книги из ГПНТБ / Либов Р. Введение в теорию кинетических уравнений
.pdf3.3. Групповые разложения |
147 |
Сохраняя в них только члены низшего порядка, получим:
( |
± - + |
k t ) F, (1) = aßÂiFj (1) Fl (2), |
(3.97а) |
||
( ~ + |
к г) F, (1) F, (2) = а ßÂ2F, (1) F, (2) ^ (3), |
(3.976) |
|||
/Л |
\ |
S |
«“И |
(3.97в) |
|
|
+ & ) |
Д Л (0 = aßÂs П ^ (0- |
|||
Легко показать, что система (3.97) взаимно согласована. Для этого рассмотрим два простых равенства:
( ж + * 0 1 1 / . « =
г — 1
s |
|
|
= 2 ^і(І) |
.. . Ft (Z-l)Fi(Z + |
l) . .. Fi (s)(-§T + K [ ) F l (l) (3.98) |
г = 1 |
|
|
и |
|
|
S+1 |
S |
|
Ä, П F i ( i ) = 2 ^і(І) . . . F i i l - V F l i l + i) . . . |
||
і = і |
г=і |
|
|
. . . F , ( s ) A i r , ( l ) F , p + i), |
|
|
 i ^ - ^ - j d ( s |
+ l)G ,.„,. |
Задача 3.5. Доказать справедливость формул (3.98) и (3.99).,
Подставляя эти соотношения в (3.97в), получим:
2 ^ і ( 1 ) . . . F i ( l - i ) F i (l + 1) . . . Fi(s){-§r + K [ ) F l ( l ) ^
S
= aß 2 F i(1) . . . ^ Д - 1 ) Л ( г + 1) --V
г= 1
. . . Л (в) ÂiFj (Z) ( s - f 1), (ЗЛОО)
Xiли, что эквивалентно,
S n ^ [ ( 4 - + /e‘) ?i(Z)_aß 'Fl(Z)i?l(s+1)] :=0- (3-10l)
Член в квадратных скобках обращается в нуль согласно (3.97а). Отсюда следует, что уравнению (3.97в) удовлетворяет та же самая функция F b которая удовлетворяет уравнению (3.97а). Таким образом, система (3.97) совместна. При данном апостериор-
10*
148 Гл. III . Формальное развитие теории кинетических уравнений
ном подходе мы убедились, что в предельном случае а ~ е и р ~
~ е-1 |
предположение о факторизации F (0) в разложении |
(3.78) |
не приводит к противоречиям. |
|
|
Отметим следующее различие между случаями (б) и (в). Для |
||
случая |
(б)> когда а ~ е, ß ~ 1, сила взаимодействия |
между |
частицами не входит в уравнение нулевого порядка (3.80) и мы получаем решение в виде свободно-молекулярного течения. Только р ш ь когда учитываются члены О (е), начинают действовать опе
раторы Ѳ8 и As и частицы «видят» одна другую. Это противополож но случаю (в), когда интенсивность взаимодействия все еще зна чительно меньше тепловой энергии (а ~ е), но радиус взаимодей ствия очень велик (ß ~ е-1). Вследствие этого уравнения наинизшего порядка (3.97а) характеризуют непосредственно влияние соседних частиц. Однако из развитой нами теории как раз следует, что уравнения первого порядка для ІД (3.82а) в случае (б) (ß ~ 1; умеренный радиус взаимодействия) имеют тот же вид, что и урав нения наинизшего порядка для Ft (3.97а), в случае (в) (ß ~ в-1, очень большой радиус взаимодействия).
В последнее время этому уравнению уделяется много внима ния, а для нас оно представляет особую важность, поскольку является кинетическим уравнением, которое, как было пока зано, формально следует из ББКГИ-системы. По причинам, которые для нас уже вполне очевидны, уравнение (3.97а) часто называют бескорреляционным уравнением.
3.4. Определение кинетического уравнения. Самосогласованные решения
Используя метод разложения около нулевых корреляций между частицами, мы впервые сталкиваемся с кинетическим урав нением. Кинетическим является любое уравнение вида
^ - = M[ F 1)1 |
(3.102) |
где М — известный функционал, отображающий F1 на функции от (р, X , Г, Fi). Исходной формой любого кинетического урав нения является БИд:
^ + ѵ І ^ о л а . г ) (з.юз,
(в размерном виде).
