
книги из ГПНТБ / Либов Р. Введение в теорию кинетических уравнений
.pdf4.4. Свойства болъцмановского оператора столкновений |
217 |
Если переменные интегрирования | и |і поменять местами, то мы
найдем, что |
|
І(ф) = І(фі). |
(4.112) |
Рассмотрим теперь интеграл |
|
Н ф ' ) = J j j а dQd%d?U{V)V ( P I P 1 |
(4.113) |
Вводя (!!,!') в качестве переменных интегрирования (они связаны с (!і, І) уравнениями динамики столкновений), получим1)
1 { ф ' ) = \ ^ \ о й й й % с 1 * 1 ' ф ( 1 ' ) У { ^ ' - & ^ ) . |
(4.114) |
||
Поскольку |
в dQ, |
и V — инварианты столкновений, |
последнее |
выражение можно переписать так: |
|
||
Ңф ')= - |
j j |
dQ' d% d3l ^ { l ') V |
- І ( ф ) . |
|
|
|
(4.115) |
Наконец, если в (4.114) поменять местами переменные интегри
рования |
(!(, I'), мы получим |
|
|
І ( ф ’) = І(ф[). |
(4.116) |
Объединяя эти результаты, будем иметь |
|
|
ИЛИ |
4 / (Ф) = І(ф) + / (фд - і (ф') - 1 (ф[), |
(4.117) |
|
|
|
|
П ф ) = \ Ц ф + Фі— ф ' — Фд- |
|
Задача 4.22. Показать, что |
|
|
а) |
/ (ф) = ± j (ф' + ф[ - ф- фО V & t f o dQ d ^ d% |
|
б) |
І ( ф)= j ( ф ' - ф ) V ^ 1^ o d Q d 3l i d% |
|
Задача 4.23. При получении уравнений (4.112) и (4.116) под разумевалось, что о dQ является инвариантной величиной. Какие конкретные свойства инвариантности здесь участвуют?
Функция т[з (£,) является сумматорным инвариантом (или инвариантом столкновений) тогда и только тогда, когда
Фі + Ф = Фі + ФѴ |
(4.118) |
т. е. когда тр представляет собой свойство молекулы, сохраняю щееся при столкновении. Объединяя последнее определение
:) Произведение d3|d3|i является инвариантом Пуанкаре.
218 Гл. IV. Уравнения Больцмана, |
Крука — Бхатнагара — Гросса |
и др. |
с уравнением (4.117), получим, что |
|
|
Ш |
= 0, |
(4.119) |
если я); — инвариант столкновения. Существуют три фундамен тальных сумматорных инварианта: 1, |, | а. Эти функции свя заны с тремя законами сохранения (вещества, импульса и энер гии):
|
|
/ ( 1) = / ( 1) = /(|2) = о. |
(4.120) |
|
Задача 4.24. |
Доказать, |
что оператор I линейный, |
т. е. что |
|
|
|
I ( Y + X ) = I ( Y ) + I(X). |
|
|
Задача. 4.25. а) Определить достаточное условие существова |
||||
ния равенства |
|
|
|
|
Ъ d |
d'b' |
|
||
j |
j Y {x, y)Z (y)dxdy = |
j j Y (y, x) Z (x) dydx. |
|
|
а |
c |
c' |
а' |
|
б) |
Каков будет вид интеграла |
|
||
|
|
7= jь Z[x(y)] W (y)dy, |
|
а
если произвести преобразование переменных
Уу' = X (у).
Вследующем разделе мы покажем, как от этих сумматорных инвариантов можно легко прийти к уравнениям сохранения. Другие свойства оператора столкновений будут обсуждены в гл. Y.
