Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

книги из ГПНТБ / Либов Р. Введение в теорию кинетических уравнений

.pdf
Скачиваний:
36
Добавлен:
25.10.2023
Размер:
13.16 Mб
Скачать

4.4. Свойства болъцмановского оператора столкновений

217

Если переменные интегрирования | и |і поменять местами, то мы

найдем, что

 

І(ф) = І(фі).

(4.112)

Рассмотрим теперь интеграл

 

Н ф ' ) = J j j а dQd%d?U{V)V ( P I P 1

(4.113)

Вводя (!!,!') в качестве переменных интегрирования (они связаны с (!і, І) уравнениями динамики столкновений), получим1)

1 { ф ' ) = \ ^ \ о й й й % с 1 * 1 ' ф ( 1 ' ) У { ^ ' - & ^ ) .

(4.114)

Поскольку

в dQ,

и V — инварианты столкновений,

последнее

выражение можно переписать так:

 

Ңф ')= -

j j

dQ' d% d3l ^ { l ') V

- І ( ф ) .

 

 

 

(4.115)

Наконец, если в (4.114) поменять местами переменные интегри­

рования

(!(, I'), мы получим

 

 

І ( ф ’) = І(ф[).

(4.116)

Объединяя эти результаты, будем иметь

 

ИЛИ

4 / (Ф) = І(ф) + / (фд - і (ф') - 1 (ф[),

(4.117)

 

 

 

П ф ) = \ Ц ф + Фі— ф ' — Фд-

 

Задача 4.22. Показать, что

 

а)

/ (ф) = ± j (ф' + ф[ - ф- фО V & t f o dQ d ^ d%

 

б)

І ( ф)= j ( ф ' - ф ) V ^ 1^ o d Q d 3l i d%

 

Задача 4.23. При получении уравнений (4.112) и (4.116) под­ разумевалось, что о dQ является инвариантной величиной. Какие конкретные свойства инвариантности здесь участвуют?

Функция т[з (£,) является сумматорным инвариантом (или инвариантом столкновений) тогда и только тогда, когда

Фі + Ф = Фі + ФѴ

(4.118)

т. е. когда тр представляет собой свойство молекулы, сохраняю­ щееся при столкновении. Объединяя последнее определение

:) Произведение d3|d3|i является инвариантом Пуанкаре.

218 Гл. IV. Уравнения Больцмана,

Крука Бхатнагара Гросса

и др.

с уравнением (4.117), получим, что

 

Ш

= 0,

(4.119)

если я); — инвариант столкновения. Существуют три фундамен­ тальных сумматорных инварианта: 1, |, | а. Эти функции свя­ заны с тремя законами сохранения (вещества, импульса и энер­ гии):

 

 

/ ( 1) = / ( 1) = /(|2) = о.

(4.120)

Задача 4.24.

Доказать,

что оператор I линейный,

т. е. что

 

 

I ( Y + X ) = I ( Y ) + I(X).

 

Задача. 4.25. а) Определить достаточное условие существова­

ния равенства

 

 

 

Ъ d

d'b'

 

j

j Y {x, y)Z (y)dxdy =

j j Y (y, x) Z (x) dydx.

 

а

c

c'

а'

 

б)

Каков будет вид интеграла

 

 

 

7= jь Z[x(y)] W (y)dy,

 

а

если произвести преобразование переменных

Уу' = X (у).

Вследующем разделе мы покажем, как от этих сумматорных инвариантов можно легко прийти к уравнениям сохранения. Другие свойства оператора столкновений будут обсуждены в гл. Y.