Чтобы получить из него кинетическое уравнение, необходимо ввести некоторую аппроксимацию для F2, т. е. мы должны вычис
лить |
(3.104) |
F2 = F2 (1, 2; Fi) |
3.4. Определение кинетического уравнения |
149 |
и получить Fг как некоторый известный функционал от F\. Внося (3.104) в (3.103), получим кинетическое уравнение:
dFj_ |
Pi |
dF1 |
7 ^ 7 ' j d2GÄ ( l , |
2-F,). . |
(3.105) |
dt |
m |
öxj |
|||
Мы нашли, |
что в пределе, |
когда^а - v e, ß |
1, е, е~\ |
уравне |
|
ние, которое получается для Ft при разложении^ около нулевых корреляций (ср. (3.82а) и (3.97а)), имеет такой вид:
dF1 |
■ pi _ dFt |
T l f c - j d 2 G lzFl(l)Fl\(2) = 0 (3.106) |
d t |
' т ö x j |
(переменные размерные).
Это уравнение известно как уравнение Власова и широко исполь зуется в теории высокотемпературной плазмы. Оно также приме няется в теории кристаллических структур (Власов (1961)), теории конденсации (Либов (1963)) и в кинетическом описании теории Ньютона — Джинса образования звезд (Линден-Белл (1962)). Объединяющее общее свойство всех таких приложений связано с коллективными взаимодействиями и дальнодействующей природой доминирующих сил.
Уравнение Власова (3.106) можно привести к более традицион ной форме записи, если вспомнить, что числовая плотность п (х, t)
задается через Fі соотношением (ср. с (3.1)) |
|
n( x, t ) =: y J Ft dp. |
(3.107) |
Кроме того, если мы определим среднюю силу G (х) в точке х как |
|
G (xj) = j п2(х2) G12 (xl7 х2) dxz, |
(3.108) |
то интеграл в уравнении (3.106) можно выразить через G и Fp.
j d3x2d3p2G12{xl7 х2) Fi =
= ~ F 1( i ) . ^ d 3x2Gi2n(x2) = - ^ - F 1 ( l ) . G ( X i ) . (3.109)
Теперь уравнение (3.106) можно записать так:
1 L |
+ |
J L . 1 L + |
^ . g = o , |
(3.110) |
|
dt |
' |
т |
dx |
dp |
|
G (Хі) = |
j |
G12 (xj, x2) n (x2) d3x2, |
(3.111) |
||
vn (x2) = ^ F i |
(2)d3p2. |
(3.112) |
|||
Интересно сравнить уравнение Власова с уравнением Лиувилля для одной частицы в силовом поле, потенциал которого равен
150Гл. III . Формальное развитие теории кинетических уравнений
Ф(х), т. е.
°М = - Т й г ф (х)-
Вэтом случае гамильтониан системы имеет вид
я = = - £ г + ф (х) <ЗЛ13)
и соответствующее «одночастичное уравнение Лиувилля» будет таким:
— j -ЛЕ- 1 L — ÉIL — |
(3.114) |
dt ^ др ’ дк дх др |
|
Очевидно, что оно совпадает с уравнением (3.110). Следовательно, уравнение Власова описывает динамику одиночной частицы в поле средней силы. Это поле является результатом осреднения двух частичного взаимодействия по плотности оставшихся частиц. Сила G в уравнении Власова (3.110) является функционалом от F, что видно из соотношений (3.111) и (3.112). Силовое поле G, которое присутствует в одночастичном уравнении Лиувилля, приложено извне и от F не зависит. В так называемой «теории орбит первого порядка» мы считаем силовое поле в уравнении Власова известным и постоянным, и в этом случае уравнение Власова вырождается в одночастичное уравнение Лиувилля. А решением уравнения Лиувилля является плотность точек системы в Г-пространстве. В данном случае каждая система — это одиночная частица, поэтому в таком простом случае и Г- и р-пространства являются шестимерными. К тому же динамика ансамбля будет идентична динамике множества невзаимодействую щих частиц, эволюционирующих под влиянием внешнего потен циального поля. Решением являются «орбиты первого порядка», которые дает уравнение Власова в случае силы G, не завися щей от F .
