книги из ГПНТБ / Либов Р. Введение в теорию кинетических уравнений

Райс, Грэй (Rice S. A., Gray D.)

(1965) The Statistical Mechanics of Simple Liquids, New York, Interscience.

Уленбек, Бэч (Uhlenbeck G. E., Beth E.)*' (1936—37) Physica, 3, 729 (1936); 4, 915 (1937).

Фишер И. 3.

(1961) Статистическая теория жидкостей, М., Физматгиз.

Френкель Я. И.

(1945) Кинетическая теория жидкостей, М.— Л., изд. АН СССР.

Фриш, Либовиц, (Frisch Н., Lebowitz J. (eds))

(1964) The Equilibrium Theory of Classical Liquids, New York, Benjamin.

Хилл (Hill T. S.)

(1956) Statistical Mechanics, New York, McGraw-Hill. Русский перевод:

Хилл T. С., Статистическая механика, М., ИЛ, 1960.

Д. Приложения уравнения Власова к изучению явлений

внеплазменных средах

Власов А. А.

(1950) Теория многих частиц, М.— Л., ГИТТЛ.

Либов (Liboff R. L.)

(1963) Phys. Rev., 131, 2318; Physics Letters, 3, 322,

Линден-Белл (Lynden-Bell D.)

(1962) Month. Not. Roy. Soc., 124, 279.

Список обозначений к гл. Ill

А 2, А 3 — относительные площади, связанные с корреляционными функциями ^2 и соответственно,

A il) — коэффициент в разложении Боголюбова,

— оператор в БИ2,

Âs — интегральный оператор в ББКГИ-уравнениях,

Jt — корреляционная площадь,

Ells — s-e уравнение ББКГИ-системы,

С— тепловая скорость,

—s-частичная корреляционная функция,

168 Гл. III. Формальное развитие теории кинетических уравнений

с — относительная микроскопическая скорость,

на единицу,

— одночастичная функция распределения, нормирован­ ная на N,

Ghn — сила взаимодействия между частицами, g — радиальная функция распределения,

f, h, А —'’2,3,4-частичные корреляционные функции, Ks —s-частичный оператор кинетической энергии,

К— внешняя сила,

к— постоянная Больцмана,

L — длина ребра контейнера,

I— средний свободный пробег,

т— масса,

N — полное число частиц,

п — числовая плотность частиц (плотность числа частиц), п0 — равновесная концентрация,

^ — s-перестановочный оператор,

еНе — тензор давлений,

1"ѳ — потенциальная часть тензора давлений, "

РК — кинетическая часть тензора давлений, Ро — тепловой импульс,

Q — тепловой поток,

R — вектор перемещения,

г — вектор, соединяющий две частицы, гр —плазменная длина (дебаевский радиус), г0 — радиус взаимодействия, Т — температура,

Т0 — характерное макроскопическое время, і0 — среднее время между столкновениями, и — гидродинамическая скорость,

V — объем сосуда,

V — удельный объем,

а — коэффициент в безразмерном уравнении Лиувилля,

ß — коэффициент в безразмерном уравнении Лиувилля,

е0 — диэлектрическая проницаемость вакуума,

А— динамический проектирующий оператор (оператор

сдвига),

Ф— потенциал,

Ф— потенциал взаимодействия частиц, фо — напряженность потенциала, Юр — плазменная частота, Ф1 — потенциал,

Ѳ3 — s-частичный оператор потенциальной энергии, т 0 — время столкновения.

Истинное дЗижение

6

Рис. 4.1. Эволюция числовой плотности частиц в случае обратимой и необра­ тимой диффузии.

о — начальное движение; б — обращенное движение (для обратимой диффузии); в — обращенное движение (для необратимой диффузии).

Другое описание этого кажущегося парадокса состоит в следую­ щем. -Предположим, что начальное состояние газа таково, как описано выше. Оно изображается точкой в Г-пространстве. Эта точка вычерчивает в Г-пространстве динамическую траекторию. Из опыта нам известно, что такая точка движется по направлению к равновесному состоянию (с одинаковой плотностью по всему конфигурационному пространству и соответствующим максвел­ ловским распределением в пространстве импульсов). Но динамиче­ ская кривая такова, что если обратить все начальные импульсы,

472 Гл. IV. Уравнения Больцмана, Крука — Бхатиагара — Гросса и др.

то рассматриваемая точка будет двигаться к состоянию с более «испорченным» распределением плотности, чем заданное началь­ ное распределение. (Это состояние должно предшествовать дан­ ному начальному состоянию.)

Пусть известно, что начальное состояние

In (хі, . . ., хЛ-; pt, . . ., ря ; 0)

естественным образом эволюционирует к равновесному состоянию

/р (р1? . . ., рЛ.). Состояние же//?5(xt, . . ., x N; —р4, . . ., —рЛцО)

будет удаляться от равновесия. Законы динамики сами по себе не отдают предпочтения одному из этих состояний. Тем не менее эксперимент говорит нам, что в природе происходит иначе.

Это противоречие явилось источником парадокса обратимости, выдвинутого первоначально в 1876 году Лошмидтом в связи с работой Больцмана. Больцману удалось получить кинетиче­ ское описание, которое согласовывалось с наблюдаемыми необра­ тимыми явлениями в природе, но противоречило основным зако­ нам механики. Парадокс равным образом вытекает из обоих фактов: утверждающей необратимость макроскопических состоя­ ний Ш-теоремы Больцмана (которая вскоре будет обсуждаться) и наблюдаемых необратимых явлений в природе. Парадокс заключается в следующем: каким образом обратимые законы микроскопической механики (законы Ньютона, уравнение Лиувилля) могут приводить к наблюдаемым (релаксация к равнове­ сию) либо формулируемым (оЖ’-теорема Больцмана) необратимым макроскопическим законам?

