книги из ГПНТБ / Либов Р. Введение в теорию кинетических уравнений
.pdf3.6. Радиальная функция распределения |
15 7 |
ная частица не будет находиться в области влияния любой другой частицы. С возрастанием плотности среды это интуитивное пред положение становится все менее справедливым. В предельном случае жидкости оно абсолютно не верно. Дело обстоит так, что классическая теория жидкости в своем развитии за прошедшие 50 лет была сосредоточена главным образом на вычислении объек тов, тесно связанных с парной функцией распределения вр2.
Таким объектом является функция g:
j ^ 2(1»2) d3p2 d3pi = g(xt, x2). |
(3.145) |
Отсюда следует, что |
|
g(xu x2)d3xi d3x2 |
(3.146) |
определяет вероятное число таких пар частиц, что одна из частиц находится в конфигурационном объеме dxt около Xj, а другая — в объеме dx2 около х2. Для жидкости в состоянии равновесия,
когда g изотропна, мы полагаем
І(хі, |
x2) = g(r), |
(3.147) |
r = |
|x2 —Xl|. |
|
В пределе, когда положения любых двух молекул жидкости некоррелированы, мы получим
g d3Xi d3x2= |
d3Xid3x2. |
(3.148) |
Если мы теперь определим |
|
|
8 - |
N ( N - i ) 8’ |
(ЗЛ49^ |
то будем иметь, что в предельном случае отсутствия корреляций
между двумя частицами |
(3.150) |
g ~ 1. |
Функция g называется радиальным распределением.
Представим теперь себе следующий воображаемый экспери мент. Выберем в жидкости наугад две молекулы. Окрасим одну молекулу в красный цвет, а другую — в синий, оставив без изменения все другие свойства молекул. Теперь мы хотим выяс нить вид функции g (г), когда, скажем, красная молекула при ближается к синей из положения, находящегося далеко вне обла
сти влияния красной |
молекулы (г |
г0). Можем ли мы сразу |
|
сказать, что g (г) = 1? |
Да, при условии, что влияние синей моле |
||
кулы на |
красную достаточно мало. Это будет тот случай, когда |
||
(ц)0/кТ о) |
1 (если сила взаимодействия между частицами не отно |
||
сится к |
классу далънодействующих). |
Исключая такие сингуляр- |
|
158 |
Гл. ІІІ. |
Формальны развитие теории кинетических уравнений |
|
ные |
случаи, |
мы |
можем предположить, что g ~ 1 при г г0, |
С другой стороны, |
для г < г0 начинают действовать отталкиваю- |
||
Р и с . 3.11 Вид экспериментальной радиальной функции распределения для инертных жидкостей.
щие ядерные силы и g ~ 0. Экспериментальные кривые, получен
ные для рассеяния рентгеновских лучей в жидкости (рис. |
3.11),. |
|||
|
подкрепляют |
эти |
ин |
|
|
туитивные предположения. |
|||
|
Почему |
радиальная |
||
|
функция |
распределения |
||
|
имеет пик непосредственно1 |
|||
|
в окрестности |
границы |
||
|
ядра, можно легко понять, |
|||
|
если вспомнить |
характер |
||
|
ный вид потенциала |
взаи |
||
|
модействия ф, изображен |
|||
|
ного на рис. 3.12. В |
боль |
||
|
шинстве случаев |
отталки |
||
|
вание является |
результа |
||
|
том принципа исключения |
|||
|
Паули, а притягивающий |
|||
|
«хвост» обусловлен вандер- |
|||
|
ваальсовым |
диполь-ди- |
||
|
польным взаимодействием. |
|||
Р и с . 3.12. Типичный потенциал взаимо- |
Найдем теперь, как вы- |
|||
действия. |
ражаются напряжения че |
|||
|
рез радиальную |
функцию |
||
распределения. В начале этой главы мы обсудили связь между одночастичной функцией распределения и гидродинамическими
|
3.6. Радиальная |
функция распределения |
1 5 9 |
|
переменными. Мы отметили, |
что при определении напряже |
|||
ний |
Р ц был учтен |
только |
кинетический вклад. |
Однако в бо |
лее |
общих случаях |
потенциал взаимодействия |
частиц также |
|
вносит вклад в напряжения. Определение этих напряжений более общего вида приводит нас в конце концов к уравнению состоя ния, записанному через радиальную функцию распределения.