6)Уравнения сохранения

При рассмотрении уравнений сохранения используются два различных способа представления гидродинамических переменных. Во-первых, их можно вычислять в фиксированной системе коор­ динат, где скорость равна |. Такая формулировка приводит к так называемой нормальной консервативной форме уравнений сохра­

нения. Переменные р, u, е, р, q — это абсолютные макроскопиче­ ские переменные. Их определения через функцию gr и уравнения, которым они удовлетврряют, представлены следующими равенст­ вами:

~0рп + Ѵ-ии = 0,

(4.121а)

п = j & d3l;

(4.1216)

4.é. Свойства

больцминовского оператора, столкновений

219

 

 

Pu + V • p = pK,

(4.122a)

 

 

pu = m [ &\d?\-,

(4.1226)

 

 

-щпе + Ѵ. q = pK.u ,

(4.123a)

 

 

ne — T 171 j ^

d3^;

(4.1236)

 

 

p = m j

d%

(4.124)

 

 

m j

 

 

(4.125)

 

 

 

m

 

(4.126)

 

 

 

 

 

Чтобы получить

 

три уравнения сохранения (4.121—4.123),

мы просто подействовали на уравнение Больцмана

 

 

 

D&

Н & )

 

(4.127)

 

 

Dt

 

тремя операторами

j

j

j 1

4 % Используя

(4.120),

мы получим

 

 

 

 

 

,

ЛѴ

' (1}

Ы .

(4.128)

J d3g

 

І

1(1)

Vi m

Хотя при такой записи уравнений сохранения (в абсолютных переменных) физический смысл их ясен, этого мы не можем

утверждать относительно самих переменных (особенно е, р , q). Например, внутреннюю энергию более уместно вычислять в ло­ кальной системе координат, движущейся с жидкостью, где ско­ рость частицы будет равна с (например, температура воды в ста­ кане не зависит от движения стакана как целого). Эти относи­ тельные макроскопические переменные определяются следующим образом (см. (3.6) и (3.8)):

п Ш =

- |- от j

(4.129)

Р = т j jFcc d3|,

(4.130)

Q =

-i- m j tpcc2d%

(4.131)

220 Гл. IV. Уравнения Больцмана, Крука Бхатнагара Гросса и др.

Если в эти соотношения подставить с = § — и, то в результате получим:

р — Р + puu,

(4.132)

ne = ng + ? £ ,

(4.133)

q Q -f р .u -I- u (ne — p u 2) = Q + P -\-unfë +

. (4.134)

Внося эти выражения в нормальную форму уравнений сохране­ ния (4.121) — (4.123), получим обычный вид уравнений сохране­

ния для относительных переменных (Р, Q, %):

Р ( ^ Г + ц - ѵ ) и + Ѵ./^ = рК,

(4.135)

_ 2 i+ V .u e + Р : Vu + V.Q = 0.

(4.136)

В этом уравнении е является энергией единицы объема. Она связана с % (энергией, отнесенной к одной частице) и р соотно­ шением

е = п% = ~ т j сг <Рd3| = -|- р = -^-пкТ,

(4.137)

которое служит также для определения температуры Т . Констан­ та пропорциональности к — это постоянная Больцмана. Часто встречается другая форма записи уравнения (4.136). Введем сим­

метричный тензор скоростей деформаций Л:

 

 

 

 

дир\

(4.138)

 

 

 

 

дхі

)

 

 

 

 

 

Тогда уравнение

(4.136) примет вид

 

 

 

- f f +

V.ue + V.Q + f ;

Л = 0.

(4.139)

Задача 4.26.

а) Доказать, что Р : Ѵц = Р : Л.

 

б) Для Р ij =

бар

доказать,

что Р : А = рѴ-и.

 

в) Вычислить Т г Л.

 

 

 

 

 

Дифференциальный оператор

 

 

 

 

 

D

д

+ u-V

 

(4.140)

 

 

Тн

dt

 

 

 

иногда называют индивидуальной производной. Действуя на функ­ цию от X и (, он дает скорость изменения функции в системе коор­ динат, движущейся с локальной скоростью и (или, как говорят в гидродинамике, вдоль линий тока). Поскольку относительные гидродинамические переменные определяются через относитель-

4.4. Свойства болъцмановского оператора столкновений

221

ную скорость с = I — и, то, естественно, что многие из предше­ ствующих уравнений определяют скорость изменения этих пере­ менных не в фиксированной системе координат (dldt), а в системе координат, движущейся с локальной скоростью { d l d t + и • V). Именно в этой системе координат, если ограничиться адиабатиче­ скими невязкими течениями, уравнение энергии приводится к хо­ рошо известному виду. Количественно эти ограничения выгля­ дят так:

V-Q = 0.

