, толь ко перенос импульса, обусловленный потоком частиц, вносит вклад в напряжение. Вкладом от межмолекулярных взаимодей ствий можно пренебречь (см. разд. 3.6). Феноменологический смысл равенства (5.5) очевиден. Оно утверждает, что силы, которые стре мятся вызвать диссипацию любых градиентов скорости, могущих возникнуть в жидкости, линейно пропорциональны этим гра диентам.

3. Коэффициент теплопроводности х, который связывает век тор теплового потока Q с градиентом температуры:

Q = -X ѴТ.

(5.7)

Феноменологическое обоснование этого соотношения также ясно. Если в газе существуют две области с разными температурами, то тепло будет переходить из области более теплой в область более холодную, чтобы произошла диссипация градиента темпе ратуры. (Тепло никогда не течет в противоположном направле нии — это второй закон термодинамики.)

270 Гл. V. Решение и дальнейшие свойства уравнения Больцмана

Все феноменологические законы, в которые входят коэффи циенты переноса, стремятся сохранить пространственную одно родность (равновесие) в системе. Они служат для замыкания системы уравнений сохранения, но при этом система становится необратимой. Обратимые уравнения, несомненно, не могут опи сывать релаксацию системы к равновесию. В противном случае существовало бы нечто, дающее нам возможность определить пря

мое направление	времени, а именно направление, которое ведет
к равновесию х).	что решить уравнение Больцмана для функции jzr,
Казалось бы,	что решить уравнение Больцмана для функции jzr,

а потом вычислить коэффициенты переноса и получить замкнутую систему гидродинамических уравнений — все равно, что «стрелять

из пушки по воробьям». Если функция	известна, то может по
казаться, что и все макроскопические	переменные известны.

И какой тогда смысл решать уравнения сохранения, чтобы опре делить эти макроскопические переменные, коль скоро одночастич

ная функция распределения		известна?	Однако, зная	, мы
не можем определить	гидродинамические		переменные, так	как
они могут входить в ер	в виде параметров.		Прекрасным примером
этого является локальный максвеллиан
Если мы проинтегрируем ^ ° ,		чтобы найти, скажем, плотность
числа частиц п, то получим
				(5.8)

Это равенство ничего не говорит о структуре п. Оно представляет собой просто часть определения локального максвеллиана

Назначение коэффициентов переноса состоит в том, чтобы сде лать систему уравнений сохранения замкнутой:

Два из этих уравнений являются скалярными, а одно — вектор ное. Они включают две скалярные величины п и Г, две векторные

и и Q и одну тензорную Р . Выражая последние две (не скалярные)

!) Более точно: если решение обратимого уравнения описывает при ближение к равновесию, то существует другое, также верное решение, соглас но которому происходит отклонение от равновесия.

5.1. Анализ Чепмена — Энскога уравнения Больцмана

271

переменные через п, и и Т, получим в результате замкнутую систе му гидродинамических уравнений *). Отметим, что знание коэф фициента вязкости ц (уравнение (5.5)) и коэффициента теплопро водности X (уравнение (5.7)) как раз обеспечивает такое замы кание системы уравнений. Если [іи х известны, то коэффициент диффузии становится излишним.

Задача 5.2. Подставить (5.5) и (5.7) в уравнения (5.9) и получить замкнутую систему гидродинамических уравнений с [іи х в явном виде.

6) Формальное разложение и решение

Анализ Чепмена — Энскога начинается с того, что уравнение Больцмана записывается в виде

(5.10)

где е — бесконечно малый параметр. Такую запись уравнения

Больцмана можно обосновать следующим образом. Оператор J задается равенством

		J & =	j j а				(5.11)
Если		сечение рассеяния о положить равным
				а =	го° ,		(5.12)-
то а будет безразмерным параметром,							который, как мы ожидаем,
должен быть порядка единицы; г0						— радиус взаимодействия. Для
жестких		сфер (см.	(4.42)),	где	г0	= 2а,
							(5.13)
Введем		безразмерное распределение					ор согласно уравнению
			^	=			(5.14)
где с	— тепловая скорость и п				—плотность числа частиц. БІако-
нец,	все скорости		запишем	в виде
				1 =	С \|.		(5.15)'
*)	Вспомните определения

р = і j mc^S- d3l,

- nkT me2OFd3£

- И

272 Гл. V. Решение и дальнейшие свойства уравнения Больцмана

В этих безразмерных переменных уравнение Больцмана примет вид

2 ^ = nCr l j ß .

(5.16)

Размерность произведения пСг\ равна величине, обратной време ни. Это согласуется с тем фактом, что время t в левой части урав-

âeücmßuß

Р и с . 5.1.

нения является размерным. Полностью безразмерное уравнение Больцмана получается, если положить

1 —nCrlt.