Так как уравнение Власова описывает движение частицы под влиянием силы, осредненной по всем оставшимся частицам, то можно предполагать, что траектория частицы будет гладкой. Это можно показать, найдя решение уравнения (3.110). Из преды дущих рассмотрений в гл. II нам известно, что самое общее реше ние этого уравнения будет являться функцией решений характе ристических уравнений х)
dx _ dp
(3.115)
р/т ~ G (х) ’
которые представляют собой уравнения орбит одной частицы,
0 Обозначения таковы, что
3.4. Определение |
кинетического уравнения |
151 |
|
Исключая р, получим: |
|
|
|
d2x |
п / \ |
0Ф |
|
(3.117)
Это уравнение дает интеграл
(3.118)
Полученные формулы показывают, что для Ф, гладкой по х и t, производная dx/dt будет гладкой. То же справедливо и для х (t) (в определенных пределах). Помимо этого, мы заключаем, что любая функция вида
F = f ( ^ + ®( x) ) ^ F { E ) |
(3.119) |
является решением уравнения Власова, если потенциал Ф удов летворяет уравнению
= - 1 j F (х2, р2) G12 (Xi, х 2) сР х 2 d*p2. |
(3.120) |
Это пример самосогласованных уравнений. Задавая Ф, мы можем затем получить F согласно (3.119). Эти функции определят Ф
Р и с . 3.8. Стационарные самосогласованные решения уравнения Власова.
через уравнение (3.120). Будет ли это тот самый потенциал Ф, который мы задали вначале? Если это так, то мы нашли самосогла сованные поле и распределение (рис. 3.8).
Более часто уравнение Власова встречается в форме (3.110)— (3.112). В эти уравнения входят три переменные — F, G и п. Самосогласованность здесь проявляется в следующем. Функция F определяет G и п через уравнения (3.111) и (3.112). Поле G опре деляет затем F из (3.110). Полученное значение F должно сов пасть с первоначальным (рис. 3.9).
Другие интерпретации уравнения Власова можно получить, сравнивая его с BHj. Интегралы в уравнении Власова и в урав
152 Гл. III. Формальное развитие теории кинетических уравнений
нении БИ-, соответственно равны |
|
/в= Л (1) J Fi (2) G12 (х ь х 2 ) d*x2 dsp2, |
(3.121) |
•^БИі= j F2(1>2) G12 (xi, x2) <Px2 d3p2. |
(3.122) |
Оба интеграла определяют средние силы в точке xt. В первом интеграле интенсивность источника для силы взаимодействия двух частиц около состояния s2 равна Fx (2) d2 и не коррелирована с частицами около zt. В / бщ интенсивность источника около
Р и с . 3.9. Самосогласованная схема для уравнения Власова.
состояния z2 характеризуется величиной F2 (1, 2) d2 и зависит не только от частиц в состоянии z2, но также и от частиц в Ъ\. В описании Власова типовая частица в каждый момент времени «ощущает» силовое поле, создаваемое остальными, мгновенно зафиксированными частицами системы, которые в этот же самый момент не коррелируют с типовой частицей. В уравнении БИ! частицы системы, напротив, коррелируют с типовой частицей. Напомним, что для вывода уравнения Власова из BHf мы просто полагаем Р2 — FXFt, или, что эквивалентно, %2 — 0.
Если имеется внешняя сила К (х), которая действует на рас смотренную выше систему частиц, уравнение (3.110) заменяется следующим:
Сила К не является самосогласованной. Это известная заданная сила. В таком случае (3.119) примет следующий вид:
(3.124)
где
(3.125)
(3.126)
3.5. |
Формальное |
выражение |
для fëz |
в однородном |
пределе |
153 |
Задача |
3.6. Пусть |
сила взаимодействия G12 = к (г2 — Гі)г_ІѴ, |
||||
где I г 4 — ■г 2 I = г и |
к — постоянная. |
Внешний |
потенциал — |
|||
линейный гравитационный, 'Р = |
mgz. Он одномерный и возрастает |
|||||
с высотой. «Барометрическая формула» получается, если задать F |
||||||
следующим |
образом: |
|
|
|
|
|
|
|
( |
- | і + ¥( хЛ |
|
(3.127). |
|
|
F0 = Aex Y>y |
-----J . |
|
|||
Оценить погрешность между этим значением F0 и самосогласован ным решением F. Отметим, что постоянная нормировки А такова, что интеграл от F0 по всем импульсам и по цилиндру бесконечной высоты с единичной площадью поперечного сечения равен единице.
