книги из ГПНТБ / Либов Р. Введение в теорию кинетических уравнений

подходе различные предположения, которые необходимы для полу­ чения уравнения Больцмана, выявятся яснее. За последнее время был проведен ряд таких попыток. Это работы Кирквуда (1947), Боголюбова (1946) и совсем недавняя работа Трэда (1958). В настоя­ щем разделе мы рассмотрим вывод Трэда, после чего в общих чертах ознакомимся с выводом Кирквуда. Анализ Боголюбова был рассмотрен в гл. III.

Прежде всего запишем уравнение Лиувилля в следующем виде:

Выпишем формулы, необходимые нам в дальнейшем.

уравнение Больцмана, оказывается полезным ввести усеченное

для /С, проинтегрируем уравнение Лиувилля по области D. Область D содержит все такие состояния частиц (2, . . ., N), в которых ни одна частица не находится ближе чем на расстоя­

нии о от частицы 1 (рис. 4.24). В результате будем иметь:

5 <а . . . dN { ! £ . + 3 J L . ( ! , / » ) G , . 4 t } - О, (4.82)

D

П = { |Xi — x2I > er; I Xj — x31> Ö; . . . |x t — x ^ |> a ) .

208 Гл. IV. Уравнения Больцмана, Крука — Бхатнагара — Гросса и др.

Р и с. 4.24. Области в конфигурационном пространстве при выводе уравнения

D

Здесь мы использовали соотношение (4.81), отождествляя интег­ рал в левой части (4.87) с первым интегралом в правой части (4.81). Аналогичным образом можно разложить оставшиеся члены сум­ мы (4.86):

В этом случае использовано соотношение (4.80).

Всиловом члене уравнения (4.85) все слагаемые, кроме члена

с3/3§1, приводятся к поверхностным интегралам, которые обра­

щаются в нуль. Соответствующий множитель при 3/3 |і после интегрирования дает

Область D 2 содержит все состояния частиц 1 и 2, в которых рас­ стояние между частицами не будет более близким чем о_(т. е.

I х2 —х4I > о). Усеченное двухчастичное распределение /£ опре­ деляется через интеграл

Область D' содержит все состояния молекул (3, . . ., N), в кото­ рых ни одна из этих частиц не подходит к частице 1ближе чем на о.

14-01243

210 Гл. IV. Уравнения Больцмана, Крука — Бхатнагара — Гросса и др.

Объединяя уравнения (4.82) и (4.89), получим требуемый

Это уравнение называется первым уравнением Грэда.

При выводе данного уравнения было учтено, что поверхност­ ные интегралы в правой части соотношений (4.87) и (4.88) пред­ ставляют собой (N — 1) одинаковых членов. Это отождествление было сделано почти по той же причине, что и в ББКГИ-последо- вательности, где мы также получили (N — s) одинаковых членов [ср. с уравнением (2.150) и последующими, а также с относя­ щимися к ним рассуждениями]. Область D 2 в уравнении (4.91)

включает | х2— | > о, тогда как поверхностный интеграл

в этом же уравнении вычисляется по поверхности | х2— х4] = а. Чтобы раскрыть смысл первого уравнения Грэда, предполо­

Левая часть этого уравнения представляет полную производную по времени от функции f°. Из вида поверхностного интеграла

вправой части мы заключаем, что скорость изменения числа частиц

вданном элементе фазового объема обусловлена только убылью пары частиц, когда они входят каждая в область влияния другой, либо приростом пары частиц, когда они покидают каждая область влияния другой.

Эта ситуация резко противоречит тому, что имеет место в слу­ чае уравнения БИр

которое описывает изменение /4, обусловленное действием непре­ рывной коллективной силы со стороны всех оставшихся частиц.

Второе уравнение Грэда (4.92) дает точное описание газа из твердых сфер, для которого единственным имеющим смысл рас­

пределением является Ц . В следующих разделах мы покажем, что это уравнение, кроме того, является естественным предшест­ венником уравнения Больцмана.

I

Эти замечания наводят на мысль, что между любым газом, хорошо описываемым уравнением Больцмана, и фундаментальным газом (т. е. газом из жестких сфер) существует формальное сход­ ство. Оно состоит в следующем. Для обоих классов газа (мы имеем в виду систему из жестких сфер) траектория характерной частицы

Р и с . 4.25. 52-сфсра в выводе уравнения Больцмана методом Града.

является свободной, за исключением стохастических дискретных отклонений, которые испытывает частица, когда она входит в сфе­

проектированием. Точки диска имеют радиальную координату s (прицельный параметр) и азимут <р. Чтобы сделать отображение взаимнооднозначным, две полусферы различают согласно усло­ виям:

S* : \ ‘dS^> 0 (после столкновения),

S~ : V-dS<iO. (до столкновения).

Относительная скорость V задается соотношением

14*

212'Гл. IV. Уравнения Больцмана, Крука — Бхатнагара — Гросса и др.

ся х~ (s, ср). В результате получим:

Пока это то же самое уравнение, что и (4.92), просто записанное в другой форме. Однако сходство его с уравнением Больцмана (4.72) вполне очевидно. Введем сейчас ряд ограничений, почти таких же, как в выводе Больцмана.