Перепишем уравнение БИі, заменяя импульс р на скорость
^ |
. + І - - ^ + ^ - ^ Л < Р Ь Л = 2 = 0. |
|
(3.151) |
|||
Напомним, что гидродинамическая скорость и |
задается |
соотно |
||||
шением |
|
|
|
|
|
|
|
|
пи = |
j & & d?l |
|
|
|
и что |
|
|
|
|
|
|
|
^ 2 = 2!( 2 ) h = N { N - i ) h . |
|
|
|
||
При переходе к системе координат, движущейся с |
локальной |
|||||
скоростью и , |
уравнение |
(3.151) примет вид (с = |
%— и ) : |
|
||
і |
+< F(<=+v <■) ■ |
+ |
Ж • J - 7 Г Л Л * |
л , = |
0. |
( 3. 152) |
Необходимо отметить, что с не коммутирует с д/дх либо с dldt. Запишем следующие соотношения:
|
|
т j |
= 9 - ^ и , |
|
|
|
т j d4c^ |
= |
d4ci { |
i j CidF + 3F ^ |
) = |
|
|
= m j d 4 ( - Щ CiCidF+ |
c^ - |
é j Ui+ |
CijF - é i w0 = |
|||
|
|
|
|
- ~ é j \ d3cmc^ |
^ |
|
Действуя на уравнение (3.152) |
оператором |
получим |
||||
(Р — т J |
jFd3! — массовая плотность): |
|
|
|||
|
|
öp |
РUl = 0. |
|
(3.153). |
|
|
|
dt |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
(Интегральный член обратился в нуль, поскольку он преобразо вывается в интеграл по поверхности.) Уравнение (3.153) представ
160 Гл. III. Формальное развитие теории кинетических уравнений
ляет собой хорошо известное уравнение неразрывности. Оно выра жает тот факт, что масса данного объемного элемента может меняться только при наличии потока массы через ограничиваю щую этот элемент поверхность. Такая форма уравнений характер на для всех законов сохранения х). Эти законы, будучи записаны в указанной выше форме, вскрывают механизмы, посредством которых происходит изменение во времени рассматриваемых величин. Все уравнения гидродинамики могут быть записаны
втакой форме, для чего надо образовать соответствующие момент ные уравнения (по скоростям) от уравнения (3.152).
Взаключительном разделе данной главы мы рассмотрим момент ное уравнение, которое описывает изменение во времени импульса жидкого элемента. Это просто второй закон Ньютона, записанный
внесколько ином виде.
|
Применяя к |
уравнению |
(3.152) оператор |
j d3cmct, получим |
р |
иі + Р“ г |
иі + |
+ J d%CCi ж ' j |
Gi2i r2d3c2 d3x2= 0, |
|
|
|
|
(3 .154) |
где тензор Pц определяется соотношением (3.5) (индекс К озна чает «кинетический»). Интегральный член имеет вид
І і = j d3cct |
с) = |
= j tP c - ^ c tA t - |
j d?cAt. (3.155) |
Интеграл j d3c (d/dcf) ctA i обращается в нуль, так как он преоб
разуется в поверхностный. Подставляя этот результат в уравне ние (3.154), получим
Р |
+ |
j ) |
Р% ~ j d3cd3c2d3x2G \ ^ 2 = Q (3 .156) |
Произведя интегрирование по скоростям и вспоминая соотноше ние (3.145) и следующие за ним, придем к уравнению
Р { 4 і +щ Ж і ) Ui + i j P % ~ N (ѵ* 1}| 5d*x^ \* S (Х1’ х2> = 0.
, (3.157)
Чтобы привести это уравнение к нормальной форме, положим
p t = —— NV 2 1} \ d3x2G]2g (хи х2), |
(3.158) |
') Эти вопросы значительно подробнее будут обсуждаться в разд. 4.4.