6)Уравнения сохранения
При рассмотрении уравнений сохранения используются два различных способа представления гидродинамических переменных. Во-первых, их можно вычислять в фиксированной системе коор динат, где скорость равна |. Такая формулировка приводит к так называемой нормальной консервативной форме уравнений сохра
нения. Переменные р, u, е, р, q — это абсолютные макроскопиче ские переменные. Их определения через функцию gr и уравнения, которым они удовлетврряют, представлены следующими равенст вами:
~0рп + Ѵ-ии = 0, |
(4.121а) |
п = j & d3l; |
(4.1216) |
4.é. Свойства |
больцминовского оператора, столкновений |
219 |
|||
|
|
Pu + V • p = pK, |
(4.122a) |
||
|
|
pu = m [ &\d?\-, |
(4.1226) |
||
|
|
-щпе + Ѵ. q = pK.u , |
(4.123a) |
||
|
|
ne — T 171 j ^ |
d3^; |
(4.1236) |
|
|
|
p = m j |
d% |
(4.124) |
|
|
|
m j |
|
|
(4.125) |
|
|
|
m |
|
(4.126) |
|
|
|
|
|
|
Чтобы получить |
|
три уравнения сохранения (4.121—4.123), |
|||
мы просто подействовали на уравнение Больцмана |
|
||||
|
|
D& |
Н & ) |
|
(4.127) |
|
|
Dt |
|
||
тремя операторами |
j |
j |
j 1 |
4 % Используя |
(4.120), |
мы получим |
|
|
|
|
|
, |
ЛѴ |
' (1} |
Ы . |
(4.128) |
|
J d3g |
|
І |
1(1) |
Vi m
Хотя при такой записи уравнений сохранения (в абсолютных переменных) физический смысл их ясен, этого мы не можем
утверждать относительно самих переменных (особенно е, р , q). Например, внутреннюю энергию более уместно вычислять в ло кальной системе координат, движущейся с жидкостью, где ско рость частицы будет равна с (например, температура воды в ста кане не зависит от движения стакана как целого). Эти относи тельные макроскопические переменные определяются следующим образом (см. (3.6) и (3.8)):
п Ш = |
- |- от j |
(4.129) |
Р = т j jFcc d3|, |
(4.130) |
|
Q = |
-i- m j tpcc2d% |
(4.131) |
220 Гл. IV. Уравнения Больцмана, Крука — Бхатнагара — Гросса и др.
Если в эти соотношения подставить с = § — и, то в результате получим:
р — Р + puu, |
(4.132) |
ne = ng + ? £ , |
(4.133) |
q Q -f р .u -I- u (ne — p u 2) = Q + P -и -\-unfë + |
. (4.134) |
Внося эти выражения в нормальную форму уравнений сохране ния (4.121) — (4.123), получим обычный вид уравнений сохране
ния для относительных переменных (Р, Q, %):
Р ( ^ Г + ц - ѵ ) и + Ѵ./^ = рК, |
(4.135) |
_ 2 i+ V .u e + Р : Vu + V.Q = 0. |
(4.136) |
В этом уравнении е является энергией единицы объема. Она связана с % (энергией, отнесенной к одной частице) и р соотно шением
е = п% = ~ т j сг <Рd3| = -|- р = -^-пкТ, |
(4.137) |
которое служит также для определения температуры Т . Констан та пропорциональности к — это постоянная Больцмана. Часто встречается другая форма записи уравнения (4.136). Введем сим
метричный тензор скоростей деформаций Л:
|
|
|
|
дир\ |
(4.138) |
|
|
|
|
|
дхі |
) |
|
|
|
|
|
|
||
Тогда уравнение |
(4.136) примет вид |
|
|
|||
|
- f f + |
V.ue + V.Q + f ; |
Л = 0. |
(4.139) |
||
Задача 4.26. |
а) Доказать, что Р : Ѵц = Р : Л. |
|
||||
б) Для Р ij = |
бар |
доказать, |
что Р : А = рѴ-и. |
|
||
в) Вычислить Т г Л. |
|
|
|
|
|
|
Дифференциальный оператор |
|
|
|
|||
|
|
D |
д |
+ u-V |
|
(4.140) |
|
|
Тн |
dt |
|
|
|
иногда называют индивидуальной производной. Действуя на функ цию от X и (, он дает скорость изменения функции в системе коор динат, движущейся с локальной скоростью и (или, как говорят в гидродинамике, вдоль линий тока). Поскольку относительные гидродинамические переменные определяются через относитель-
4.4. Свойства болъцмановского оператора столкновений |
221 |
ную скорость с = I — и, то, естественно, что многие из предше ствующих уравнений определяют скорость изменения этих пере менных не в фиксированной системе координат (dldt), а в системе координат, движущейся с локальной скоростью { d l d t + и • V). Именно в этой системе координат, если ограничиться адиабатиче скими невязкими течениями, уравнение энергии приводится к хо рошо известному виду. Количественно эти ограничения выгля дят так:
V-Q = 0. |
|
|
Рц = ЪцР, |
р = ^ - ТѵР. |
(4.141) |
При этом уравнение энергии (4.136) примет |
вид |
|
w ( t ^ ) + |
t ^v -u =°* |
(4.142) |
|
Объединяя его с уравнением неразрывности и исключая Ѵ-и, получим
D |
D3/ 5 |
= 0 . |
(4.143) |
|
.7, In |
Р |
п |
||
Dt |
|
|
|
|
Из этого фундаментального |
уравнения |
следует , что величина |
||
„ 3 /5 |
|
|
(4.144) |
|
—— = const |
||||
п |
|
|
|
|
вдоль линий тока. Уравнение (4.143) называется адиабатическим
■законом.