Задача 3.7. Вывести ББКГИ-уравнения, учитывая потенциал Ч*1(х), так что гамильтониан системы имеет следующий вид:
г = 2 т 2 - + 2 2 ч > « + 2 ч ' < * . ) -
I—1 іфз і—1
Задача 3.8. Показать, что уравнения Власова динамически обратимы. То есть если F (р, х, t) — решение, то F (—р, х, —t) также будет являться решением.
3.5.Формальное выражение для
воднородном пределе
Влюбом из предшествующих разложений около нулевых корреляций мы сталкивались с проблемой, как найти ff2, если известна Fx. В данном разделе мы исследуем метод, позволяющий это сделать. В частности, будет рассмотрен предел Розенблюта — Ростокера. Большая часть анализа проводится согласно работе Дюпри (1961). Получаемые результаты служат также индуктив ным обоснованием гипотез Боголюбова.
Уравнения, которые в указанном предельном случае (слу чай (в), уравнения (3.96); безразмерный вид; верхние индексы
опущены) связывают *ё2 с Fі, имеют вид
( - |- + l |
1) F 1= aßÂ1[F1( l) /’1(2) + |
8^2(l, 2)], |
(3.128). |
|
( - ^ + Х2 ) [Л (1) |
(2) + eff2 (1, 2)] - |
«*Ѳ2а д |
= |
|
= aßÂ2 [ л ( 1 ) Л ( 2 ) Л ( 3 ) + е |
2 |
( № ( / , * ) ] |
, (3-129) |
|
|
|
PU, i, k] |
|
|
где P |
[i, |
i, |
к] — перестановка из чисел 1, 2, 3, такая, что ff2 (/, к) |
и ff2 |
(к, |
]) |
подсчитываются только один раз. Предположим, что |
154 Гл. III. Формальное развитие теории кинетических уравнений
мы решили уравнение низшего порядка, т. е. уравнение Власова, для F1. Если мы теперь подставим это решение в последние два уравнения, то в результате получим:
О = aßÂi<ë 2(1, 2) = — |
J d 2 G M l , 2), |
(3.130) |
|||||
|
(1> 2) —аѲ2Е1 (1) Fi (2) = |
|
|
|
|
||
= aßÂ2 [Fj (1) |
(2, 3) + Fi (2) « 2 (3, 1) + ^ |
(3) %2(1, 2)]. |
(3.131) |
||||
Переписывая уравнение (3.130) в виде |
|
|
|
||||
|
|
|
jdÄGifttf2(i,A)=0 |
|
(3.132) |
||
и подставляя в (3.131), получим |
|
|
|
|
|||
( ± + К2) ^ 2 (1, 2) - |
a é 2FI (1) Fi (2) = |
|
|
|
|
||
= - a ß |
[■— |
■j |
d3Gi3 [Fi (1) % (2, 3) + |
(3) <ë2(1, 2)] -(- |
|||
+ |
^ - . |
j |
d3G23 [ ^ ( 2 ) ^ ( 3 , |
1) + |
^ ( 3 ) « 2(1, 2)]]. |
(3.133) |
|
Задача 3.9. Третье уравнение (т. |
е. |
БИ 3) в системе |
(3.128) |
||||
опять является уравнением для Fi и $ 2. Установить, будет ли это уравнение излишним.
Обычно в данном месте исследования вводится ограничение, а именно предполагается пространственная однородность функции Fi, так что dFJdxi = 0. Функция Ft зависит только от импуль сов. При таком ограничении два интеграла в уравнении (3.133) обращаются в нуль:
j й З а д ( Р з ) « 2 (1, 2 ) = j d3G23Fi ( Р з ) <ё2(1, 2) = 0. (3 .134)
Чтобы получить эти равенства, достаточно рассмотреть в них интегрирование только по пространству конфигураций. Сила
имеет вид
Gu = гф (г),
(3.135)
г = хг — Xj.