(5.17)

Но физически более целесообразно иметь дело с уравнением в форме (5.16). Переменные п и г0 связаны простым соотношением

jtrjjZ qé п~х = и,	(5.18)
nlrl ^ 1.

Величина, обратная числовой плотности — это удельный объем V, а I — средняя длина свободного пробега. На рис. 5.1 приведено построение, поясняющее соотношение (5.18).

Идея такова, что в среднем частицы проходят без столкнове ний (после любого данного столкновения) расстояние I, так что в объеме nlrl имеется только одна частица. Используя (5.18), чтобы выразить г0 через Z, получим уравнение (5.16) в виде

(5-19)

Тепловая скорость С и средняя длина свободного пробега I свя заны с частотой столкновений ѵ приближенным равенством

Іѵ sé С.

(5.20)

В среднем частица проходит расстояние I за время ѵ-1. Поскольку параметры I, ѵ и С связаны соотношением (5.20), только два

5.1. Анализ Чепмена — Энскога уравнения Больцмана

273

из них могут быть выбраны произвольно. Как только такой выбор сделан, третий параметр определяется из (5.20). Другими словами, мы вправе рассмотреть предельный случай, когда в урав нении (5.19) I >■0 и С — const. Это будет предельный случай малой средней длины свободного пробега или, что то же (из (5.20)), высокой частоты столкновений. Он также называется гидродина мическим пределом. (Противоположный экстремальный случай описывается газом Кнудсена, в котором частицы сталкиваются со стенками значительно чаще, чем друг с другом.)

Вид уравнения (5.19) дает возможность предположить, что мы получим хорошую отправную точку для исследования решений уравнения Больцмана в предельном случае малой средней длины свободного пробега, если запишем его в виде

Dp ____ і	Jj f .	(5.21)
D t s

Введение параметра e представляет собой математический прием. Этот параметр именуется «бухгалтерским» параметром и служит цели учета членов одинакового порядка величины.

Первый шаг анализа Чепмена — Энскога состоит в том, чтобы записать уравнение Больцмана в виде

(	-	=	(5-22)
где
	= !.■#- + — --\|г		(5.23)
	с	дх 1 т dt,
И
J ( /1g)	j j	d%adQV (f'g l-fg i).	(5.24)

Такая более явная запись оператора столкновений будет полезна для дальнейшего анализа.

В качестве второго шага надо ввести разложение
& =	ш + е2# -<2>+ ... .	(5.25)

Это в свою очередь порождает разложения в виде рядов для трех

операторов, dldt, 3) и / .

Прежде чем получить эти разложения, полезно обсудить вопрос

о нормализации ff-. Константы,	содержащиеся в JF, задаются со
гласно определениям:
п = j 3 d?l\ пи — ^	4 пШ	J

1 8 - 0 1 2 4 3

274 Гл. V. Решение и дальнейшие свойства уравнения Больцмана

Подставляя ряд (5.25) в эти равенства, получим разложения мак роскопических переменных п, и, Т . Если мы предположим, что все эти переменные являются величинами О (1), то

				0,		і >	0;	(5.26а)
				(		п	\
		I и =				?ги		(5.266)
				\3пкТ/т/
Однако, переменные Q и Р все еще содержат полные ряды по
{jF(i)}, так что
Q =	2	e;QU) = j	2	e*j	^	a)mc2cd3l,		(5.27)
Р =	2	&1Р {1) =	2	&l j	JF{l)mccd3£,.			(5.28)

Метод Чепмена — Энскога содержит два сильных предположения. Первое из них, о котором мы уже говорили, состоит в том, что гидродинамические переменные п, u, Т все являются величинами порядка единицы. Второе предположение, с которым мы вскоре столкнемся, заключается в том, что Jp зависит от времени только через п, и и Т.

Из бесчисленного множества гидродинамических переменных только эти три определяют равновесное состояние системы. Напом ним, что в боголюбовском описании релаксации к равновесию на гидродинамической стадии одночастичное распределение являет ся функцией п, и и Т . Следовательно, мы можем считать, что реше ние Чепмена — Энскога описывает эволюцию на этой конечной гидродинамической стадии.

