книги из ГПНТБ / Либов Р. Введение в теорию кинетических уравнений
.pdf4.6. Уравнение Фоккера — Планка |
237 |
КБГ-уравнение, в которое входит внешний параметр ѵ, явля ется феноменологическим уравнением, поскольку оно не следует логическим путем из некоторых исходных принципов, а, вернее говоря, оправдано своей явно пригодной формой. Наличие такого внешнего параметра, как ѵ, — очевидная слабость КБГ-уравне- ния. Получающиеся из него результаты зависят от ѵ, и мы долж ны искать другие средства (отличные от КБГ-уравнения), чтобы найти выражение для ѵ. С этим феноменологическим свойством КБГ-уравнения тесно связана и узкая область его применимости. Приведенное выше обоснование типа наведения дает возможность предположить, что КБГ-уравнение лучше всего подходит для описания газообразных состояний, близких к равновесному, т. е. находящихся в интервале, отделенном от максвелловского состояния только несколькими временами столкновений. Это очень
узкая |
область. |
В |
чем заключается кажущаяся простота КБГ-уравнения? |
В том, |
что оно похоже на линейное неоднородное уравнение. Это |
«сходство» можно увидеть, если записать КБГ-уравнение в сле дующей форме:
( - ^ + ѵ) jF = v .f 0, |
(4.216) |
которая наводит на мысль, что если £и h являются его решения ми, то существует и решение (g + h)/2. Однако ошибочно рас сматривать правую часть данного уравнения как неоднородный член, не зависящий от ер. Это, скорее, (сильно) нелинейный оператор от . Чтобы показать это, напомним, что ,)F0 содержит фактические значения в, и и Г для газа, которые в каждый момент времени и в каждой точке определяются функцией ер. Таким обра зом ^ определяет п, и и Г, которые в свою очередь определяют J^0. Чтобы обнаружить, что КБГ-уравнение сильно нелинейно, надо просто записать как явную функцию от . Тогда мы увидим, что КБГ-уравнение намного более громоздкое, чем уравнение
Больцмана. |
на JF0. Бу |
Задача 4.40. Записать КБГ-уравнение, заменяя |
|
дут ли в этом случае следовать из него уравнения |
сохранения? |
Задача 4.41. Следуют ли уравнения сохранения из уравнения Власова (см. разд. 3.4)?
4.6. Уравнение Фоккера — Планка 1)
а) Столкновения при дальнодействии
В главе III мы встречались с понятием радиуса взаимодей ствия г0. Что характеризует процесс столкновения между двумя частицами, потенциал взаимодействия которых является далъно-*)
*) Фоккер (1914), Планк (1917),
238 Гл. IV . Уравнения Больцмана, Крука — Бхатнагара — Гросса и др.
действующим? При дальнодействии, как бы велик ни был прицель ный параметр, частицы все же обмениваются конечными импуль сами. Концепция дальнодействия первоначально была введена
Р и с . 4.28. |
Вычисление Др х для дальних столкновений. |
||
в кинетическую теорию газов при вычислении некоторых интегра |
|||
лов. Эти интегралы |
связаны с |
различными макроскопическими |
|
свойствами системы, |
как, например, вязкость, теплопроводность. |
||
Такие параметры |
называются |
коэффициентами переноса. Они |
|
будут подробно исследованы в гл. V.
Чтобы выяснить смысл столкновений при дальнодействии, обратимся к вычислению полного импульса, сообщенного в задан
ном направлении пробной частице в результате |
столкновений |
за единицу времени с остальнымр частицами газа. |
Разобьем все |
4.6. Уравнение Фоккера — Планка |
239 |
такие столкновения на два вида в зависимости от того, является ли прицельный параметр s меньше либо больше некоторой харак терной величины s0Столкновения, прицельный параметр которых больше s0, называются дальними столкновениями. Для достаточно больших s можно ввести некоторые упрощающие предположения, которые значительно облегчат вычисления. Например, чтобы получить грубую оценку приращения импульса при дальних столкновениях, считаем, что скорость рассеиваемой частицы постоянна.
Пусть брх — импульс, сообщенный пробной частице в случае единичного (дальнего) столкновения, вычисленный в системе координат ЦМ, как изображено на рис. 4.28.
