книги из ГПНТБ / Либов Р. Введение в теорию кинетических уравнений

Подставляя полученный результат в (4.36), которое можно пере­ писать в виде

Это хорошо известное сечение Резерфорда для кулоновского рас­ сеяния. Расходимость при Ѳ — 0 обусловлена далънодействующей природой кулоновской силы.

Другим очень важным законом взаимодействия в природе является взаимодействие жестких сфер. В этом случае при вычис-

Рис . 4.12, Рассеяние жестких сфер в относительной системе координат.

лении а исходят прямо из геометрии. Опять рассмотрим рассеяние в системе координат, где начало относительного вектора фикси­ ровано. Если сферы имеют радиусы а и b соответственно, то взаимо­ действие определено ограничением г ^ а + b и симметрией рас­ сеяния в относительной системе координат. Схема рассеяния в этой системе координат представлена на рис. 4.12. Отметим еще раз, что данная система координат не является системой координат центра масс. В системе координат, связанной с центром масс, сферы а и Ъ«привязаны» к концам относительного вектора г ,

188 Гл. IV . Уравнения Больцмана, Крука — Бхатнагара — Гросса и др.

который проходит через фиксированный центр масс и вращается относительно него. На рис. 4.12 фиксирована сфера Ъ. Тем не менее а (Ѳ) имеет одно и то же значение в обеих системах коорди­ нат. Сечение а получается прямо из треугольника, изображенного на рис. 4.12, для которого

так что в системе координат, связанной с центром масс, рассеяние

т. е. площади диска радиуса D.

В следующих разделах, где будет получено выражение для интеграла столкновений уравнения Больцмана, мы придем к тако­ му заключению: система координат, в которой будет рассматри­ ваться рассеяние при вычислении интеграла столкновений, — это относительная, связанная с любой из рассеиваемых частиц систе­ ма координат, в которой, как было показано выше, значение a то же самое, что и в системе координат центра масс. При форму­ лировке уравнения Больцмана и его приложений к частным видам сил взаимодействия предшествующий формализм для вычис­ ления а (в системе координат центра масс) является достаточным. Однако любое описание рассеяния не может рассматриваться как полное, пока оно каким-либо путем не будет связано с типом рас­ сеяния, который мы наблюдаем в «реальной жизни», т. е. рассея­ ние в лабораторной системе координат. В заключение мы дадим метод вычисления aL (сечения рассеяния в лабораторной системе координат) через ос (сечение рассеяния в системе координат центра масс, обозначавшееся прежде через а).

Вычисления проводятся следующим образом. Запишем вновь уравнения сохранения (4.9) (в лабораторной системе координат):

Рі + Р* = РІ + Р«

(4.44)

в системе координат центра масс. Резюмируя сказанное, запишем:

Эти углы рассеяния показаны на рис. 4.14 и рис. 4.15. Связь между углами рассеяния в лабораторной системе координат и в системе координат центра масс наглядно представлена на рис. 4.16:

Таким образом, мы пришли к нужной нам формуле, которая свя­ зывает угол рассеяния в системе координат центра масс с углом рассеяния в лабораторной систе­

Задача 4.6. Каково значение ос для максвелловских молекул?

Задача 4 .7 . К аково значение oL дл я кулоновского рассеяния?

Р и с. 4.17. Геометрическое построение Ѳ для случая рассеяния жестких сфер.

Указание. Решить эту задачу геометрически, используя диаг­ раммы рассеяния (рис. 4.13).

Задача 4.13. Показать (геометрически), что в предельном слу­ чае, когда нгл = т2, две частицы всегда рассеиваются под прямым углом одна к другой, т. е. р '-р^ = 0.

Задача 4.14. Доказать, что для неразличимых частицы-мишени и налетающей частицы с энергией Е х сечение рассеяния в лабо­ раторной системе координат (для кулоновского взаимодействия) определяется соотношением:

Задача 4.15. В плоскости рассеяния лежат два жестких диска. Рассеяние в системе координат центра масс имеет вид, изображен-

.ный на рис. 4.17.

194Гл. IV. Уравнения Больцмана, Крука — Бхатнагара — Гросса и др.

Вэксперименте по рассеянию измеряется, скажем, отноше­ ние \С : Л исходов, идущих по каналу С, к числу случаев I налетания частиц. В эксперименте с обращенным временем отрицатель­ ные по импульсу события С становятся числом случаев налетания

частиц, а канал I —каналом рассеяния. Инвариантность а по отношению к обращению времени означает, что мы получаем

в которой ставится эксперимент по рассеянию. Однако сам экспе­ римент остается фиксированным в пространстве *).

Инвариантность относительно отражения означает, что при наблюдении за отражением эксперимента в плоском зеркале «отраженные отношения» будут те же самые, что и первоначаль­ ные отношения (т. е. измеренные в реальном эксперименте).

Задача 4.16. Доказать четыре свойства инвариантности о для случая двух частиц (частицы двумерные), которые имеют следую­ щую форму:

Рассмотрим изолированный газ, подверженный действию одно­ родного силового поля К. Пусть газ состоит из невзаимодействую­ щих частиц, т. е. частицы никогда не сталкиваются. Это означает, что газ идеальный. Каким кинетическим уравнением будет описы­ ваться такой газ? Чтобы ответить на этот вопрос, сначала ясно представим себе, что в случае невзаимодействующих частиц зако­ номерно рассматривать только одну частицу без оставшейся сово­ купности других. Уравнение Лиувилля для этой системы (т. е.

х) Если указанное выше отношение остается постоянным, когда сам эксперимент вращается в пространстве (а система координат, в которой проводится измерение, фиксирована), то будет иметь место менее тривиальный

физический закон. Эти два случая инвариантности эквивалентны, если про­ странство изотропно.

196 Гл. IV. Уравнения Больцмана, Крука — Бхатнагара — Гросса и dp.

Это есть суммарное число частиц, которые входят в движущийся фазовый элемент б|бх за время 8t. Так как уравнение справедливо

X

для малых, но в остальном произвольных бх, 61, 8t, то из него следует уравнение (4.55).

Это мысленное построение проделано нами не только для того, чтобы формально показать связь уравнения (4.55) с системой невзаимодействующих частиц, но оно служит отправной точкой рассматриваемого вывода уравнения Больцмана. Соотношѳ-