1. Заменим аргументы в ff (1, 2+, t) на значения, которые они

должны иметь в начале бинарного столкновения (скажем, 1, 2, t), для того чтобы в момент t они приняли значения (1, 2+). Начало

столкновения определяется условием | х2— х1 | = о. Эта опера­ ция аналогична использованию инверсивных столкновений (/(, /') в представленном ранее выводе Больцмана. Оба приема вводятся для того, чтобы член с положительным коэффициентом в интег­ рале столкновений вносил вклад в Dfi (1)IDt в момент t.

2. Положим

/1(1, 2-) = /f(l)/?(2"),

/|(Т, 2)=ff(i)ff(2),

т. е. введем предположение о молекулярном хаосе.

(о d Q = s ds dtp).

Это завершает вывод уравнения Больцмана методом Трэда. Обра­ тимся теперь к выводу Кирквуда уравнения Больцмана.

Задача 4.20. Показать, что второе уравнение Трэда обратимо, т. е. показать, что его решением является также

[ /? ( - 1і, -* ); П і- І ь - І 2, - t ) \ .

Задача 4.21. Установить справедливость соотношений (4.95).

Ответ.

V -dS = Va2d cos Ѳdq>cos Ѳ

вместе c

s2 = о2sin2Ѳ

дает желаемый результат.

в) Вывод Кирквуда уравнения Больцмана

Вывод уравнения Больцмана Кирквудом (1947) х) также осно­ вывается на уравнении Лиувилля. Он использовал последнее, чтобы вывести уравнение для расширенной функции распределе­ ния. В этом смысле вывод Кирквуда подобен выводу Трэда,

который получил уравнение для усеченной функции распределения,

обладающей характерным свойством в пространстве конфигураций (ни одна из частиц не приближается к данной ближе чем на рас­

стояние а). С другой стороны, отличительной чертой распределе­ ния Кирквуда является его временное свойство, s-частичное

Эта операция обладает эффектом «сглаживания» функции по вре­ мени. Чтобы это увидеть, рассмотрим производную

x-\-t

Тангенс угла наклона f s в точке t зависит от значения U в двух

точках (t и t + т) и не чувствителен к виду функции fs между этими двумя точками. Чем больше т, тем более гладкой получает­

ся функция f s. Ступенчатая функция 5 и ее сглаженный по вре­ мени «дубликат» S показаны на рис. 4.26.

1) Вывод, приводимый в тексте, отличается от кирквудовского.

214 Гл. IV . Уравнения Больцмана, Крука — Бхатнагара —■Гросса и др.

Предположим опять, что мы проинтегрировали уравнение

Заметим, что интеграл содержит оператор GI2*3/3p1. Чтобы пре­ образовать этот оператор, введем первое предположение: за интер-

5 Ж

Р и с . 4.26. Ступенчатая функция S и сглаженная по времени функция S.

Ри с . 4.27.

а— парное взаимодействие; б — тройное взаимодействие.

вал времени (t , t + т) частица 1 взаимодействует только с части­ цей 2(т. е. в любое время не более чем две частицы сталкиваются одна с другой). Такая ситуация изображена на рис. 4.27, а. Если

216 Гл. IV . Уравнения Больцмана, Крука — Бхатнагара — Гросса, и др.

Из условий (4.104) следует, что функция / 2 однородна на разме­ рах области столкновений. Кроме того, эти условия означают,

сивного столкновения начальные скорости восстанавливаются. Внося соответствующие изменения в (4.109), используя гипо­

тезу молекулярного хаоса (/2 = /і/і) и проведя ренормализацию, так что JFі= N / ь придем к уравнению Больцмана.

Необходимые для предшествующего вывода неравенства (4.104) и уравнения (4.101) и (4.102а) интересны сами по себе. Они, в сущ­ ности, определяют область применимости уравнения Больцмана. Их можно сравнить с теми предположениями, которые понадо­ бились при выводе методом Больцмана и перечислены непосред­ ственно после уравнения (4.77) (условия 1—4).

Таким образом, мы показали, что области применимости урав­ нения Больцмана, подразумеваемые каждым из трех приведенных методов его получения, очень схожи между собой, как это и долж­ но быть, поскольку они относятся к одному и тому же уравне­

4.4. Свойства больцмановского оператора столкновений

а) Сумматорные инварианты

В разделе 3.1 мы показали, что все гидродинамические пере­ менные можно получить, зная функцию cP Отсюда следует, что из верного кинетического уравнения должны получаться уравне­ ния движения для гидродинамических переменных (уравнения гидродинамики). Таким образом, первое «испытание», которое должно пройти предлагаемое кинетическое уравнение, состоит в том, что оно должно привести к уравнениям гидродинамики.

Их также называют макроскопическими уравнениями, гидродина­ мическими уравнениями и уравнениями сохранения. Для того-

чтобы получить их из уравнения Больцмана, необходимо сначала ввести понятие сумматорных инвариантов.

Отсюда следует, что

і(Ф )= \ Н&)Н1)Л*Ь =