книги из ГПНТБ / Либов Р. Введение в теорию кинетических уравнений

228 Гл. JV. Уравнения Больцмана, Крука — Бхатнагара — Гросса и др.

мости заметим, что оставшиеся множители в интеграле все поло­ жительны либо равны нулю, так что для всех значений таких, что V =5^=0 и odQ =7^=0, L должна равняться нулю, чтобы опера­

тор J обратился в нуль. Но VodQ = 0 тогда и только тогда, когда нет столкновений. Следовательно, для всего спектра (Ij, §), который включает конечные столкновения, условие f j ' = f j

является необходимым для обращения в нуль оператора J . Обратимся к формулировке оЖ’-теоремы. Если неравенство

(4.181) подставить в (4.175) и использовать определение Ж соглас­ но (4.167), то мы получим

^ - + j V . l f} nf d 3ld 3x+ f Vv f l n f ~ d sl d 3x<,0. (4.182)

Используя теорему Гаусса, объемный интеграл можно преобразо­ вать в поверхностный. Если 2* — поверхность в конфигурацион­ ной части фазового пространства, а 2 g —поверхность в простран­ стве скоростей, то уравнение (4.182) примет вид

поскольку не существует частиц с бесконечными скоростями. Опуская поверхностные члены, окончательно будем иметь

Для произвольной начальной функции / функция Ж монотонно

новесии, то f'J' = f j . (Это условие часто называют условием

детального, или статистического баланса.) Эта теорема была впервые установлена Максвеллом (1867), а затем Больцманом в связи с его ©^-теоремой (1872). Справедливость ее можно пока­

Первая цепочка равенств следует из определения Ж , согласно которому

Если К = 0, и / — функция только |, то прямо из уравнения Больцмана (4.72) следует, что равенство f j ' — f j является также достаточным условием равновесия.

Задача 4.30. Показать, что уравнение для j / l n / d l , которое следует из БИ!, обратимое.

Задача 4.31. Рассмотреть случай, когда К = 0. Показать, что произвольная функция / = / (|) не может быть равновесным решением.

Указание. Используйте уравнение Больцмана для получения противоречия. Отметим тот факт, что если даже dfldt = 0, то данная функция / не обязана быть (совместимым с налагаемыми условиями) равновесным распределением.

Подведем итог.

1. Условие /(/' = Л/ является необходимым для равновесия. Если внешнее силовое поле отсутствует и / зависит только от |, то это условие также является и достаточным условием равнове­ сия.

2.Равенство f j ' - - f j является необходимым и достаточным условием стационарности Ш.

3.Для того чтобы / была постоянна во времени, необходимо,

чтобы $Е обладала этим же свойством.

г) Распределение Максвелла

Физический смысл функционального уравнения f'J' = Д/ впол­ не очевиден. Теперь возникает вопрос относительно метода реше­ ния такого уравнения. Решив его, мы получим функцию распре­ деления, которая является как необходимой, так и достаточной для равновесия, при условии что внешние силы отсутствуют и / за­ висит только от |. Обозначив решение этого уравнения индексом нуль, находим

является инвариантом столкновения, т. е. оно сохраняется при столкновении. Обратно, если свойство 'S сохраняется при столк­

23G Гл. IV . Уравнения Больцмана, Крука — Бхатнагара — Гросса и др.

новении, то оно удовлетворяет уравнению (4.191). Отсюда следует, что самое общее решение уравнения (4.190) является линейной комбинацией всех величин, которые сохраняются при столкнове­ нии. Это — три компоненты скорости, энергия и числовая постоян­ ная; таким образом

или, что эквивалентно,

Постоянные А, В и | 0 определяются через плотность числа час­ тиц п, макроскопическую скорость и и температуру Г, которые выражаются с помощью функции распределения. Чтобы отметить, что эти макроскопические переменные вычисляются для равно­ весного состояния, им также приписывается индекс нуль. Возвра­ щаясь к функции S ' о= Л7о> напомним, что

Отметим, что R не является «газовой постоянной», последняя равна М = кА 0, где А 0 —число Авогадро.

Соотношения (4.193) служат для определения постоянных §0» А я В. В результате получим

Рассмотрим, например, как определяется | 0. В декартовом

пространстве, где вектор | 0 направлен вдоль оси z ( |0 = к£0), будем иметь

+°°

щщ = В j j j ( i£x + ку + k y exp { ~ A [U -f II + (tz — io)2]} x

— oo

X d l x dlydlz = k B j J j lzexp{ — A ((£2 — E0)2 +

+ m + ll]}dlx dly dlz. (4.195)

Остальные интегралы обращаются в нуль ввиду нечетности подин­ тегральных функций. Переходя от переменной \ z к т] = \ г — £0,

232 Гл. IV. Уравнения Больцмана, Крука — Бхатнагара — Гросса и др.