Другое возражение по поводу результатов, полученных Больц­ маном, которое к тому же придает парадоксальную окраску наблюдаемым необратимым свойствам естественных макроско­ пических явлений, заключено в парадоксе возвратимости Цермело. Этот парадокс основан на возвратной теореме {Wie­ derkehrsatz) Пуанкаре и называется парадоксом возвратимости.

Теорема Пуанкаре утверждает, что изолированная динамическая система с ограниченной энергией и конечными размерами вернется за достаточно большой промежуток времени (называемый време­ нем возврата Пуанкаре) к состоянию, сколь угодно близкому к первоначальному. Однако этот промежуток времени неестествен­ но велик. Для газа, заключенного в сосуд умеренных размеров, время возврата превышает оцениваемый возраст вселенной. В этом смысле данная теорема не противоречит наблюдаемым явлениям — она не имеет к ним отношения. Но очевидно, можно было бы думать, что макроскопический закон будет совместим

стеоремой Пуанкаре; однако второй закон термодинамики, урав­ нение диффузии, <М-теорема Больцмана и другие закономерности

сней не согласуются. (Рассказывают, что столкнувшись с воз­

ражением Цермело, Больцман ответил: «Вам придется долго ждать».)

Итак, в чем же состоит учение Больцмана, которое, несомненно, возбудило негодование пуристов того времени и явилось единст­ венным наиболее важным связующим звеном между полностью обратимым микромиром и несовершенным необратимым макро­ миром? Оно объединяет уравнение Больцмана и его непосредст­ венное следствие — больцмановскую оЖ-теорему, которая, образ­ но выражаясь, возвышается как монумент новаторскому гению Людвига Больцмана (род. в 1844, ум. в 1906).

Оставшаяся часть данной главы посвящена классическим методам вывода и изучению свойств уравнения Больцмана, которое было первым кинетическим уравнением, появившимся в литерату­ ре, и до сих пор является наиболее важным из всех существующих кинетических уравнений.

До настоящего момента мы познакомились с тремя кинетиче­ скими уравнениями. В этой главе мы рассмотрим еще три других: уравнения Крука — Бхатнагара — Гросса, Фоккера — Планка и Ландау. Все они получены сравнительно недавно, большей частью в последние десятилетия. Каждое уравнение определяет по существу один и тот же объект — одночастичную функцию распределения. Поскольку уравнения различны, очевидно, что они применимы в разных областях. Тем не менее мы увидим, что уравнение Больцмана, как ни одно из других, связано со всей совокупностью кинетических уравнений.

Кроме того и помимо возражений, выдвинутых Цермело и Лошмидтом, уравнение Больцмана благодаря работам Чепмена, Энскога и позднее Трэда явилось основой для последовательного получения коэффициентов переноса (см. классическую моногра­ фию Чепмена и Каулинга (1939)). Побочный продукт теории — разложение Чепмена — Энскога и моментный метод Трэда — позволит нам получить замкнутые системы гидродинамических уравнений (например, уравнений Эйлера, Навье — Стокса, Бар­ нетта) и выделить области, где эти уравнения справедливы. Неко­ торые из этих методов будут подробно обсуждаться в гл. V.

Непосредственная цель настоящей главы — ознакомить чита­ теля с теорией уравнения Больцмана. Что касается упомянутых ранее противоречий, связанных с необратимостью, то относя­ щиеся к ним рассуждения Гиббса и Больцмана будут рассмотре­ ны в гл. V.

4.2. Концепция столкновений

Чтобы получить уравнение Больцмана, необходимо более детально ознакомиться с теорией парных столкновений. Столкно­ вения двух частиц можно исследовать в одной из трех систем координат. Ими являются а) лабораторная система координат,

движение центра масс тотчас же может быть определено. Затем определяется и все движение, если известен радиус-вектор г (і). Поскольку Н цм постоянна, ее можно включить в ТГ (г), и при этом уравнения движения останутся теми же. (Законы движения инвариантны относительно смещения потенциала.) Следовательно, мы можем записать, что

веденная масса ц, а координатой—отно­ сительный вектор г = г2 — г4. Сила, действующая на эту квазича­

стицу (или ц-частицу), положение которой совпадает с положением частицы 2, направлена вдоль радиуса-вектора (задачу можно сформулировать и для частицы 1, результат будет тот же).

На [х-частицу действует момент —г х (дТ'Ідг) (относительно начала координат г = 0). Он обращается в нуль, так что угловой момент ц-частицы относительно центра силы сохраняется. Пусть угловой момент направлен по вектору I. Через заданный интервал времени dt вектор г перейдет в г + dr. Угловой момент, соответ­ ствующий этому интервалу времени, будет пропорционален

у (г X dr) = К I — вектору-площади треугольника (г, dr). В сле­

дующий интервал времени радиус-вектор г + dr перейдет в г +

+ dr-\-dr', и угловой момент будет пропорционален у (г -f- dr) X.

в одной плоскости (рис. 4.2). Продолжая рассуждение для после­ дующих моментов времени, придем к заключению, что траекто­ рия г (t) будет плоской.

Начальные данные [rt (0), г2 (0)] и [pt (0), р2 (0)1 определяют

ного движения масс?