Интересное различие между уравнениями сохранения для относительных и для абсолютных переменных заключается в том, что в уравнении относительной энергии не проявляется какое-либо непосредственное действие силового поля К (см. уравнение (4.136)). В уравнение Больцмана макроскопическая сила К входит в виде члена
А = |
к_ |
_д_ |
(4.145) |
т |
Ч |
|
Уравнение для относительной энергии % получается, если на уравнение Больцмана подействовать оператором
О = |
(4.146) |
Когда оператор О действует на Аff-, то в результате получается
= — тК • f |
- p K - ( u - u ) =0. (4.147) |
222 Гл. IV. Уравнения Больцмана, Крука — Бхатнагара — Гросса и др.
С другой стороны, внешнее силовое поле К непосредственно влияет на абсолютную энергию е. Это легко показать, действуя на Ajp оператором абсолютной энергии
о= jd % ^ - m l2.
Врезультате получим правую часть уравнения (4.123а), так что внешнее силовое поле оказывает непосредственное влияние на из менение во времени абсолютной энергии е.
Из абсолютных уравнений сохранения явно видно, что физиче ские переменные (например, п, ри, пе) изменяются во времени вследствие дивергенции соответствующих переменных типа век
торов потока (например, тш, р, q). Если вычислить интеграл по конечному объему от любого из уравнений (4.121) — (4.123), то мы придем к заключению, что изменение любого конечного эле мента плотности, импульса или энергии обусловлено только полным несбалансированным потоком этих величин через замкну тую поверхность, ограничивающую рассматриваемый элемент объема. Это точно выполняется для плотности числа частиц, неза
висимо от того, действует или нет внешняя сила К. Независимо от присутствия внешнего поля частицы сохраняются. Однако законы сохранения импульса и энергии справедливы только для изолированных систем, или, что эквивалентно, для систем, на которые не влияет внешнее силовое поле. Если на систему дейст
вует поле К, то оно влияет на изменение во времени импульса ри и энергии пе согласно (4.122а) и (4.123а).