Пусть движение газа двумерное (в плоскости рис. 4.28). Кроме того, нас интересует только тот вклад в брх. который обусловлен частицами, движущимися в направлении J\-y со скоростью ѵ. Пусть плотность п (число частиц на единицу площади) таких частиц однородна. Двумерный газ простирается до х = —оо. Полное приращение импульса Арх, сообщенное пробной частице со стороны всех частиц, движущихся в направлении +г/ (за еди ницу времени), дается интегралом
ОО
(4.217)
где At = 1. Если сила взаимодействия G такова, что прираще ние Арх бесконечно, то G — далънодействующая сила. Если интег рал конечен, то сила G — короткодействующая. В такой схеме легко классифицировать все силы взаимодействия, определяе мые законом степенной зависимости от обратных расстояний между частицами
G = xr~N, N = 1,2, . . . |
(4.218) |
Кулоновская (или гравитационная) сила получается, если поло жить N = 2. Приращение импульса за столкновение, 8рх, связа но с силой Gx соотношением
|
(4.219) |
—оо |
|
Обращаясь к рис. 4.28, получим» |
|
Gx = X sin Qr~N, |
|
s |
(4.220) |
r ~ sin Ѳ ’ |
|
dt = — cosO.
240 Гл. IV. Уравнения Больцмана, |
Крука — Бхатнагара — Гросса |
и др. |
|||||
Подставляя эти значения в (4.219), получим |
|
|
|
||||
ФРх)я= — |
f аіп ^Ѳ гіѲ ^ |
-y_i / у |
|
|
(4.221) |
||
V S |
J |
|
|
V S |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
Задача 4.42. Доказать, что |
|
|
|
|
|
||
Г _-1/2 |
Г (N12) |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||
|
|
Г[(ЛГ+ 1)/2]’ |
|
|
|
|
|
где Г (X) — гамма-функция |
(см. Приложение 2). |
|
|
|
|||
Для N = 1 интеграл Д = |
л. Для кулоновского случая |
/ 2 = 2. |
|||||
Для N = 3 интеграл / 3= я/2. (Отметим, что всюду здесь мы вычис |
|||||||
ляли абсолютные значения |
интегралов.) |
Для N ^ |
1 |
импульс |
|||
J N —конечен. Подставляя выражение (4.221) в (4.217), |
получим |
||||||
|
|
оо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.222) |
Для N >- 2 Ар* —конечно. |
Для |
2 |
интеграл |
расходится. |
|||
Для кулоновского случая |
|
|
|
|
|
|
|
(Арж)лг = Н т 2хп ln (-А-) |
|
|
(4.223) |
||||
расходимость логарифмическая.
Итак, мы пришли к выводу, что две силы взаимодействия при N = 1 и ІѴ = 2 являются дальнодействующими.
Задача 4.43. Вычислить (Аp)N для трехмерного случая.
Расходимость обусловленной дальними столкновениями ком поненты (Арх) означает, что в кулоновском газе на движение частицы оказывают значительно большее влияние дальние кол лективные взаимодействия по сравнению со столкновениями в ближней зоне. При выводе уравнения Больцмана методом Трэда (см. разд. 4.36)) для N = 2 мы должны были бы сохранить интеграл столкновений дальней зоны, а столкновительный член ближней зоны опустить. Интеграл столкновений ближней зоны дает урав нение Больцмана.
При другом подходе к выводу кинетического уравнения для кулоновского газа исходят из того факта, что в этом случае доми нирующую роль играют дальние столкновения. Но для боль шинства дальних столкновений углы столкновения малы. Этот факт положен в основу двух наиболее известных выводов уравне ния Фоккера —Планка.
б) Вывод из уравнения Больцмана
Уравнение Больцмана, которое получено в разд. 4.3а), учи тывает столкновения при всех значениях прицельного параметра.
