книги из ГПНТБ / Либов Р. Введение в теорию кинетических уравнений

Чепмена — Энскога и выводятся гидродинамические уравнения, вытекающие из приближений различного порядка. Получаются выражения для коэффициентов вязкости и теплопроводности. Далее подробно рассматриваются свойства линеаризованного оператора Больцмана, а затем автор переходит к изложению мето­ да моментов Трэда, дающего возможность получить одно из наи­ более общих решений уравнения Больцмана путем использова­ ния разложений по полиномам Эрмита и вывести при определен­ ных предположениях замкнутую систему гидродинамических уравнений.

В последней части пятой главы обсуждается с различных то­ чек зрения приближение системы к положению равновесия и свя­ занная с этим процессом проблема необратимости макроскопиче­ ских явлений. Этого вопроса автор касался уже в предыдущих главах. Вводятся понятия о микро- и макросостояниях и о «круп­ нозернистом» разбиении фазового пространства. Используется принцип равных априорных вероятностей и другие положения статистической механики и термодинамики, в частности различ­ ные аспекты понятия энтропии. Выводится знаменитая формула Больцмана для энтропии, распределение Больцмана для наибо­ лее вероятного макросостояния. Дается представление о трех видах канонических ансамблей в статистической механике, о ста­ тистических суммах и связях этих понятий с энтропией и другими термодинамическими функциями системы. Наконец, применяются понятия о флуктуациях и среднеквадратичном отклонении.

Кроме априорного, рассматривается также и апостериорный подход к проблеме необратимости макроскопических явлений, свя­ занный с эргодической гипотезой, с помощью которой вопросы необратимости могут быть наиболее чистым образом сопоставлены с обратимыми динамическими законами. Проблема связи необра­ тимых макроскопических процессов с обратимыми динамическими законами имеет исключительно важное принципиальное значение в физике, и настоящая книга, привлекающая внимание читателя к этим вопросам и дающая достаточно подробную их трактовку, приобретает тем самым дополнительную ценность.

По манере изложения материала книга имеет характер учеб­ ника и вполне может рассматриваться как таковой, имеющий впрочем повышенный уровень и требующий для усвоения мате­ риала определенных усилий и проработки. Этому способствуют, однако, предлагаемые читателю многочисленные задачи, вкрап­ ленные в основное содержание книги, и обширные списки литера­ туры, сопровождающие каждую главу книги. К спискам, пред­ ложенным автором, добавлены некоторые не упомянутые им

работы советских исследователей.

Проведенный здесь обзор содержания книги показывает широ­ кий охват ею многочисленных вопросов теории и приложений

кинетических методов. Она может служить хорошим путеводите­ лем, освещающим основы применяемых подходов и связи между ними. Несомненно, что книга будет полезна студентам, аспиран­ там и научным работникам, интересующимся возможностями, которые открывает перед исследователем метод кинетических уравнений, и желающим более отчетливо представить себе место, занимаемое этим методом в общем плане построения науки, вклю­ чающем динамические и статистические закономерности.

Перевод книги сделан О. Ң. Ткаченко, которая хорошо спра­ вилась с не всегда легким, живым языком автора книги.

Л. П. Смирнов

ПРЕДИСЛОВИЕ

Настоящая книга возникла из курса лекций по статистиче­ ской механике, который был мною прочитан в Нью-Йоркском университете в 1964 г. В наши дни среди физиков вновь пробу­ дился интерес к уравнению Больцмана, хотя полвека о нем почти не вспоминали. Выражение «кинетическое уравнение» стало частью словаря таких разделов физики, как физика плазмы, теория реакто­ ров, астрофизика. В аэродинамике кинетическая теория давно уже привлекается для исследования сложной проблемы, касаю­ щейся структуры ударной волны. Кроме того, становится все оче­ виднее увеличивающийся разрыв между материалом, излагае­ мым в стандартных курсах по статистической механике, и новыми оригинальными работами по кинетическим уравнениям, которые начали появляться в литературе. Это побудило меня включить в курс несколько лекций на данную тему.