Однако для некоторых частных силовых полей возможно записать эти потоковые члены в виде
р К = - ( - ^ - Г + Ѵ.Й) , |
(4.149) |
p u . K = - ( - |r C 7+ V .s) . |
(4.150) |
Здесь Г — это плотность импульса, связанного с силовым полем К,
О — напряженность поля, U — плотность внутренней энергии поля и S — вектор проводимости энергии поля. Подставляя эти соотношения в абсолютное уравнение импульсов (4.122а) и абсо лютное уравнение энергии (4.123а), вновь придем к нормальной консервативной форме этих уравнений:
4 - ( р и + Г ) + Ѵ |
. ( р + І ) = 0, |
- ^ - ( n e+ t f ) + V . ( q + |
S) = 0 . |
Очень хороший пример формализма, связанного с гидродина мическими полями, дает плазма. Плазма состоит из частиц трех
4.4. Свойства болъцмановского оператора столкновений |
223 |
сортов —нейтральных молекул, ионов и электронов. В гидро динамическом пределе плотность частиц достаточно велика, так что плазма хорошо описывается уравнениями гидродинамики. Соответствующими переменными будут плотность (полная) час
тиц п (частица — это ион, электрон или молекула), напряжение р, макроскопическая скорость и и тепловой поток q. Все эти четыре переменные связаны с гидродинамическим описанием плазмы в целом в противоположность переменным, относящимся к инди видуальным компонентам (например, плотность электронов). Гид родинамическое описание завершают следующие переменные: плотность заряда q, ток J, электрическое Е и магнитное В поля. Уравнения сохранения имеют вид:
dt |
п + V.щі = 0, |
(4.153) |
||
1 |
’ |
|
||
|
|
|
(4.154) |
|
pu -f V .'p == gE + J X B, |
(4.155) |
|||
-^ n e + V.q = J-E, |
(4.156) |
|||
V X В = |
J + -jp -jp , |
(4.157) |
||
|
V.B = 0, |
(4.158) |
||
_ |
|
dB |
(4.159) |
|
V x E ~ |
dt ’ |
|||
|
||||
|
V .E = — . |
(4.160) |
||
|
|
e0 |
(уравнения Макс |
|
Последние четыре уравнения этой системы |
велла) связывают поля с током и плотностью электрического заряда системы. Здесь с —скорость света, ц07е0 —соответствен но магнитная и диэлектрическая проницаемость вакуума (в МКС). Уравнения импульса (4.155) и энергии (4.156) не соответствуют нормальной консервативной форме записи уравнений сохранения. Однако, используя уравнения Максвелла, легко показать, что мы можем записать силовой член в уравнении импульсов в виде
gE + J x B = — ^ |
r - v j |
(4.161) |
|
и член типа источника |
в уравнении |
энергии как |
|
J |
. E = - - ^ f Z - V .S . |
(4.162) |
Подставляя эти выражения в уравнения (4.155) и (4.156) соот ветственно, получим нормальную форму уравнений сохранения.
224 Гл. IV. Уравнения Больцмана, Крука — Бхатнагара — Гросса и др.
Новыми переменными, характеризующими электромагнитное поле,
являются: |
(4.163) |
Г = е0Е X В — плотность импульса поля, |
£4р = 8 а р 4 -(т ^ + ео£2) -
/В^Ва \
— \ъ0ЕаЕ?,-\---------( —тензор |
напряжений |
Максвелла, |
(4.164) |
||
\ |
Ро |
/ |
|
|
|
|
S |
\ |
|
Пойнтинга, |
(4.165) |
|
= — Е х В = с2Г — вектор |
||||
1 |
/ |
Ро |
\ |
|
|
1 |
энергии поля. |
(4.166) |
|||
U = ~y |
\ eoEZjr — BzJ —плотность |
||||
Задача 4.27. |
Получить |
приведенные |
выше выражения для |
||
Г, П, S, U из уравнений Максвелла. |
|
|
Задача 4.28. Пусть макроскопическая переменная (А*) опре деляется согласно равенству
п (Л*) = j ^ Л * (с) d%
Используя уравнение Больцмана, доказать, что (А*) удовлетво ряет следующему уравнению:
- j j f (» <л*>)+ " (л *) - Г . и |
• ( п <Л*с» — |
|
- |
А*>+(8 |
) • <Т> - |
Это уравнение часто называют максвелловским уравнением переноса.
Задача 4.29. Каково различие между уравнениями импульсов, полученными из уравнения Больцмана и из БИі уравнения
(см. разд. 3.6)?
в) -теорема Больцмана
Рассмотренные выше свойства больцмановского оператора столкновений приводят нас к выводу, что из уравнения Больцмана вытекают макроскопические уравнения сохранения. Все кинети ческие уравнения должны удовлетворять этому требованию.
