книги из ГПНТБ / Либов Р. Введение в теорию кинетических уравнений

ние (4.58) отличается по смыслу от (4.55), поскольку в нем при­ сутствует элемент объема. Левая часть (4.58) представляет пол­ ное число частиц, входящих в элемент фазового объема бхб| (примыкающий к траектории | (t), х (t)) за время бt. Согласно правой части (4.58), это число равно нулю. Отсутствие потока внутрь данного элемента фазового объема объясняется тем, что движение фазового элемента точно совпадает с движением уско­ ряющихся частиц (т. е. с движением, описываемым соотноше­ нием (4.55)).

Далее, хотя частицы, описываемые уравнением (4.55), могут иметь пересекающиеся орбиты в конфигурационном пространстве (см. рис. 4.19), они не взаимодействуют одна с другой.

В результате чего возникает взаимодействие (точнее столкно­ вение) частиц в нашей первоначальной системе без взаимодействий? Рассмотрим две частицы, которые не коррелируют и расположены каждая вне области взаимодействия с другой, но находятся на пути к столкновению (т. е. прицельный параметр s меньше радиу­ са взаимодействия). В процессе столкновения (войдя каждая в область взаимодействия другой) они становятся коррелирован­ ными. Столкновения порождают корреляции. С другой стороны, пусть две частицы а и б, каждая из которых находится вне обла­ сти взаимодействия другой, будут коррелированы. После того как частица Ь столкнется с тремя последующими частицами с, d и е, любая начальная зависимость (например, в виде начальных условий) между состояниями b и а будет ослаблена. Столкновения разрушили корреляцию. В более общем случае столкновения разрушают и создают корреляции.

Вернемся к нашей задаче. Мы хотим учесть взаимодействия, или столкновения, в первоначальном газе из невзаимодействую­ щих частиц. В теории уравнения Больцмана рассматриваются только такие столкновения, которые подчиняются неравенствам

свободный пробег. Если произвольная частица сталкивается N раз за время Т , то в предельном случае, когда N Э> 1, имеем Ц = TIN. Если С — тепловая скорость, то I = Ct0 и г0 = Сх. Время т — это среднее время, в течение которого одна частица находится в области взаимодействия другой. Область взаимодействия имеет

времени проводить между столкновениями, и расстояние, про­ ходимое частицей между столкновениями, значительно превышает радиус взаимодействия. Если на газ не действует внешняя сила,

198 Гл. IV. Уравнения Больцмана, Крука — Бхатнагара — Гросса и др.

то вместе с (4.59) это обеспечивает прямолинейность движения частиц между столкновениями. С другой стороны, если К =^0, мы должны наложить ограничение, согласно которому частицы входят в области взаимодействия по прямолинейным траекто­ риям. Это будет так, если отклонение от прямолинейности, созда­ ваемое силой К за время t0, мало по сравнению с отклонением, вызываемым силой G за время т, что выполняется, если

Условие (4.59) эквивалентно требованию, чтобы газ был разре­ женным. Условие (4.60) обеспечивает прямолинейность движения частиц непосредственно перед столкновением. Второе условие заключено в первом, если К = 0, но для К =^0 оно должно быть оговорено особо. На рис. 4.20 показано несколько типичных траекторий, для которых выполняются эти условия.

Теперь мы лучше подготовлены, чтобы рассмотреть влияние столкновений на первоначальную систему невзаимодействующих частиц. Существуют два подхода к получению кинетического уравнения. Во-первых, мы можем обратиться к ІѴ-частичному уравнению Лиувилля и исследовать соответствующее БИі урав­ нение для описанного выше случая разреженного газа с взаимодей­ ствующими частицами. Этот метод имеет преимущество, будучи автономным и формальным. Но его недостаток состоит в том, что кинетическое уравнение по своему характеру противоположно уравнению Лиувилля в том смысле, что первое необратимо, а вто­ рое обратимо, следовательно, придется вводить целый ряд пред­ положений, чтобы учесть необратимость. В этом состоит слабость метода, исходящего из уравнения Лиувилля, поскольку он в зна­ чительной мере формален по своей природе. Заметим, что при разложениях около нулевых корреляций, выполненных в гл. Ill, необратимость никак не вводилась в теорию. Все полученные кинетические уравнения были обратимыми.