 

Рц = ЪцР,

р = ^ - ТѵР.

(4.141)

При этом уравнение энергии (4.136) примет

вид

w ( t ^ ) +

t ^v -u =°*

(4.142)

 

Объединяя его с уравнением неразрывности и исключая Ѵ-и, получим

D

D3/ 5

= 0 .

(4.143)

.7, In

Р

п

Dt

 

 

 

Из этого фундаментального

уравнения

следует , что величина

„ 3 /5

 

 

(4.144)

—— = const

п

 

 

 

 

вдоль линий тока. Уравнение (4.143) называется адиабатическим

■законом.

Интересное различие между уравнениями сохранения для относительных и для абсолютных переменных заключается в том, что в уравнении относительной энергии не проявляется какое-либо непосредственное действие силового поля К (см. уравнение (4.136)). В уравнение Больцмана макроскопическая сила К входит в виде члена

А =

к_

_д_

(4.145)

т

Ч

 

Уравнение для относительной энергии % получается, если на уравнение Больцмана подействовать оператором

О =

(4.146)

Когда оператор О действует на Аff-, то в результате получается

= — тК • f

- p K - ( u - u ) =0. (4.147)

222 Гл. IV. Уравнения Больцмана, Крука Бхатнагара Гросса и др.

С другой стороны, внешнее силовое поле К непосредственно влияет на абсолютную энергию е. Это легко показать, действуя на Ajp оператором абсолютной энергии

о= jd % ^ - m l2.

Врезультате получим правую часть уравнения (4.123а), так что внешнее силовое поле оказывает непосредственное влияние на из­ менение во времени абсолютной энергии е.

Из абсолютных уравнений сохранения явно видно, что физиче­ ские переменные (например, п, ри, пе) изменяются во времени вследствие дивергенции соответствующих переменных типа век­

торов потока (например, тш, р, q). Если вычислить интеграл по конечному объему от любого из уравнений (4.121) — (4.123), то мы придем к заключению, что изменение любого конечного эле­ мента плотности, импульса или энергии обусловлено только полным несбалансированным потоком этих величин через замкну­ тую поверхность, ограничивающую рассматриваемый элемент объема. Это точно выполняется для плотности числа частиц, неза­

висимо от того, действует или нет внешняя сила К. Независимо от присутствия внешнего поля частицы сохраняются. Однако законы сохранения импульса и энергии справедливы только для изолированных систем, или, что эквивалентно, для систем, на которые не влияет внешнее силовое поле. Если на систему дейст­

вует поле К, то оно влияет на изменение во времени импульса ри и энергии пе согласно (4.122а) и (4.123а).

Однако для некоторых частных силовых полей возможно записать эти потоковые члены в виде

р К = - ( - ^ - Г + Ѵ.Й) ,

(4.149)

p u . K = - ( - |r C 7+ V .s) .

(4.150)

Здесь Г — это плотность импульса, связанного с силовым полем К,

О — напряженность поля, U — плотность внутренней энергии поля и S — вектор проводимости энергии поля. Подставляя эти соотношения в абсолютное уравнение импульсов (4.122а) и абсо­ лютное уравнение энергии (4.123а), вновь придем к нормальной консервативной форме этих уравнений:

4 - ( р и + Г ) + Ѵ

. ( р + І ) = 0,

- ^ - ( n e+ t f ) + V . ( q +

S) = 0 .