Однако то свойство оператора J , которое мы хотим сейчас обсу дить, не обязательно должно выполняться для всех кинетических уравнений. Это свойство подразумевает существование динами ческой функции, убывающей со временем. Из трех свойств опера тора столкновений Больцмана это свойство исключительно важно
4.4. Свойства болъцмановского оператора столкновений |
225 |
с точки зрения физики. Из него следует, что особая динамическая величина — ©^-функция Больцмана рассматриваемой системы — ведет себя необратимым образом, давая предпочтение одному направлению течения времени перед другим. Она убывает при прямом течении времени и возрастает при обратном.
©^-функция Богаьцмана (так называемая энтропия Больцмана) определяется уравнением
<ШSi j |
f \ n f d 3l d 3x. |
(4.167) |
Аналогичная функция для fN |
|
|
M N = j I n |
!n fNdi d2 ... dN |
(4.168) |
называется энтропией Гиббса. Напомним, что f N удовлетворяет уравнению Лиувилля:
dfN |
Ц ^ + U n , Щ = О, |
(4.169) |
dt |
где Н — гамильтониан для N частиц. Из этого уравнения следует, что
l - S e N= \ { i - r \ n f N) ^ - d i . . . d N ^ Q . |
(4.170) |
Таким образом, Мы подчиняется обратимому уравнению и явля ется константой.
Функция Мы связана с неравновесной термодинамической
энтропией S соотношением |
|
S = - Ш ы , |
(4.171) |
где к — постоянная Больцмана. Это уравнение дает чисто кине тическое описание энтропии для изолированной системы из N частиц. То, что из уравнения Лиувилля следует постоянство энтропии S, согласуется со вторым законом термодинамики, который утверждает: если в изолированной системе происходит какой-либо процесс, то ДS ^ 0, причем равенство имеет место для обратимого процесса. Б[оскольку уравнение Лиувилля относится к изолированной системе и включает только обратимые процессы, то вытекающее из него постоянство S, как мы видели, согла суется с термодинамикой.
Вблизи равновесия (для нулевых взаимодействий)
/іѴ~ П=1fl(l)
г
15-01243
226 Гл. IV . Уравнения |
Больцмана, Крука — Бхатнагара — Гросса |
и др. |
|
И |
|
|
|
|
N |
N |
|
( 8 ^ - 2 |
J ІІ/і(01 п /і(лМ 1 . . . dN |
|
|
|
3=1 |
1=1 |
(4.172) |
m N ~ |
N |
se а) = NSß. |
|
.2 |
|
Отсюда получается хорошо известное выражение для энтропии, данное Больцманом:
S = - N k S ß . |
(4.173) |
Свойство обратимости уравнения означает, что если уравнение имеет решение для возрастающего времени, то оно также должно содержать решение для убывающего времени. Уравнение (выте кающее из больцмановского), которому удовлетворяет энтропия Больцмана, не обладает этим свойством. Из него следует, что Ш
убывает со временем (Ж < 0 ) . Кроме того, $£ становится постоян ной для некоторого частного вида функции / — для распределения Максвелла, которое описывает равновесное состояние газа. Этот важный факт впервые был экспериментально установлен Цартманом в 1931 году.
То, что функция $£ всегда убывает со временем, есть необра тимый закон, ибо если мы «наблюдаем» возрастание Ж , то мы должны прийти к заключению, что на этом интервале время течет в обратном направлении. С другой стороны, если перемещение
свободной частицы происходит согласно неравенству х > 0, то это не является необратимым законом. Существует другое, также
верное решение, которое удовлетворяет условию х < 0 (а именно отраженное движение рассматриваемой частицы). «Закон», управ
ляющий движением свободной частицы, — это х = 0. Он допускает
как возрастающие (х > 0), так и убывающие (х < 0) со временем
решения. «Закон», которому подчиняется Зь (<Ш< 0), допускает только убывающие решения (для времени, текущего в прямом направлении).
Формулировка с2&г-теоремы Больцмана начинается с уравне ния Больцмана:
(4.174)
где J — оператор столкновений Больцмана. Напомним также, что все символы Fi, F, / ь /, Жі и Ж изображают одночастичную функ цию распределения. Они отличаются тем, что соответствуют раз личным нормировкам функции.