Когда в 1965 г. я приехал в Корнелл, было целесообразно предложить вниманию аудитории двухгодичный курс по физике плазмы, охватывающий дисциплины, которые примыкают к тео­ рии кинетических уравнений. Этот курс лекций предназначался для студентов, специализирующихся в области аэромеханики, механики, электротехники, космических исследований и некото­ рых других областях физики.

Недавно мне довелось прочесть курс, основанный на материале данной книги, и я нахожу, что при трех часах лекций в неделю легко можно изложить за год почти три четверти всего материала.

Необходимо отметить, что предлагаемую вниманию читателя книгу можно было назвать «Введение в теорию классической неравновесной статистической механики», поскольку теория кине­ тических уравнений является частью более широкой области неравновесной статистической механики.

Я пытался, насколько это возможно, представить материал в замкнутой форме, не требующей чтения дополнительной литера­ туры. Введение в динамику в гл. I служит этой цели и, кроме того, является хорошим обзором для студентов инженерных спе­ циальностей. Концепция Г-пространства, также встречающаяся в гл. I, подводит нас к уравнению Лиувилля, которое детально исследуется во второй главе. В этой же главе обсуждается цепочка

«усилители». Они служат для разработки подобластей теории, вытекающих из ее более широких разделов, отмечаемых в рамоч­ ках, расположенных левее. Например, теория ББКГИ уравнений (обсуждаемая в гл. II) является малой частью темы «Уравнение Лиувилля...», помещенной в верхней рамочке. Двигаясь вниз, мы переходим ко все менее детальному описанию физических явлений.

На этой диаграмме теория кинетических уравнений находится между двумя крайними областями — задачей N -тел и гидро­ динамикой. Так оно и есть на самом деле. Для того чтобы понять этот факт, необходимо достичь некоторой ясности по всему кругу вопросов, относящихся к «соседним» областям. В соответствии с этим наша книга состоит из трех главных разделов: 1) уравнение Лиувилля, 2) кинетические уравнения и 3) уравнения сохране­ ния. В качестве подготовки к исследованию уравнения Лиувилля совершим экскурс в классическую механику.

1.2. Формализм Лагранжа

Говорят, что система имеет N степеней свободы, если не менее чем N переменных единственным образом определяют положение и ориентацию системы в физическом пространстве. Эквивалентное утверждение состоит в том, что данная система имеет N и только N обобщенных координат.

При выборе надлежащей последовательности обобщенных координат необходимо удостовериться, что они независимы. Наличие функционального соотношения между переменными (либо фиксирование одной из переменных, например х = 3 см) делает их зависимыми. Такое соотношение является математиче­ ским выражением связи. Если, например, движение шарика огра­ ничено жесткой проволокой, имеющей форму окружности радиуса а, то декартовы координаты этого шарика будут связаны соот­ ношением X2 + у2 = а2. Шарик имеет только одну степень сво­ боды, и «система» имеет только одну обобщенную координату.

Задача 1.1. Определить число степеней свободы каждой из следующих систем и найти совокупность переменных, которые можно принять за обобщенные координаты.

а) Шарик, движущийся по круговому обручу, положение ко­ торого фиксировано.

б) Шарик, перемещающийся по неподвижной винтовой пру­ жине постоянного шага и радиуса.

в) Прямолинейный стержень конечной длины, движущийся в плоскости.

г) Прямолинейный стержень, движущийся в трехмерном про­ странстве.

д) Растяжимая одномерная пружина, движущаяся в плоско­ сти.

е) «Ножницы», движущиеся в плоскости.

ж) «Точечная» частица, движущаяся в трехмерном простран­ стве.

з) Две частицы, движущиеся в трехмерном пространстве. и) N частиц, движущихся в трехмерном пространстве.

к) Твердое тело произвольной формы, движущееся в трех­ мерном пространстве.

л) Твердое тело произвольной формы с одной неподвижной точкой, движущееся в трехмерном пространстве.