Второй подход осуществляется совершенно иначе. Рассматри­ вают только одночастичное распределение, для которого надо найти ура^іение. Вместо того чтобы исходить из уравнения Лиу­ вилля для іѴ-частичного распределения и продвигаться вплоть до одночастичного распределения, берут за основу уравнение свободно-молекулярного течения (одночастичное уравнение Лиу­ вилля) и получают кинетическое уравнение, включающее эффек­ ты столкновений. Такова точка зрения Больцмана.

Исходным является соотношение (4.58), которое, как мы пом­ ним, дает полное число частиц, входящих в элемент фазового объема бхб| за время б£. Если частицы не взаимодействуют, это число равно нулю. Если они взаимодействуют (в описанном выше случае разреженного газа), то, прослеживая за группой частиц внутри их собственного фазового элемента бхб|, нельзя

быть уверенным, что ни одна из частиц не покинет этот объем или что в него не войдет «посторонняя» частица.

Пусть число частиц, которые входят в элемент фазового объема бхб§ за время бt, вследствие столкновений равно бR +, а бі?_ —

Поскольку естественной системой координат для уравнения (4.61) является система, фиксированная относительно частицы, движу­ щейся со скоростью I, то уместно и рассеяние рассматривать

всех частиц газа можно разделить на две группы. В первую вхо­ дит небольшой диапазон скоростей, заключенных в интервале б | около I, а во вторую —все остальные скорости, которые обозна­ чим через переменную | 4. Число частиц, которые выходят из эле­ мента фазового объема 6x61 за время 8t, — это просто полное число столкновений «1-частиц» со всеми другими частицами (т. е. « |4- частицами») за время 8t. Следовательно, чтобы вычислить бі?_, мы должны учесть все столкновения между парами частиц, при

которых одна из частиц «вы­

Столкновение переводит скорости (g, gt) в (g', g() и подчиняется уравнениям сохранения (4.9).

Чтобы получить бR +, мы должны учесть все парные столкно­ вения, в результате которых одна из частиц попадает в интервал

скоростей ög около g за время 8t. Согласно определению, это точ­ ная инверсия столкновения

(I, g,) - > ( ! ', Id,

т. е. столкновение между парой частиц (g', g(), выходящих из эле­ ментов фазового пространства, в которые пара (g, |і) пришла после столкновения, восстанавливает пару (1, 1і).

202Гл. IV. Уравнения Больцмана, Крука — Бхатнагара — Гросса и др.

Ввыражении (4.65) объем 8х( = V'8ts' ds'dtp'. Вследствие нали­ чия симметрии между столкновением и его инверсией s' ds'dq>’ —

Сейчас мы покажем, что дифференциалы в (4.65) совпадают с диф­ ференциалами в (4.62). Обычный метод таков: уравнение (4.66) используется для подстановки бх( в (4.65) и далее проводится доказательство для остальных членов.

Однако супдествует более простой метод. В интегральные инварианты Пуанкаре входит форма бхв^бх^І! для двух частиц в системе из N частиц. Следовательно, бхбІбх^І! = 8x'6§'8x'8|j, и, таким образом, наша цель достигнута.

Отметим, между прочим, что выражение ^ гб х б іб х ^ іі выглядит как величина, сохраняющаяся в силу теоремы Лиувилля. Это справедливо, если система состоит только из двух частиц. Тогда 2— функция распределения для ансамбля двухчастичных сис­ тем, и из соответствующего уравнения Лиувилля следует, что 26x6^бх4б^| —инвариант действительного движения системы. Но, конечно, в данном случае это не имеет места, поскольку в на­

Хотя это утверждение является точным относительно скоростей рассеянных частиц, оно не точно относительно их пространствен­ ного положения. Приращение 8R+ пополняет число частиц в про­ странстве скоростей (около значения §), но не число частиц в кон­ фигурационном пространстве (около значения х). При инверсив­ ном столкновении частица не обязана появиться около значения х . Куда же она попадет? Инверсивное столкновение, как видно из рис. 4.22, инжектирует частицу в систему в положение b, которое смещено относительно положения вновь введенных частиц (67?+) на расстояние порядка величины радиуса взаимодействия г0. Предположим теперь, что 3F\ (х, |) не изменяется при смещении

204 Гл. IV. Уравнения Больцмана, Крука — Бхатнагара — Гросса и др.