4.6. Уравнение Фоккера — Планка |
241 |
Хотя интеграл столкновения в уравнении Больцмана записан через угол рассеяния dQ = d<$ d cos Ѳ, это эквивалентно интегри рованию по прицельному параметру, что следует из соотношения s ds = ad cos Ѳ. Область, где справедливо уравнение Фоккера — Планка, можно определить либо большими величинами прицель ного параметра, либо малыми углами столкновения. Важно отметить, что это есть подобласть той области, где применимо уравнение Больцмана. Это лучше всего проиллюстрировать сле дующим образом. Мы покажем, что для частного случая кулонов ского газа уравнение Фоккера — Планка следует из разложения уравнения Больцмана в ряд Тейлора около нулевого угла столк новения.
Для кулоновского газа с силой взаимодействия
4ле0г3
уравнение Больцмана имеет вид
d |
+ |
д |
t дх' |
R2= |
) \ |
^ |
\ 2я8дт. / |
Напомним, что V — это относительная скорость связаны с (|(, I') соотношениями:
(4.224)
dф sin і|> йг|) d3h
(У cos \|>)3 |
’ |
(4.225)
— | 2>а (1ь 1)
1' = 1 + «(«-У ),
(4.226)
II = 1і — « («*ѵ).
Если полярную ось направить по У, то г|э — это угол между a и V, а ф — азимутальный угол (см. рис. 4.23). Если преобладают
столкновения с малыми углами |
рассеяния, то |
— | |
и |
малы. Это позволяет разложить |
разность (jF [je' — |
в ряд |
|
Тейлора около §' = | и |[ = £і. Соответствующие разложения имеют вид:
GF' = [exp (V-a) (a-V)] Je == ер -fF |
cosij) (a-V) Je |
+ |
-j~Y F2cos2i|) (a |
-V)2^ r + . . . . |
(4.227) |
jF t’ — [exp — (V-a) (a-V t)] J^J = J?i —V cos i[: (cc-Vi) Jëi +
+ у F2cos2iJ) (cc-Vj)2 Je j-f .. . .
(Вспомните (2.27) — экспоненциальное представление рядов Тей лора.) Оператор V — это оператор градиента в пространстве скоростей. Выполняя в уравнении (4.225) сначала интегрирова-
1 6 - 0 1 2 4 3
242 Гл. IV. Уравнения Больцмана, Крука — Бхатнагара — Гросса и др.
ние по ер и затем подставляя туда соотношения (4.227), получим
j (ßrl #r, — ß ri&)d<p = |
|
|
= я cos2 -ф 1 2V• (V — Vd) <p epx-f--j |
Ф ЦѴ2 — W ) + |
|
+ |
2cos2i|)VV] : [ V ^ — 2VTi + W ] |
+ . . . . (4.228) |
Задача 4.44. а) Вычислить интеграл |
|
|
|
J aßak dtp. |
|
б) Показать, что уравнение (4.228) следует из уравнений |
||
(4.225) - |
(4.227). |
|
Расходимость последующих интегралов по ф демонстрирует дальнодействующую природу кулоновской силы. Угол (я — 2ф)-— это угол отклонения вектора V (V = — |), тогда как ф есть угол между а и У (рис. 4.7). Отметим, что яр изменяется от нуля до я/2. Следовательно, малые углы столкновения соответствуют
ф « у , где оба интеграла по ф расходятся. Чтобы интеграл по ф
был |
конечным, его |
«обрезают», т. е. проводят интегрирование |
|||
не от нуля до я/2, |
а от нуля до я/2 |
— е. Тогда получаются два |
|||
сходящихся интеграла: |
|
|
|
||
|
я/2—е |
|
|
|
|
|
j |
c o |
s ^ |
T i f f = |
- ln 1Sinei, |
я/2—e |
О |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
cos2 ф sin2 ф |
^ |
= |
— ln I sin e I — у а/ — ln | sin e |. (4.229) |
|
о |
|
|
|
|
|
Пренебрежение 1/2 по сравнению с логарифмом, согласуется с от брасыванием в рядах Тейлора членов с большим углом рассеяния. Подставляя интегралы (4.229) в уравнение (4.225), выполняя интегрирование по ф и вычисляя интеграл по частям, получаем нормальную форму уравнения Фоккера — Планка:
|
|
К |
д . |
, 1 |
с?2 |
dt |
* д \ |
т ’ |
|
|
(4.230) |
|
|
|
|||
где |
|
|
|
|
|
|
|
- = nß2 In е |
1 j" |
|
(4.231) |
|
|
ах = 2яр2 ln &"1 j |
|
||
|
|
ер^d % . |
|||
4.6. Уравнение Фоккера — Планка |
243 |
Задача 4.45. Показать, что V.fe = а, где V = д!д\.