Очень хороший пример формализма, связанного с гидродина­ мическими полями, дает плазма. Плазма состоит из частиц трех

4.4. Свойства болъцмановского оператора столкновений

223

сортов —нейтральных молекул, ионов и электронов. В гидро­ динамическом пределе плотность частиц достаточно велика, так что плазма хорошо описывается уравнениями гидродинамики. Соответствующими переменными будут плотность (полная) час­

тиц п (частица — это ион, электрон или молекула), напряжение р, макроскопическая скорость и и тепловой поток q. Все эти четыре переменные связаны с гидродинамическим описанием плазмы в целом в противоположность переменным, относящимся к инди­ видуальным компонентам (например, плотность электронов). Гид­ родинамическое описание завершают следующие переменные: плотность заряда q, ток J, электрическое Е и магнитное В поля. Уравнения сохранения имеют вид:

dt

п + V.щі = 0,

(4.153)

1

 

 

 

 

(4.154)

pu -f V .'p == gE + J X B,

(4.155)

-^ n e + V.q = J-E,

(4.156)

V X В =

J + -jp -jp ,

(4.157)

 

V.B = 0,

(4.158)

_

 

dB

(4.159)

V x E ~

dt

 

 

V .E = — .

(4.160)

 

 

e0

(уравнения Макс­

Последние четыре уравнения этой системы

велла) связывают поля с током и плотностью электрического заряда системы. Здесь с —скорость света, ц07е0 —соответствен­ но магнитная и диэлектрическая проницаемость вакуума (в МКС). Уравнения импульса (4.155) и энергии (4.156) не соответствуют нормальной консервативной форме записи уравнений сохранения. Однако, используя уравнения Максвелла, легко показать, что мы можем записать силовой член в уравнении импульсов в виде

gE + J x B = — ^

r - v j

(4.161)

и член типа источника

в уравнении

энергии как

 

J

. E = - - ^ f Z - V .S .

(4.162)

Подставляя эти выражения в уравнения (4.155) и (4.156) соот­ ветственно, получим нормальную форму уравнений сохранения.

224 Гл. IV. Уравнения Больцмана, Крука Бхатнагара Гросса и др.

Новыми переменными, характеризующими электромагнитное поле,

являются:

(4.163)

Г = е0Е X В — плотность импульса поля,

£4р = 8 а р 4 -(т ^ + ео£2) -

/В^Ва \

— \ъ0ЕаЕ?,-\---------( —тензор

напряжений

Максвелла,

(4.164)

\

Ро

/

 

 

 

 

S

\

 

Пойнтинга,

(4.165)

 

= — Е х В = с2Г — вектор

1

/

Ро

\

 

 

1

энергии поля.

(4.166)

U = ~y

\ eoEZjr — BzJ —плотность

Задача 4.27.

Получить

приведенные

выше выражения для

Г, П, S, U из уравнений Максвелла.

 

 

Задача 4.28. Пусть макроскопическая переменная (А*) опре­ деляется согласно равенству

п (Л*) = j ^ Л * (с) d%

Используя уравнение Больцмана, доказать, что (А*) удовлетво­ ряет следующему уравнению:

- j j f <л*>)+ " (л *) - Г . и

( п <Л*с» —

 

-

А*>+(8

) • <Т> -

Это уравнение часто называют максвелловским уравнением переноса.

Задача 4.29. Каково различие между уравнениями импульсов, полученными из уравнения Больцмана и из БИі уравнения

(см. разд. 3.6)?

в) -теорема Больцмана

Рассмотренные выше свойства больцмановского оператора столкновений приводят нас к выводу, что из уравнения Больцмана вытекают макроскопические уравнения сохранения. Все кинети­ ческие уравнения должны удовлетворять этому требованию.