состояние газа определяется одночастичной функцией распределе­ ния, которая в свою очередь подчиняется уравнению Больцмана. Эволюция системы характеризуется функцией Sß, которая моно­ тонно убывает. Когда Sß приближается к своему минимальному значению, устанавливается локальное распределение Максвелла. Здесь / определяется через п, и и Т, и система находится в гид­ родинамической стадии. Затем система релаксирует к абсолютно­ му равновесию, когда динамические функции не зависят от про­ странственных координат и времени. Механика этого последнего этапа релаксации описывается гидродинамическими уравнениями.

Задача 4.32. Как изменяется Sß при переходе / от локального к абсолютному максвелловскому распределению?

То, что с помощью уравнения Больцмана нельзя описать релаксацию к абсолютному равновесию, объясняется приближе­

изменяются именно эти два параметра, и только они.

д) Неоднородный газ во внешнем силовом поле

Рассмотрим опять уравнение Больцмана (4.174), когда К фО-

равновесным, распределение jFo не может явно зависеть от вре­ мени.

Далее, JF будет удовлетворять уравнению (4.201), если jF f'jF ' = = jFijF . Поскольку последнее уравнение налагает ограничение только на скорости, его решение самого общего вида задается не соотношением (4.192а), а выражением, содержащим дополни­ тельное слагаемое:

234 Гл. IV. Уравнения Больцмана, Крука — Бхатнагара — Гросса и др.

Во втором члене мы вынесли функцию S' за знак интеграла, поскольку она не зависит от | 4. Напомним теперь, что штрихами обозначены переменные, соответствующие состоянию после столк­ новения. Скорости (I, §і) до столкновения переходят в скорости (!', после столкновения. Предположим, что система прибли­ жается к равновесию, т. е. к максвелловскому состоянию. Восполь­ зовавшись результатами о>£-теоремы, придем к заключению, что будет существовать такое время, когда функция S ' станет локаль­ ным максвелловским распределением. В интервале времени, представляющем близкую окрестность этого критического значе­ ния, система характеризуется тем свойством, что распределение более близко к максвелловскому после столкновения, чем до столкновения. Следовательно, можно считать, что в некоторый момент времени, близкий к равновесному, S ' = S 0' ■ Вводя это предположение в (4.206), получим:

Вспомним теперь, что JF° обладает некоторыми общими свой­ ствами с распределением S'- их первые пять моментов (по скоро­ стям) совпадают (см. (4.198)). Если мы предположим, что осталь­ ная часть подинтегрального выражения в (4.208) разложена по сте­ пеням |і, то эти интегралы станут не чем иным, как суммой момен­ тов функций S \ и S Первые пять из этих членов будут равны согласно определению S ü- Оставшиеся члены уменьшаются с при­ ближением к равновесию.

Задача 4.34. Вычислить Q и Р, если S — S ü■

Если все это учесть, то мы получим окончательную форму J для КБГ-уравнения:

Функция V называется частотой столкновений. Произведение V (I) d3! представляет собой число столкновений, испытываемых в единицу времени частицами, имеющими скорости в интервале d3l около I, причем состояние частиц описывается функцией распре­ деления Максвелла. Хотя соотношение (4.210) дает точную меру частоты столкновений при равновесии, более общее выражение

236 Гл. IV . Уравнения Больцмана, Крука •— Бхатнагара — Гросса и др.

Предполагается, что частота столкновений не является явной функцией времени. С другой стороны, локальное распределение Максвелла зависит от времени через гидродинамические перемен­

Если Jp° изменяется медленно по сравнению с e~vt, т. е.

после нескольких столкновений.

Из КБГ-уравнения вытекает надлежащая релаксация к макс­ велловскому состоянию. Может показаться, что КБГ-уравнение приводит к тем же выводам,что и уравнение Больцмана, и в то же время обходит очень трудный анализ, навязываемый больцмановским интегралом столкновений. В действительности кажущаяся простота структуры КБГ-уравнения обманчива.

Рассмотрим прежде всего параметр ѵ. Любые следствия, кото­ рые получаются из анализа КБГ-уравнения, существенно зависят от параметра ѵ. В приведенном выше «выводе» предполагалось, что частота столкновений ѵ есть взвешенный интеграл определенного вида от локального максвелловского распределения JP0. Однако этот «вывод» является не более чем обоснованием «типа наведения». Мы могли бы просто постулировать это кинетическое уравнение и показать, что из него следуют законы сохранения (при постоян­ ной ѵ).

Задача 4.36. Как должны изменяться во времени nt и и T t чтобы не нарушалось условие (4.214)?

Задача 4.37. Является ли условие постоянства ѵ необходимым, для того чтобы КБГ-уравнение давало законы сохранения?

Задача 4.38. Вычислить ѵ, заданную выражением (4.210), для газа, состоящего из жестких сфер диаметра D. Получаются ли уравнения сохранения из КБГ-уравнения с такой частотой ѵ?

Задача 4.39. Для какого значения N в потенциале взаимодей­ ствия Т = KlrN частота ѵ является постоянной?