Из уравнения Фоккера — Планка в форме (4.230) можно
получить интерпретацию коэффициентов а и Ъ. Коэффициент Ъ управляет изменением во времени функции ер следующим обра зом:
(4.232)
(Предполагается, что тензор b изотропен и не зависит от |.) Оператор V2 представляет диффузию в пространстве скоростей.
Как возникает это упрощенное линейное уравнение диффузии? Рассмотрим газ (с дальнодействующей силой взаимодействия), находящийся в равновесии (максвелловском состоянии) с тепловой
скоростью С ~ |
У R T и |
плотностью |
|
п0. Пусть в момент |
t — О |
|
в эту |
систему |
вводится |
небольшое |
число «холодных» |
частиц |
|
(,Р = |
п8 (I)). Эти холодные частицы |
взаимодействуют с максвел |
||||
ловским фоном посредством коэффициента Ь, который вычисляется для распределения Максвелла. Дальнейшее поведение холодных частиц описывается (приближенно) уравнением (4.232), согласно которому возникает диффузия скоростей этих частиц от нуля до нормального распределения
•F(0=» |
П |
(4.233) |
|
(2яЫ)312 |
|||
|
За время
(4.234)
холодные частицы «разогреваются» до равновесия с температу рой Т,
(2яM f/a exp ( “ w ) ‘
Спустя время т начинает «действовать» коэффициент силы тре ния а, который стабилизирует распределение Максвелла. Вычис ляя коэффициент Ъ для этого максвелловского распределения, получим
Ь = 2 ^ ф 1 пеЛ |
(4.235) |
где символом ф обозначен безразмерный интеграл. Исключая Ъ из выражений (4.235) и (4.234), получим
X = Сп2- 0 ІПе-1. |
(4.236) |
гс0яр^ |
|
16*
244 Гл. IV . Уравнения Больцмана, Крука — Бхатнагара — Гросса и др.
Это время релаксации часто выступает в вычислениях как время, которое необходимо для возвращения в равновесное состояние газа, выведенного из равновесия.
Другой коэффициент в уравнении Фоккера — Планка, а, называется коэффициентом трения. Влияние а на эволюцию во времени функции вр определяется следующими членами урав нения Фоккера — Планка:
|
4 і ^ |
+ |
= Q- |
(4.237) |
(Предполагается, |
что а не зависит от |.) Общее решение этого |
|||
уравнения имеет |
вид |
= |
. F ( S - a t). |
(4.238) |
|
•F |
|||
Вид этого решения говорит о том, что частицы «ощущают» силу та. В зависимости от знака коэффициента а эта «самосила» будет либо ускорять (а >> 0), либо замедлять (а <С 0) частицы. Однако в более общем случае вектор а зависит от | и его знаку нельзя придать такого явного смысла.
Предшествующий вывод уравнения Фоккера — Планка опи рается на особенности кулоновского взаимодействия, а именно на его дальнодействие. Теперь мы дадим другой вывод, который следует непосредственно из того факта, что в системе преоб ладают «скользящие» столкновения.
Задача 4.46. Предполагая, что частица движется только в од ном направлении, доказать, что для диссипации Рэлея
а = —aQZ (и Ъ = Ъ0)
уравнение Фоккера — Планка дает равновесное решение JF0. Как а0 и Ь0 выражаются через п0 и Г0? Получаются ли при этих значениях а и Ъ уравнения сохранения?