3.6. Радиальная функция распределения |
161 |
где индекс Ф означает «потенциальный». В этих новых перемен ных уравнение (3.157) примет следующий вид:
(3.159)
Из этого уравнения видно, что скорость изменения импульса жидкого элемента (измеренная в системе координат, движущейся с локальной скоростью жидкости и) обусловлена напряжениями, передаваемыми через ограничивающую этот элемент поверхность. На такой элемент жидкого объема т (достаточно малый, так что в пределах т локальная скорость считается постоянной), огра ниченный поверхностью 2 , действует сила
Т |
|
|
= \ dZj j (PcmctCjjp — N |
!) j |
d3xi j d3x2G]2g(xi: x2). (3.160) |
|
т |
У |
Первый интеграл есть сила, обусловленная скоростью переноса импульса через ограничивающую поверхность 2 , а второй инте грал — это сила, обусловленная взаимодействием между моле кулами объема т и внешними к нему. Первый интеграл дает кине тический вклад и зависит только от одночастичной функции рас пределения, в то время как второй интеграл определяется потен циальной энергией взаимодействия между частицами и является функционалом от радиальной функции распределения g и двух частичной силы G12. Э т о т потенциальный член ответствен за любое отклонение от идеального уравнения состояния.
В первом разделе настоящей главы мы ввели скалярное давле
ние
р = у Т г Рк = пкТ. |
(3.161) |
Теперь мы нашли, что в более общем случае
р = 1 Т г ( Р к + і зФ) = пЛГ + |
І Т г Р ф. |
(3.162) |
о |
о |
|
Чтобы записать потенциальную часть тензора Р в обычном виде, положим, во-первых,
где гг является і-й компонентой единичного вектора
г г — Гі |
_ |
г |
(3.164) |
|
|г2 — Гі| |
" |
Г |
||
|
11—01243
162 Гл. III . Формальное развитие теории кинетических уравнений
Подставляя это соотношение в (3.158), получим
- ^ 7 р Ті= - М( уѴ 2Г і] j &3хгГі - £ * ( * ! , х г ) - |
(3.165) |
дг |
|
Чтобы завершить преобразование переменных, введем (см. Грин (1952)) переменную R (рис. 3.13) (xt заме нены на rt):
г = г 2 — |
г ь |
Tj |
R - i г; |
(3.166а) |
|
|
|
|
|
2U |
г2 |
г,, |
r2 = R -^-г; |
(3.1666) |
|
|
d3r2 = |
d3r; |
(3.166b) |
Р и с . 3.13. Векторы г ^(гі, r2) - > g ( R —у |
г,R + у г ) = |
S' (г’ R)‘ |
||
и R. |
|
|
|
(3.166т) |
Вектор R определяет положение середины отрезка между двумя молекулами, а г — радиус-вектор, направленный от молекулы 1
кмолекуле 2. Так как обычно g изменяется медленно вместе с R
впределах молекулярных размеров, то разложение (штрихи
опущены)
g(г, R) = g(r, r1) + (R — r1)--^ -g (r, R) |R= n + • • • =
|
|
= g(r, |
r1) + ^ - - ^ - g ( r , r 1) + |
. ..(3.167) |
должно |
быстро сходиться. Подставляя последнее выражение |
|||
в (3.165), |
получим |
|
|
|
|
_Д_. Дф |
N { N — 1) j |
< P r ^ n ~ £ - g { T , n) |
(3.168) |
|
dt! |
2F2 |
|
|
(первый член обратился в нуль, как интеграл от изотропного векторного поля). Вынося didrt за знак интеграла, будем иметь
р Ф= _ |
j d3rttg (г, Гі) |
, |
(3.169) |
так что |
|
|
|
р * = ± Т т Р ф= ~ |
j d3r |
r g . |
(3.170) |
В однородном изотропном пределе g не зависит от положения молекулы 1; она зависит только от расстояния между молекулами, так что g = g (г). Для N > 1 (что для жидкости всегда выполняет ся) комбинируя последнее равенство с (3.162) и вводя условие
3.6. Радиальная функция распределения |
163 |
однородности и изотропности, придем к соотношению
оо
(3.171)
о
Это есть хорошо известное уравнение состояния жидкости, запи санное через радиальную функцию распределения g.
Задача 3.12. Выяснить, как влияют на давление, передавае мое через поверхность в жидкости, межмолекулярные силы оттал кивания и притяжения.
Задача 3.13. Чему будут равны V . Рф и Р9. в однородном
[g (гі, Гг) = g (г)] изотропном lg = g (r)l пределе? Используйте точное выражение (3.158). Обсудите полученный результат, исходя из принципов симметрии. Следует ли из равновесия однород ность g?
