книги из ГПНТБ / Либов Р. Введение в теорию кинетических уравнений

Записанное таким образом подинтегральное выражение дает зна­ чение 3 в точке кривой Г через ряд Тейлора около линии х = а. Это разложение является хорошей аппроксимацией особенно для

значение подинтегрального выражения входит в аппроксима­ цию (4.250). Для больших у значения функции 3 при х = а и на кривой Г становятся различны, и, чтобы это учесть, необхо­ димо в разложении для 3 удержать большее число членов. Одна­ ко, поскольку 3 быстро уменьшается при удалении от оси х, то вклад в интеграл %в этой области мал, и достаточно ограничить­ ся несколькими первыми членами разложения (4.250), чтобы полу­

Разлагая подинтегральное выражение около | — Д | = 1 опи­ санным выше способом и удерживая члены до О І(А1)2] включи­ тельно, получим&

& (I, t) = j dAl [ > (1, t) П (І, Al) - At дЩ 1~ ^ П (I, Al) -

248 Гл. IV. Уравнения Больцмана, Крука — Бхатпагара — Гросса и др.

Интегрируя полученное выражение по всем Д§ и вспоминая условие нормировки (4.241), придем к соотношению

+& I А^ П ^ ’ AQdAl . (4.253)

При выводе уравнения (4.253) из (4.252) было учтено, что функ­ ция вр, которая фигурирует в рядах Тейлора в (4.252), не зависит от Д |, так что ее можно вынести за знак интегралов по Д |.

Введем определения:

Величина дрр / <5£столкн представляет скорость изменения & вследствие столкновений, при условии что доминирующий вклад в такое изменение дают «скользящие» столкновения. Опять пола­ гая D ^ / D t равной этому изменению вследствие столкновений, получим

Это есть уравнение Фоккера —Планка. Необходимо отметить, что предположения, перечисленные в том разделе, где было выведено уравнение Больцмана, опять имеют силу, а также учитывается сделанное выше предположение о «скользящих» столкновениях. При вычислении djfldt | СТо л к н предположения Больцмана опи­ раются на ограничения о пространственной однородности, нало­ женные на jF.

Последний вывод уравнения Фоккера — Планка имеет преи­ мущество по сравнению с предыдущим (когда рассматривался

кулоновский газ). А именно, коэффициенты (Д |/Д t) и <Д|Д%!At), возникшие в процессе получения уравнения, имеют ясный физи­ ческий смысл.

250 Гл. IV . Уравнения Больцмана, Крука — Бхатнагара — Гросса и др.

где ß2 определяется соотношением (4.225). Отклонение скорости

Если за полярную ось выбрать вектор У, то декартовы коорди­ наты единичного вектора а будут иметь вид

Одна только У-компонента (т. е. cos ф)| уцелеет при интегриро­ вании по ф. В результате получим

Чтобы обойти особенность при интегрировании по cos о):, нижний предел принимаем равным е. (Отметим еще раз, что особенность

установить, удовлетворяет ли полученная формула для b соотно­

шению Ѵ-Ь = а, и показать, что она сводится к (4.231).

Ответ,

< г ! г ) = J j (а - V y w V o d Q r i d ^ .

Используя (4.263) для кулоновского взаимодействия, моншо это выражение представить в виде

Полагая

а = (cos ф, sin ф cos ф, sin ф sin ф)

‘(вектор V опять направлен вдоль полярной оси) и интегрируя по ф и ср, увидим, что все недиагональные элементы обращаются в нуль. Два диагональных элемента вдоль осей, нормальных к V, расходятся, а компонента в направлении V остается конечной. Соответствующие интегралы имеют вид

/„ = j j dtpd cos ф cos

так что

1

I T = I f = n j -^-(1 — x2) = n [ln e -1 — y + y ] ~ л1пе_1>

/,, = я.

То есть две компоненты (Д£Д|/Дt), которые не обратились в нуль, равны между собой и являются диагональными компонентами, нормальными к У. Теперь система координат, в которой проводи­ лись эти вычисления, содержит одну ось в направлении У. В дан­ ной системе координат тензор (V26г;- — У;У/)/У3 имеет только две ■ненулевых компоненты. Они равны (с точностью до У-1) и лежат вдоль двух направлений, нормальных к V. Поскольку тензор является объектом, не зависящим от системы координат, то ниже­ следующая запись (F2öи — ViVj)/V3, приводящая к правильным значениям в частных осях, справедлива в любой системе коорди­ нат. Приходим к соотношению

что совпадает с ранее полученным нами результатом (4.231).

г) Ж-теорема

После того как мы двумя способами вывели уравнение Фок­ кера — Планка, остается показать, следует или нет из уравнения Фоккера — Планка ©(^-теорема и является ли она совместимым с уравнениями сохранения.

Напомним х), что (^-функция Больцмана задается равенством

Ж =! j ж In Ж d3%d3x.