На каждой ступени анализа Чепмена — Энскога получается соответствующая система уравнений законов сохранения. Напри мер, как будет показано, решение низшего порядка не содер жит тепловых потоков и напряжений. Если эту функцию подста вить в уравнение Больцмана и образовать три первых момента, то вследствие структуры jF <0) получаемые в результате макроско пические уравнения будут содержать только п, и и Т . Это уравне ния Эйлера. Они описывают газ, который не содержит ни тепловых потоков, ни напряжений (идеальная жидкость). Такое свойство присуще состоянию жидкости, близкому к равновесию. Чтобы описать состояния, более удаленные от равновесного, где суще ствуют напряжения и тепловые потоки, необходимо использовать следующие члены разложения . Например, уже содержит Q

и S. Соответствующие макроскопические уравнения называются


5.1. Анализ Чепмена — Энскога уравнения Больцмана		275
уравнениями Навъе — Стокса. Их также можно получить,		под
ставляя выражение (5.5) для Р и (5.7) для Q в уравнения сохране
ния (5.9). Такое феноменологическое задание	Р и Q заключает
в себе предположение, согласно которому Р и	Q вполне определя

ются пространственными производными (только) первого порядка

от	гидродинамических переменных низшего порядка (например,
и ,	Т). Это предположение вполне пригодно вблизи равновесия, где

полагается, что пространственные вариации более высокого поряд ка стремятся к нулю.

Макроскопические уравнения, получающиеся при учете членов более высокого порядка в разложении содержат и простран ственные производные высшего порядка в соответствующих аппро

ксимациях Р и Q. Смысл введения членов высшего порядка в раз ложении Чепмена — Энскога для sp состоит в том, что получающие ся в результате макроскопические уравнения лучше описывают состояния, отклоненные от равновесного.

Возвращаясь		к получению			разложений				для	операторов 3)
и / , отметим, что они вытекают из (5.25)								для	ер,	так что
		â ) ^ =		+			+ • ••		•		(5.29)
Для /	мы получим
	J ( j F JF)I			00		оо	2	en2 F m ,) =
	J ( j F JF)I		~ j {	2	РРа) I		2	en2 F m ,) =
				l — 0		71=0
			oo	oo
			=					\| ^ <n>)-			(5.30)
			Z = 0 n = 0
С использованием соотношения
	jF (1\	•••, ^	(8,) =	2 2		^ ( ^ <г) \& m ), l + n = s,					(5.31)
				П	l
(5.30)	запишется	в виде
J ( j r	Ц Т ) = /«» ( ^ (0)) +		e / (1> ( # - (0>,			& ш) +
			+ e2J ‘2>			^	\		+	• • - •	(5.32)
Равенства (5.29) и (5.32) определяют разложения é*P и /											(J^ \|jr)

по степеням е.

Разложение д epldt нельзя получить непосредственно, так как его обоснование связано со вторым предположением метода Чеп мена— Энскога, согласно которому ер зависит от времени не явно, через п, и и Т, так что

д& д& дп	. д Б	ди	, д& дТ	„ qo\
- д Г = ~ ж ^ т	+ а	г і г	+ ~ д Г ~ д Г -	v - öö)

18*

276 Гл. V. Решение и дальнейшие свойства уравнения Больцмана

Из этого уравнения следует, что ду* Idt задается через шесть вели

чин: dppldn, dtp Idu,	âjp/дТ, dnldt,			dxxfdt, dTIdt. В разложении
д	__ dp	J_ g_ —U		(5.34)
dt	dt	+ b dt	1 e	dt
операторы dildt определяются			через	производные по времени

от макроскопических переменных п, и и Т . Мы получим эти соот ношения таким способом, который обеспечит, чтобы макроскопи ческие переменные, получаемые из вр, удовлетворяли уравнениям сохранения (5.9). Подставляя ряд (5.34) вместе с разложениями

(5.27) и (5.28) в уравнения сохранения (5.9) и учитывая,										что п,
и и Т все являются членами порядка единицы, получим
			д0п	— V -reu,
			dt	— V -reu,
			dt
					r > 0 ,
		^ - =	—(u- V)u- f К - - V . P <0>,
		dt	к	'	1	p		’		(5.35)
		? £ - = —		v.p(r),		r>o,				(5.35)
		? £ - = —		v.p(r),		r>o,
		dt	p
доT_
di
drT		—			+			r >	0.
	dt	—			+			r >	0.
	dt
Вводя тензор скоростей деформаций Л, последние два выраже
ния можно записать в виде
	dpТ
	dt
дгт								r > 0 .
	dt	“ ЗЙГІ* - < Г + Л : .Р Ч						r > 0 .
Подставляя ряды для jF,				д/dt, 3) ер и /				в уравнение Больцмана
(5.21), получим
è[ ( I f + 8I f +	:	) ( ^ СО>+ е^		ш+	• • •)+ (Ѵ			(0>+ е І . Г ш+		... ) ] =
где		= [ /t0) ( ^ со>) +			8 /(1) ( ^		<0\	^ (1)) + . . . ] ,		(5.36)
где
агг	(г)	д&іт) дщ		dS=^		дщ		д&(п	dtT
dt		dn	dt	'	du	dt	л	dT	dt '

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях е, придем к искомой бесконечной системе зацепляющихся интегральных

<<< < Предыдущая 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 2728 / 3928 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