где

(Теперь JF означает одночастичную функцию распределения. Индекс «1» указывает на то, что аргументом функции является |j.) Конечные скорости являются известными функциями начальных скоростей, что получается из уравнений сохранения при силе взаимодействия G, которая также определяет сечение рассеяния

Заметим, что система координат, в которой рассматривается рас­ сеяние и вычисляется о, связана с «1-частицей». Однако, как было замечено выше, то же самое о будет описывать рассеяние и в сис­ теме координат центра масс (см. задачу 4.2). Уравнения (4.72) и (4.73) составляют уравнение Больцмана. Оно является автоном­ ным, только когда известен явный вид уравнений (4.74) и (4.15). Уравнение (4.72) часто записывают в сокращенной форме:

(4.75)

где DIDt —индивидуальная производная:

Ответ. В данной задаче удобно пользоваться сферическими системами координат, изображенными на рис. 4.23. Угол ф тот же самый, что и на рис. 4.7. Отметим, что вектор а можно изменять, оставляя У фиксированным, а вектор можно изменять, остав­

ляя I фиксированным. Различные элементы J (JF) в этом пред-

*) Отметим сходство между уравнением [Больцмана и следующим уп­ равляющим уравнением, предложенным Клаузиусом (около 1862 года):

2 (akifkfi—<*ijfifj)> j rh, I

где коэффициенты а — скорости перехода.

«тавлении будут иметь вид:

s dsdcp dz%, = D2cos 1(5d cos ф dcpljdx d cos X d^,,

Задача 4.18. Определить, являются ли обратимыми следующие уравнения (т. е. показать, что если у (t) — решение, то у (—t) — также решение", штрихами обозначены производные по времени):

а

о

206 Гл. IV . Уравнения Больцмана, Крука — Бхатнагара — Гросса и др.

Ответ. Для уравнения а) исследуем, является ли также реше­ нием у ( —t). Подставляя у ( —t) вместо у (t), получим:

о

или, что эквивалентно

—а

0

Это уравнение не совпадает с а), так что у ( —t) не является реше­ нием и уравнение а) необратимое. С другой стороны, мы могли бы показать, что данное уравнение не инвариантно при преобра­ зовании обращения времени, t —> t' — —t. Здесь уместно отме­ тить, что правая часть данного уравнения постоянна и не зависит от времени. Способом, аналогичным первому, мы найдем, что б) необратимое, в) обратимое и г) необратимое. Отметим, что при дифференцировании а) получается обратимое уравнение. Решения уравнения у" = 0 являются обратимыми относительно этого уравнения. Подмножество этих решений, которое является реше­ нием а), состоит из решений, необратимых относительно а).

Задача 4.19. Показать, что уравнение Больцмана необратимое, т. е. если / (§, t) — решение, то / ( —|, —t) не обязано быть тако­ вым.

При получении уравнения Больцмана были сделаны следую­ щие предположения.

1.Тройными столкновениями можно пренебречь.

2.Непосредственно перед столкновением орбиты прямолинейны

впротивоположность столкновительной части траектории.

3.Функция распределения частиц не меняется на расстояниях порядка размера области столкновения.

4.Справедлива гипотеза молекулярного хаоса.

б) Вывод Грэда

Описанный только что метод получения уравнения Больцмана концентрируется в основном на вычислении членов бR ±. Одно­ частичная функция распределения изменяется (вдоль траектории частицы) только благодаря беспорядочным столкновениям, вслед­ ствие которых частицы выходят из элемента фазового объема и входят в него. Но это не единственная причина изменения функ­ ции S F Полный механизм изменения определяется интегралом в уравнении БИі [см. уравнение (2.178а)].

Было бы очень поучительно вывести уравнение Больцмана непосредственно из БИ,. Можно вполне надеяться, что при таком