х) Предлагаемое ниже доказательство впервые было проведено Либовицем (1961) для случая кулоновского газа; см. также работу Либова и Фиде­ ля (1967). Хочется отметить весьма полезные дискуссии по этим вопросам с А. Оппенгеймом.

Это уравнение служит также для определения А и В. Чтобы завершить доказательство, предположим, что коэффициент диф­ фузии имеет следующий характерный вид:

Функция Л зависит от частного вида (дальнодействующей) силы взаимодействия и положительна для всех V. Подставляя (4.271) в (4.270), получим для первого члена:

В = d ? ld \A & (l)^(r\) IV2 (Vgln # -)2 - ( V - Vg ln ^ ) 2], (4.272)

доказать, что для любых двух векторов Р и F справедливо сле­ дующее равенство:

P2F2 — (Р - F)2 = (Р X F)2.

Учитывая результаты последней задачи, соотношение (4.275) можно записать в следующем виде:

В = у j d3l d3rp\.jFjF {[V X (Y — ^)]2 +

+ 2[F2y^ - ( V . y)(V-^)I}. (4.276)

Рассмотрим теперь последний член в этом выражении:

то д/д^3 = —d/dr\s. Внося это соотношение в (4.278), будем иметь

получим А = С. Следовательно, в выражении для В уцелеет

где U — другой постоянный скаляр. Используя последнее урав­

нение, можно сделать следующий вывод.

Из кинетического уравнения Фоккера — Планка следует, что $£ — монотонно убывающая функция. Она перестает уменьшать­ ся, когда вр становится распределением Максвелла. Все это верно при условии, что коэффициент диффузии имеет вид (4.271).

254 Гл. IV. Уравнения Больцмана, Крука — Бхатнагара— Гросса и др.

В последние годы уравнение Фоккера — Планка нашло широ­ кое применение в плазме — двухкомпонентном кулоновском газе из электронов и ионов. В этом случае имеются два кинетических уравнения: одно для + и другое для Вид этих уравнений следующий:

Аналогичное уравнение можно записать для

Задача 4.50. Исследовать однокомпонентное уравнение Фок­ кера — Планка, чтобы показать, совместимо ли оно с тремя урав­ нениями сохранения. С этой целью вычислить сначала три момен­ та (1, I, £2) для столкновительного члена Фоккера — Планка.

Сейчас уместно сделать одно замечание относительно кинети­ ческих уравнений и столкновений при дальнодействии. В гл. Ill мы пришли к заключению, что уравнение Власова пригодно для газа, частицы которого испытывают дальнодействующие столкно­ вения, которые, в свою очередь, были определены через радиус взаимодействия. Соответствующим параметром для кулоновского газа является плазменный параметр nd3, где d — радиус Дебая. Для nd3 1 (в дебаевской сфере много частиц) мы получили уравнение Власова. В настоящей главе (исходя из импульса, сооб­ щаемого при столкновении пробной частице) была введена концеп­ ция дальнодействующих столкновений и получено уравнение

со стороны всей совокупности частиц газа. Эта частица «не ощущает» действия отдельных частиц. С другой стороны, столкновительный член Фоккера — Планка, хотя он также соответствует случаю дальнодействия, содержит двухчастичные столкновения. При таком взаимодействии частицы «видят» одна другую. Чтобы отли­ чить столкновения Фоккера — Планка от власовских столкнове­ ний в плазме, мы введем понятие «дальних» и «самых дальних» столкновений.

Для самых дальних столкновений прицельный параметр больше­ дебаевского радиуса и они хорошо описываются моделью Власова. Дальние столкновения — это столкновения между данной части­ цей и другими, находящимися в периферийной зоне дебаевской

256 Гл. IV . Уравнения Больцмана, Крука — Бхатнагара— Гросса и др.

имеет следующий вид:

где 5 —дельта-функция Дирака.

Функция Ф (к) является фурье-образом потенциала взаимо­ действия Ф (X), который для кулоновского газа имеет вид Ф = = е2/х (Ф ~ к~2) (в системе СГС). Плотность числа частиц рав­

Задача 4.52. Показать, что уравнения (4.286) и (4.287) совпа­ дают с уравнением (4.285).

Хотя уравнения Ландау и Балеску — Ленарда похожи по форме, необходимо ввести ряд аппроксимаций и предположений,

прежде чем О приведется к виду [8^ — ViVj/V2].

Задача 4.53. Показать, что для кулоновского газа уравнение Балеску — Ленарда с D = 1 дает уравнение Ландау.

При вычислении коэффициентов в столкновительном члене Фоккера — Планка необходимо было «обрезать» интеграл при интегрировании по углу рассеяния, чтобы получить конечный результат. В этом смысле уравнение Балеску — Ленарда не тре­

в (4.285). Другим характерным свойством данного уравнения является то, что в нем учитывается эффект экранирования между 'частицами. Это свойство уравнения Балеску — Ленарда заилю-