Рассмотрим первый интеграл. Конфигурационная часть этого интеграла в сферических координатах с началом в частице 1 запи шется так:
Fi (Рз) ^2(К 2) j j j гф (г) d cos Ѳс2фг2 dr = 0. |
(3.136) |
Интеграл равен нулю, поскольку подинтегральное выражение представляет собой изотропное векторное поле. Аналогичный
3.5. Формальное выражение для |
в однородном пределе |
155 |
результат получается для второго интеграла, если начало коорди
нат выбрать в частице 2. Подставляя оба результата в уравнение
(3.133), получим:
( Ж + ( |
1 >2) + aß [-А - F, (Pl)- j d3G13« 2 (2, 3)„+ |
|
|||
+ |
-^7 Fi Ы - J d3G„*t (3, |
1)] = а а д (Pl) Ft (pa), |
(3.137) |
||
или, что то же, |
|
|
|
|
|
W «з a . 2) + [ £ • |
+ сф |
F, ( р . ) |
j ЙС „] в , ( , 2) + |
|
|
+ |
|
+ |
|
■1>= |
|
|
|
= а р-Ч2’ ~ |
~ ~ |
J ^ i (Pi) ^ i (Рг)- |
(3.138) |
Обозначения таковы, что
[■S—sr+ ttP-4r^*(p.) 5 азс„]«г( , 2>=
= |
^ (! •>2) + 1“ß ^ 7 F l' 1 d 3 G A (3 ’ 2) ^ ^ 2- (3-139) |
Опущенные аргументы таковы, что при их подстановке соответст вующие операторы становятся некоммутирующими с $ а. Среднее равенство в (3.139) служит для определения оператора Â t. Полагая
далее І(р2/пг)- (д/дх2) + aß (З/Зр2)-Fi (р2) j d3G23]<62( . 1) = Ä 2%2,
введем оператор |
|
И = Л + Н2. |
(3.140) |
Тогда уравнение (3.138) примет вид |
|
( - | ~ М ) « 8=Я, |
(3.141) |
где через S обозначен неоднородный член в правой части уравне ния (3.138). Такая форма уравнения была получена Дюпри.
Задача 3.10. |
Установить, |
является |
ли обратимым |
уравне |
ние (3.141). |
|
|
|
|
Задача 3.11. |
Показать, что А^А2 —А 2А^ |
|
||
Уравнение (3.141) легко |
разрешить |
относительно |
fë2, если |
|
мы заметим, что Â не зависит явно от времени, а exp At является интегрирующим множителем. Интегрируя от 0 до t, получим
156 Гл. III . Формальное развитие теории кинетических уравнений
решение |
|
< |
|
<ë2(t) = [ eÂ(x-t)S(T) dT+ e-Ât£2(0), |
(3.142) |
b |
|
а |
|
t |
|
<ë2(t) = j е-1і(і-т)е-І2((-т)15' (x) + e~^lte -^2t<ë 2(0). |
(3.143). |
о
Последнее равенство справедливо, поскольку операторы At и А 2 коммутируют. Уравнение (3.142) представляет собой формальное обращение уравнения (3.138) через
|
операторы Âi и Â2. Это решение при |
|||
|
нимает более простой |
вид, когда в |
||
|
начальном состоянии газа можно пре |
|||
|
небречь корреляцией между части |
|||
|
цами, так что F2 (0)=FiFi ж%2 (0)=0. |
|||
|
Кроме того, мы можем ввести пред |
|||
|
положение |
адиабатичности, которое |
||
Р и с. 3.10. Предположение |
состоит в |
том, |
что Fj |
(t) пренебре |
адиабатичности. |
жимо мало меняется за время, необ |
|||
|
ходимое для изменения Чо2(рис. 3.10). |
|||
Это аналогично боголюбовскому описанию |
кинетической стадии, |
|||
когда все распределения высшего порядка |
сводятся к функцио |
|||
налам от одночастичной функции распределения F |
При таких |
|||
ограничениях (3.142) примет следующий вид: |
|
|||
t |
|
|
|
|
Чёг (t) = J e-Âi(t-T)e-ls(t-T) dxS (0). |
(3.144) |
|||
о
Поскольку член типа источника S — известный функционал от Fi, уравнения (3.142), (3.143) или (3.144) определяют %2 как функционал от Fi и, следовательно, F2 также будет являться функционалом от Р1ш Таким образом, мы пришли к уравнению в форме (3.20) для s = 2, что некоторым образом подтверждает гипотезу Боголюбова. Тот материал, который мы здесь рассмот рели, конечно, не исчерпывает анализа Дюпри. Так, в случае кулоновского потенциала из анализа Дюпри получается явное выражение для %2, что приводит к уравнению Балеску — Ленарда, которое будет рассмотрено в гл. IV.
3.6. Радиальная функция распределения и уравнения состояния
Для достаточно разреженного газа обычно полагают, что аппроксимация F2 = FiFi справедлива большую часть времени. Это означает, что большую часть времени всякая наугад выбран-