Однако то свойство оператора J , которое мы хотим сейчас обсу­ дить, не обязательно должно выполняться для всех кинетических уравнений. Это свойство подразумевает существование динами­ ческой функции, убывающей со временем. Из трех свойств опера­ тора столкновений Больцмана это свойство исключительно важно

4.4. Свойства болъцмановского оператора столкновений

225

с точки зрения физики. Из него следует, что особая динамическая величина — ©^-функция Больцмана рассматриваемой системы — ведет себя необратимым образом, давая предпочтение одному направлению течения времени перед другим. Она убывает при прямом течении времени и возрастает при обратном.

©^-функция Богаьцмана (так называемая энтропия Больцмана) определяется уравнением

Si j

f \ n f d 3l d 3x.

(4.167)

Аналогичная функция для fN

 

 

M N = j I n

!n fNdi d2 ... dN

(4.168)

называется энтропией Гиббса. Напомним, что f N удовлетворяет уравнению Лиувилля:

dfN

Ц ^ + U n , Щ = О,

(4.169)

dt

где Н — гамильтониан для N частиц. Из этого уравнения следует, что

l - S e N= \ { i - r \ n f N) ^ - d i . . . d N ^ Q .

(4.170)

Таким образом, Мы подчиняется обратимому уравнению и явля­ ется константой.

Функция Мы связана с неравновесной термодинамической

энтропией S соотношением

 

S = - Ш ы ,

(4.171)

где к — постоянная Больцмана. Это уравнение дает чисто кине­ тическое описание энтропии для изолированной системы из N частиц. То, что из уравнения Лиувилля следует постоянство энтропии S, согласуется со вторым законом термодинамики, который утверждает: если в изолированной системе происходит какой-либо процесс, то ДS ^ 0, причем равенство имеет место для обратимого процесса. Б[оскольку уравнение Лиувилля относится к изолированной системе и включает только обратимые процессы, то вытекающее из него постоянство S, как мы видели, согла­ суется с термодинамикой.

Вблизи равновесия (для нулевых взаимодействий)

/іѴ~ П=1fl(l)

г

15-01243

226 Гл. IV . Уравнения

Больцмана, Крука Бхатнагара Гросса

и др.

И

 

 

 

 

N

N

 

( 8 ^ - 2

J ІІ/і(01 п /і(лМ 1 . . . dN

 

 

3=1

1=1

(4.172)

m N ~

N

se а) = NSß.

 

.2

 

Отсюда получается хорошо известное выражение для энтропии, данное Больцманом:

S = - N k S ß .

(4.173)

Свойство обратимости уравнения означает, что если уравнение имеет решение для возрастающего времени, то оно также должно содержать решение для убывающего времени. Уравнение (выте­ кающее из больцмановского), которому удовлетворяет энтропия Больцмана, не обладает этим свойством. Из него следует, что Ш

убывает со временем < 0 ) . Кроме того, становится постоян­ ной для некоторого частного вида функции / — для распределения Максвелла, которое описывает равновесное состояние газа. Этот важный факт впервые был экспериментально установлен Цартманом в 1931 году.

То, что функция всегда убывает со временем, есть необра­ тимый закон, ибо если мы «наблюдаем» возрастание Ж , то мы должны прийти к заключению, что на этом интервале время течет в обратном направлении. С другой стороны, если перемещение

свободной частицы происходит согласно неравенству х > 0, то это не является необратимым законом. Существует другое, также

верное решение, которое удовлетворяет условию х < 0 (а именно отраженное движение рассматриваемой частицы). «Закон», управ­

ляющий движением свободной частицы, — это х = 0. Он допускает

как возрастающие > 0), так и убывающие < 0) со временем

решения. «Закон», которому подчиняется Зь (<Ш< 0), допускает только убывающие решения (для времени, текущего в прямом направлении).

Формулировка с2&г-теоремы Больцмана начинается с уравне­ ния Больцмана:

(4.174)

где J — оператор столкновений Больцмана. Напомним также, что все символы Fi, F, / ь /, Жі и Ж изображают одночастичную функ­ цию распределения. Они отличаются тем, что соответствуют раз­ личным нормировкам функции.

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