Частичный ответ. Дивергенция обращается в нуль, и, следо вательно, сила взаимодействия в любом малом элементе объема также равна нулю. Чтобы ответить на последний вопрос, надо просто построить пример равновесия с неоднородной плотностью.
В этой главе мы показали, что одночастичное распределение единственным образом определяет макроскопические переменные. Эти макроскопические переменные являются компонентами тер модинамического состояния. Из одной функции получаются все данные, которые необходимо знать в гидродинамике. Если плот ность становится слишком большой, так что межмолекулярные силы вносят вклад в напряжение, как это имеет место в жидкости, то в гидродинамические переменные начинает давать вклад двухчастичная функция распределения.
Двухчастичная функция распределения, неся в себе больше информации, чем одночастичная функция распределения, обла дает и большим числом свойств. Из функции F2 получается Fu для Fг существует счетное множество моментов по скоростям
* (импульсам). Мы встретились только с первым из них, j F2 йрі dp2,
который называется радиальным распределением и имеет крайне важное значение в теории жидкостей. Когда мы имеем дело с жидкостью, то для любого полного гидродинамического описа ния мы должны вводить функции распределения более высокого порядка именно потому, что межмолекулярные взаимодействия становятся существенными. Когда это имеет место, то одночастич ной функции распределения недостаточно, чтобы описать гидро
динамическое |
состояние. То, что жидкость может |
находиться |
в равновесии, |
не умаляет роли межмолекулярных |
взаимодей- |
11*
164 Гл. III . Формальное развитие теории кинетических уравнений
ствий, и чтобы дать полное описание, все еще необходимо знать радиальную функцию распределения.
Это можно представить себе как более подробное описание гидродинамического состояния в анализе Боголюбова. Напом ним, что в анализе Боголюбова «история» газа подразделяется на три этапа. Чтобы описать газ в начальной стадии, необходимо знать не меньше чем ^-частичную функцию распределения. На кинетической стадии, которая наступает после нескольких столкновений, состояние газа определяется одночастичным рас пределением. На конечной, гидродинамической, стадии существен ными являются только первые пять моментов (по скоростям) функции Fi, т. е. р, u, Т . Для более плотного газа вклад межмоле кулярных сил в функцию распределения, а следовательно, и в гид родинамические переменные становится существенным. В этом случае идеальная боголюбовская последовательность описатель ных интервалов увеличивается, так что конечные стадии иссле дуются более подробно, и для полного описания необходимо знать некоторые свойства функции F2-
Теория двухчастичного распределения, так же как и распре делений более высокого порядка, может быть рассмотрена в рам ках корреляционных функций. Эти функции определяются как разность между Fs и некоррелированным факторизованным рас-
S
пределением [} Ft (I). Корреляционная функция характеризует
г=1
свойства функции распределения. Например, зная двухчастичную корреляционную функцию, мы не можем определить двухчастич ную функцию распределения. Наиболее просто в этом можно убедиться, полагая = 0; в этом случае мы знаем только, что F2= FiFi. Разумеется, две функции Fi и %2 определяют F2, так что разложения, из которых сначала находится Ft, а затем %<і, дают нам много информации. Другим свойством F2 является радиальная функция распределения g (гь г2), которая связана только с совместной вероятностью в пространстве конфигураций. Когда и потенциальное взаимодействие вносит вклад в напряже ния (дополнительно к кинетической компоненте), единственной частью F2, через которую выражаются напряжения, является радиальное распределение.
Выяснив, какую роль в макроскопической физике играют функции распределения низшего порядка, мы приступим теперь к получению других уравнений для одночастичной функции рас пределения. Пока мы познакомились со следующими кинетиче скими уравнениями: с уравнением свободно-молекулярного течения
(совпадающим по форме с одночастичным уравнением Лиувилля); с уравнением Власова и очень кратко (как упражнение в анализе Боголюбова) с уравнением Больцмана. Последнее уравнение,
Список литературы |
165 |
а также уравнения Крука — Бхатнагара — Гросса и Фоккера — Планка детально исследуются в гл. IV, где рассматриваются и другие, тесно связанные с ними кинетические уравнения.
|
|
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ |
|
|
|
А. |
Радиус Дебая |
Дебай, Гукель (Debye Р., Hiickle Е.) |
|||
(1923) |
Physik. Z., |
24, 185, 305. |
|
Либов (Liboff R. L.) |
|
|
|
(1959) |
Phys. Fluids, |
2, 40. |
|
Лэндшофф (Landshoff R.) |
|
||
(1949) |
Phys. Rev., |
76, 904. |
|
Маршак (Marshak R. |
E.) |
|
|
(1941) |
Ann. N. Y. |
Acad. Sei., |
41, Art. 1, 49. |
Спитцер, Коэн, Роутли (Spitzer L., Jr., Cohen R.S., Routly P.) (1950) Phys. Rev., 80, 230.