Рассмотрим систему с N обобщенными координатами. Пусть (gt, g2, ■■., дЛт) = q, так что символом q обозначается ІѴ-мерный вектор. Отсюда следует, что кинетическая энергия системы, вооб­

Изменение «действия» S, обусловленное такими вариациями, должно равняться нулю, поскольку q (t) сообщает S экстремум:

(1.5)

бS =

Здесь мы проинтегрировали последний член второй строки по частям х). Проинтегрированная часть равна нулю согласно условию (1.4). Так как оставшийся интеграл должен обращаться в нуль при любой произвольной (бесконечно малой) вариации öq, то необходимо, чтобы

4 ( f ) ~ & = ° - (*•«)

Здесь мы вернулись к записи через компоненты (дг). В (1.5) каждое произведение скалярное, так что производится суммиро­ вание по компонентам вектора q. Дифференциальное уравнение (1.6) представляет необходимое и достаточное условие того, что

öS = 0 2)* .

В вариационном исчислении уравнения (1.6) известны как уравнения Эйлера и могут быть применены при решении всевоз­ можных вариационных задач. Ниже дано несколько соответст­ вующих примеров.

за нулевой интервал времени и допускаемое наложенными на систему свя­ зями.

механики известно, что движение частицы определяется ее начальными положением и скоростью. Однако фактически принцип Гамильтона позво­ ляет однозначно определить динамическую траекторию системы. Поскольку уравнения движения (уравнения Лагранжа) имеют второй порядок по вре­ мени, то для их решения надо задать два условия. Эти условия не обязатель­ но должны быть начальными данными. В задаче о наикратчайшем расстоя­ нии между двумя точками на плоскости (х, у) соответствующие уравнения

Задача 1.2. Показать, что наикратчайшее расстояние между двумя точками на плоскости есть прямая линия.

Задача 1.3. Пусть поверхность образована вращением вокруг оси у кривой, проходящей через точки (хі, Уі) и (х2, уг)- Показать, что кривая у = а Arch (х/а) + Ъ порождает поверхность с мини­ мальной площадью.

В динамике уравнения (1.6) называются уравнениями Лагранжа. Ими удобно пользоваться для получения соответст­ вующих уравнений движения, выражающих закон F = та. При этом задача полностью формализуется, и вся трудность сводится к тому, чтобы получить правильное выражение для кинетической энергии системы.

Задача 1.4. Найти уравнение движения шарика по прямой жесткой проволоке, конец которой фиксирован, а сама она вра­ щается в плоскости с угловой скоростью со.

Ответ. Поскольку потенциальная энергия в задачу не входит, то L = Т. Кинетическая энергия определяется равенством

где А и В — произвольные постоянные, определяемые из началь­ ных условий.

Отметим, что выражение для кинетической энергии также мо­ жет быть получено формальным путем. Для каждой из частиц,

Самым важным вопросом при построении лагранжиана является выбор такой совокупности переменных, которая наиболее тесно связана с геометрией задачи.

Задача 1.5. Найти уравнение движения шарика по жесткой винтовой линии

X = а cos Ѳ.

z = ЬѲ.

Ось винтовой линии расположена вертикально и параллельна гравитационному полю. Вследствие ограничений z = &Ѳ и г — а имеется только одна степень свободы Ѳ.

Задача 1.6. Шарик движется по проволочной окружности радиуса а. Окружность вращается с угловой скоростью со вокруг

Р и с. 1.3.

фиксированной оси, совпадающей с диаметром. Найти движение шарика, начальный радиус-вектор которого определяется углом Ѳ относительно диаметра (сила тяжести отсутствует).

Задача 1.7. Шарик движется по жесткой проволочной окруж­ ности радиуса Ъ. Плоскость окружности вертикальна и ее центр связан жестким стержнем длины а с фиксированным началом координат. Этот стержень вращается в горизонтальной плоскости с частотой со/2л (рис. 1.3). Силой тяжести пренебрегаем. Найти движение.

Ответ. Основная трудность состоит в определении кинетиче­ ской энергии