в) Вывод из уравнения Чепмена — Колмогорова
Предположим, что частицы газа испытывают случайные пере мещения в результате большого числа малых отклонений. Такой стохастический процесс хорошо описывается условным вероят ностным распределением
|
П (1 + А% I I; At), |
|
(4.239) |
|||
введенным в гл. II (уравнение (2.200) и следующие за ним). Для |
||||||
фиксированной |
скорости |
§ |
произведение |
|
|
|
Л (І + A l I |
1; |
At) |
+ A%) = |
Ш Д | |
(4.240) |
|
представляет вероятность того, что скорость частицы | |
перей |
|||||
дет в I + Д§ |
за время At. |
Функция П |
удовлетворяет уело- |
|||
4.6. Уравнение Фоккера — Планка |
245 |
вию нормировки: |
|
j П (| + Д | | 1; М) dAl = 1 |
(4.241) |
и уравнению Чепмена — Колмогорова (2.203): |
|
П (|, t 1|о, t0) = |
|
= j <2Д|П(|, t \ I - A | , t — At) П ( | —A |, t - A t I |o, t0). |
(4.242) |
Напомним обозначение: П (x | у, t — г0) == П (х, t | у, t0). Чтобы записать уравнение (4.242) через вспомним, что П —это одно частичная функция распределения / (|, і), которая содержит начальные данные (см. (2.200)). Отсюда следует, что если мы умно жим уравнение (4.242) на N (N —полное число частиц), то в ре зультате будем иметь
& (1. 0 = |
f JF (1 — А |, і — ДОП (I I | - А | ; At)dA\. |
(4.243) |
|
щ) |
|
При получении последнего уравнения мы считали, |
что П |
|
не зависит |
явно от времени. Это предположение требует, |
чтобы |
эволюция системы происходила таким образом, что изменение состояния системы в момент t зависело бы только от ее состояния в интервале времени At около t, но совершенно не зависело от более ранней предыстории системы. Стохастический процесс,
который обладает этим свойством (т. |
е. процесс, происходящий |
|
в момент t |
и зависящий явно только от состояния системы в этот |
|
же момент |
t), называется марковским |
процессом. |
Задача 4.47. Какому уравнению будет удовлетворять ер, если процесс ее развития не является марковским?
Абсолютно ясно, что в той области, где применимо уравнение Фоккера —Планка (т. е. где доминируют столкновения при дальнодействии), П обладает особым свойством. В обозначении
п (I + А! I I-, At) == П (I, А|) |
(4.244) |
это свойство запишется следующим образом: П (|, А|) имеет пик около А | = 0 (и гладко изменяется по |). В таком обозначении интеграл в уравнении Чепмена — Колмогорова (4.243) имеет следующий вид:
Интеграл (4.243) = f рр ( | —А |, t — At) П ( | — А |, А|) dA|» (4.245)
Подинтегральное выражение является функцией трех переменных I — Д |, t — At, А |. Причем по первым двум оно изменяется глад ко, но имеет пик по А | вблизи А | = 0. Отсюда следует, что наи больший вклад в интеграл дает именно эта область около А | = 0.
246 Гл. IV . Уравнения Больцмана, Крука — Бхатнагара — Гросса и др.
Поскольку подинтегральное выражение изменяется гладко по пе ременной I — Д |, оно хорошо аппроксимируется разложением в ряд Тейлора около любого значения | — А |. Характерным зна чением этой переменной является % —то значение, при котором подинтегральное выражение имеет максимум. Выполняя это раз ложение, мы не нарушаем характера зависимости функции П (£ —
— А |, А|) от переменной Д |. Эта зависимость такова, что подин тегральное выражение быстро убывает при удалении от А | = 0.
Р и с . |
4.29. |
Характерный |
вид функции |
Е(х, у). |
|
|
Отсюда следует, |
что |
разложение |
подинтегрального |
выражения |
||
в (4.245) по переменной | |
— А | в окрестности | |
дает аппроксима |
||||
цию уравнения |
Чепмена |
— Колмогорова, пригодную |
для газа, |
|||
в котором преобладают столкновения дальнодействия. Чтобы пояснить эту ситуацию, рассмотрим криволинейный интеграл
|
j S (х, г/)йГ. |
(4.246) |
|
, |
г |
|
|
Кривая Г задается параметрическими уравнениями: |
|
||
|
X = а |
— Z, |
|
|
У = |
I. |
(4.247) |
Она показана на рис. 4.29. Тогда интеграл %записывается явно:
|
-{-со |
|
|
|
j |
S ( а — Z, l ) d l . |
(4.248) |
|
—оо |
|
|
Пусть |
теперь функция В (х , |
у) имеет пик около оси х, |
т. е. при |
у = 0, |
и довольно однородна по ж при любом фиксированном у, |
||