книги из ГПНТБ / Либов Р. Введение в теорию кинетических уравнений

Сравнивая последнюю формулу с предшествующим выражением для Ѳр, получим желаемый результат:

Ѳс = ѳ р .

Соответствующие углы и векторы, использованные в данном доказательстве, показаны на рис. 4.5 и 4.6.

т і

В лабораторной системе координат уравнения сохранения импульса и энергии имеют вид

180 Гл. IV. Уравнения Больцмана, Крука — Бхатнагара — Гросса и др.

I

задается углом рассеяния Ѳ (или углом ф = — (л — Ѳ)). Угол

рассеяния определяется как функционал от потенциала взаимо­ действия Т (г), относительной скорости V и прицельного пара­ метра s, т. е.

(Это также будет установлено позднее.) Теперь мы можем заклю­ чить, что для заданного взаимодействия Тіг) и импульса центра

масс Р конечные импульсы р(, р' определяются через s и р4, р2. Поэтому изменение импульсов при парном столкновении можно представить следующим образом:

Индекс s указывает, что прицельный параметр есть свойство столкновения.

Существуют два типа столкновений, которым в теории кинети­

удовлетворяет уравнениям сохранения, то [(p', p') ->■ (р1? p2)]s также им удовлетворяет (следует только прочитать уравнения сохранения справа налево). Прицельный параметр s гарантирует, что (p', pj) правильно ориентированы, чтобы дать (рь р2). Отсюда следует, что начальными импульсами инверсивного столкновения являются (pj, Рз)3, т. е. конечные импульсы первоначального ■столкновения (рис. 4.8). Можно применить следующую символи-

182 Гл. IV. Уравнения Больцмана, Крука — Бхатнагара — Гросса и др.

(См. рис. 4.7.) Из последних формул явно видно, что существует

Этот континуум порождается при варьировании единичного апсидального вектора ос. Однако, если заданы s, V и взаимодействие f (г), то динамическое решение для орбит определяет значение ос, (т. е. либо Ѳ, либо ф), которое в свою очередь фиксирует (§', Ij).

Здесь остаются нерешенными две задачи. Во-первых, угол рассеяния Ѳдолжен быть записан как функционал от s, V и потен-

Р и с. 4.10. Координаты в эксперименте по рассеянию.

циала взаимодействия Т . Во-вторых, мы должны определить, какая часть пучка (невзаимодействующих) частиц рассеивается на данном рассеивателе. Мы найдем, что, сформулировав решение второй задачи, мы естественным образом придем к решению первой.

Рассмотрим однородный пучок падающих частиц с энергией Е и интенсивностью I (число частиц/сек см2). (См. рис. 4.10.) Число частиц, рассеянных в элементе телесного угла dQ около Q, пропор­ ционально интенсивности падающего пучка I и элементу телес­ ного угла dQ. Множитель пропорциональности а — это диффе­ ренциальное сечение рассеяния.

Іа (Q) dQ равно числу частиц, отклонившихся в пределах dQ

Но такое же число частиц прошло через элемент кольца s ds dcp, так что

Азимутальный угол cp, который определяет сечение падающего пучка частиц,— это тот же угол, что и в сферической системе

координат с началом, фиксированным в рассеивателе. Таким

•образом, dQ = d cos Ѳdcp. Подставляя это равенство в (4.17), получим

Как находится s = s (Е , Ѳ), будет описано ниже. В то время как о связано с числом частиц, рассеянных в определенном направле­ нии, величина

4я

—полное сечение рассеяния, связана с полным числом частиц, рассеянных из падающего пучка. Радиус взаимодействия равен г0,

так что частицы с прицельным параметром s >> г0 не рассеиваются из пучка. Полное поперечное сечение 2 — это заградительная площадь, которую представляет рассеиватель для падающего пучка частиц. Для однородного пучка с площадью поперечного сечения А ^ 2 величина 2 ІА является долей частиц, рассеян­ ных из пучка (по всем направлениям).

В дальнейшем мы вернемся к более детальному описанию того, как вычисляется дифференциальное сечение рассеяния а (Ѳ, Е), что, в свою очередь, связано с более точной оценкой угла рас­ сеяния Ѳ. Этот угол просто вычисляется при исследовании приве­ денного движения фиктивной частицы массы р, управляемого относительным гамильтонианом. Хотя сама частица фиктивная, ее радиус-вектор г — нет. Действительно, г является относитель­ ным вектором между и т 2. Угол между векторами гдо и гПОСле (прежнее обозначение соответственно г и г ' ) равен углу рассея­ ния Ѳ.

Поскольку относительное движение, описываемое вектором г, лежит в плоскости, состояние системы определяется двумя обоб­ щенными координатами, углом ф и модулем г. Относительный

Так как Н цикличен по ф, то рфявляется константой движения, обозначаемой через L. Относительный гамильтониан сам по себе также постоянен, поскольку энергия совокупности частиц, изме­ ренная в системе координат, связанной с центром масс, будет

184 Гл. IV . Уравнения Больцмана, Крука Бхатнагара— Гросса и др.

Типичный случай рассеивания вследствие отталкивания в системе координат, где начало вектора г фиксировано, показан на рис. 4.7.

Р и с . 4.11. (Сечение рассеяния одинаково для всех трех столкновений.)

Это не есть система координат, связанная с центром масс. В послед­ ней г вращается относительно фиксированного центра масс (рис. 4.5). Однако, как мы видели, угол рассеяния Ѳв этой системе координат тот же самый, что и в системе координат центра масс. В каждом случае Ѳ — это угол между гд0 и гПОслег который не зависит от выбора начала координат.

Диаграмма рассеивания (рис. 4.7) симметрична относительно линии апсиды гт іП, так что г = 0 для rmin. Эта симметрия являет­

в этой точке знаменатель в интеграле (4.25) равен нулю. Однако сам интеграл остается ограниченным.

Угол я|), изображенный на рис. 4.11, получается при интегри­ ровании (4.25) от Гщіп до оо. В результате будем иметь

(£/r12) dr

(4.26)

у г р ^ - 'Г Д - ^ / г 2)

Угол рассеяния Ѳ связан с -ф, как показано на рис. 4.7:

Так как ф определяет вектор а, то (4.29) представляет собой явное решение для а, выражаемое через Т , E n s . Для потенциала в форме

186 Гл. IV. Уравнения Больцмана, Крука — Бхатнагара— Гросса и др.

Задача 4.4. Для притягивающих потенциалов из (4.34) полу­ чаем:

? - * + ( ! ) " ■

Показать, что это уравнение не имеет положительных решений для N ^ 2 и b < 1.

Ответ. Перепишите уравнение в форме

Р2 = 1 + ( т Г ^ -

Как мы далее увидим, Vo d cos Ѳ является важным множите­ лем, входящим в уравнение Больцмана. Вспоминая (4.17), полу­ чим, что

Полученный результат явным образом демонстрирует зависимость печения рассеяния от скорости V, которая целиком заключена в мультипликативном коэффициенте FC,- 4>/iV.

Очевидно, что случай N = 4 заслуживает особого внимания. Молекулы, взаимодействие которых описывается таким потен­ циалом, называются максвелловскими молекулами. Для таких молекул вес рассеяния Vo d cos Ѳ не зависит от V. Этот факт значительно упрощает вычисления, относящиеся к линеаризован­ ному уравнению Больцмана. С этими вопросами мы столкнемся в гл. V, где линеаризованное уравнение Больцмана будет подробно обсуждаться.

Сейчас обратимся к вычислению а для кулоновского взаимо­