Б. Анализ Боголюбова
Боголюбов H. Н.
(1946) Проблемы динамической теории в статистической физике, М.— Л., Гостехиздат.
Коэн (Cohen Е. G. D.)
(1962) Fundamental Problems in Statistical Mechanics, ed. by E. G. D. Co hen, New York, Wiley
Уленбек |
(Uhlenbeck |
G. E.) |
|
(1959) Probability |
and Related Topics in Physical |
Sciences, compiled by |
|
M. Kac, New York, Wiley. Русский перевод: Кац М., Бероятность |
|||
и |
смежные |
вопросы в физике, М., «Мир», |
1965. |
В. Кинетические уравнения и групповые разложения
Балеску (Balescu R.) (1960) Phys. Fluids, 3, 52.
Гернсей (Guernsey R. L.)
(1960) Ph. D. dissertation, University of Michigan.
Трэд (Grad H.)
(1958) Handbuch der Physik, vol. XII, Berlin, Springerverlag.
166 Гл. III . Формальное развитие теории кинетических уравнений
Делькруа (Delcroix |
J. L.) |
|||||
(1965) |
|
Plasma Physics, Wiley, New York. |
||||
Дюпри (Dupree T. H.) |
|
|||||
(1961) |
|
Phys. |
Fluids, |
4, |
696. |
|
Ленард |
(Lenard A.) |
|
|
|||
(1960) |
|
Ann. Phys. (N.Y.), 3, 390. |
||||
Либов (Liboff R. L.) |
|
|
||||
(1965-66) |
Phys. Fluids, |
8, 1236 (1965); 9, 419 (1966). |
||||
Либов, Пирона (Liboff R. L., Perona G.) |
||||||
(1967) |
|
J. Math. Phys., 8, 2001. |
||||
Майер Дж., Майер M. (Mayer J. E., Mayer M.G.) |
||||||
(1940) |
|
Statistical Mechanics, New York, Wiley. Русский перевод: Майер Дж., |
||||
|
|
Гепперт-Майер М., Статистическая механика, М., ИЛ, 1952. |
||||
Монтгомери, Тидмен (Montgomery D., Tidman D.) |
||||||
(1964) |
|
Plasma Kinetic Theory, New York, McGraw-Hill. |
||||
Ростокер, Розенблют (Rostoker N., Rosenbluth M. N.) |
||||||
(1960) |
Phys. |
Fluids, |
3, |
1. |
||
Стелл |
(Stell |
|
G.) |
|
|
|
(1964) |
|
The |
Equilibrium |
Theory of Classical Fluids, ed. by H. Frisch and |
||
|
|
J. Lebowitz, New York, Benjamin. |
||||
Сэндри |
(Sandri G.) |
|
|
|||
(1963) |
|
Ann. Phys. (N. Y.), 24, 332. |
||||
Урселл |
(Ursell H.) |
|
|
|||
(1927) |
Proc. Camb. Phil. Soc., 23, 685. |
|||||
Фриман |
(Frieman E. |
A.) |
||||
(1963) |
|
J. Math. Phys., 4, 410. |
||||
Чен (Tchen С. M.) |
|
|
||||
(1959) |
|
Phys. |
Rev., 114, |
394. |
||
Г. Теория жидкостей и радиальная функция распределения
Де Боер (de Boer J.)
(1949) Repts. Prog. Phys., 12, 369.
Борн, Грин (Born M., Green H. S.)
(1949) A General Kinetic Theory of Liquids, Cambridge.
Грин (Green H. S.)
(1952) The Molecular Theory of Fluids, Amsterdam, North Holland.
Зумино (Zumino B.)
(1959) Phys. Fluids, 2, 20.
Орнстейн, Зернике (Ornstein L. S., Zernike F.) (1941) Proc. Amst. Acad. Sei., 17, 793.