книги из ГПНТБ / Либов Р. Введение в теорию кинетических уравнений

Если состояния двух частиц не зависят одно от другого, то гово­ рят, что эти частицы не коррелированы. Мера влияния состояния одной частицы на состояние другой частицы (отличной от первой) определяется корреляцией между частицами. Равенство (3.67) справедливо в предельном случае, когда корреляция отсутствует. Отклонение функции F2 (1, 2) от факторизованной формы

Fi (1) Fi (2) называется корреляционной функцией с62. Таким образом,

Если <ё 2 мала по сравнению с Fi (1) F2 (2), состояния частиц 1 и 2 являются независимыми. Ясно, что это будет иметь место в случае «большого» удельного объема ѵ при условии, что газ однородно заполняет конфигурационное пространство. Этот результат можно сформулировать более точно с помощью г0 — радиуса потенциала межмолекулярного взаимодействия ср и средней тепловой скоро­

сти У кТ /т (к — постоянная Больцмана, Т — температура, m — масса частицы). Если ѵ — средний объем, приходящийся на одну частицу, то при ѵ, большом по сравнению с г„, каждая из частиц «не подозревает» о существовании другой. В этом случае соответ­ ствующим малым параметром будет Ei — (г®/у).

Классический механизм взаимодействия между частицами осу­ ществляется через потенциал <р. Если температура такова, что кинетическая энергия значительно превышает потенциальную, то последняя не будет играть роли в изменении фаз рассеиваю­ щихся частиц. В этом случае малым параметром является е2 = = сро/кТо, где фо — «напряженность» потенциала.

Существование в различных предельных случаях малых корре­ ляций между частицами было использовано Сэндри для приведе­ ния ББКГИ-уравнений к безразмерному виду. Получающаяся в результате теория одновременно и формальна и иллюстративна. Введем сначала обозначение, в котором последовательность ББКГИ-уравнений (3.19) примет следующий вид:

Здесь щ — ѵ 1 и оператор Âs определяется равенством

(3.69)

138 Гл. II I . Формальное развитие теории кинетических уравнений

При такой записи уравнений выявляется только действие параметра п0. Однако рассматривать предельный случай большого размерного удельного объема физически бессмысленно. Корректно только лишь сравнение ѵ с некоторым известным постоянным объемом.

Для того чтобы устранить все размерные параметры в урав­ нении (3.71), мы должны привести к безразмерному виду все переменные, входящие в это уравнение. С этой целью введем без­ размерные (отмечаемые значком ~ ) переменные:

х = г0х,

Расстояние r0 — это радиус потенциала взаимодействия. Определе­

ние безразмерной силы G и потенциала ср обеспечивает согласован­ ность введенных переменных.

Подставляя эти новые переменные в уравнение (3.71), получим

( I Ц = ( « л Ш â â « - <3 -74)

Опуская значки «тильда» (все переменные и операторы являются безразмерными), придем к ББКГИ-уравнениям в форме Сэндри:

( + K s — a ë s) Fs = aßÂsF s+I,

Эти уравнения имеют два характерных физических параметра: q>JkTQ и п3г\. Область, представляющая физический интерес, полностью исчерпывается, если позволить этим параметрам при­ нимать значения, равные по порядку величинам е-1, 1 и е (г — бесконечно малая). Возникающие в результате девять возможных случаев представлены на рис. 3.6.

140 Гл. II I . Формальное развитие теории кинетических уравнений

Эти формулы обладают следующим свойством:

s

Fs -> II Fl (1), при «г -> о, 2 < і < S.

і=і

Кроме того, если из данной группы частиц выделяется некото­ рая подгруппа, то функция распределения этой группы частиц соответствующим образом разлагается на множители. Предполо­ жим, например, что в группе из четырех частиц (1, 2, 3, 4) частицы 1 и 2 находятся каждая в области влияния другой, но далеки от частиц 3 и 4. Каждая из последних двух частиц, подобно первым двум, находится в области влияния другой. Такое состояние характеризуется следующими соотношениями:

Подставляя эти выражения в последнее из равенств (3.76), полу­ чим

Рассмотрим также другое часто встречающееся представление корреляционных функций. Оно соответствует так называемому разложению Кирквуда, хорошо известному химикам-теоретикам. Корреляционные функции в этой схеме обозначаются через

%(1, 2), h (1, 2, 3), А (1, 2, 3, 4) и т. д. Они определяются сле­ дующим образом:

F2 (1,2) = Fi (1)F i (2) 11 + * (1,2)1,

^з(1, 2 ,3 )= F 1(\)Fl(2)Fi(3) [1 + f (i, 2 )+ ?(2,3)+?(3,4)+4(1, 2,3)].

Предположим, что рассматриваемая система бесконечно близка к состоянию с нулевыми корреляциями. В таком случае «все I- частичные корреляционные функции имеют порядок е и выше, так что

ного газа), то представленное выше разложение справедливо для

состояний, близких к равновесию. Рассмотрим теперь некоторые из предельных случаев, изображенных на рис. 3.6.

Случай а: ß = О (г), а = О (1).

Если положить ß = п0г30 = е, то система уравнений (3.75) сведется к следующей (удержим только члены наинизшего порядка по г):

Имеем N уравнений для одной неизвестной функции Fr. В этом случае нетривиальное решение возможно, только если уравне­ ния совместны. То же самое справедливо относительно всех раз­ ложений ББКГИ-системы около нулевых корреляций. Данное условие существования нетривиального решения следует из пред­ положения о форме ведущего члена в разложениях (3.78), соглас-

S

но которому F™ = [J Fi (I). Совместность уравнений нулевого і=і

порядка является необходимым условием факторизации Es0’.

Задача 3.3. Установить, являются ли совместными уравне­

Эта согласованная система уравнений имеет решение в виде свободно-молекулярного течения:

где ф — любая функция от х — (р/m) і и р. Таким образом, реше­ ния уравнений (3.80) постоянны вдоль траекторий свободных частиц р = ро и X — (p/те) t = х0.

Полученный результат имеет силу, когда ß ^ О (1), так что решение пригодно для областей (8, е) и (е, 1) (рис. 3.6). Следова­

142 Гл. I I I . Формальное развитие теории кинетических уравнений

тельно, г„ может быть порядка гс0_1/3 при условии, что напряжен­ ность потенциала много меньше кинетической энергии кТ 0. Пер­ вые два уравнения системы (3.75) до членов О (е) включительно имеют вид:

Получающуюся в результате систему уравнений в принципе очень легко решить. Во-первых, ІД получается из (3.82а). Когда Ft найдена, оставшиеся уравнения все являются неоднородными уравнениями следующего вида:

в соответствии со следующей схемой (до членов О (е) включительно):

Полезно, между прочим, отметить одно важное свойство корреля­ ционных функций %і (1,2, . . ., I). Рассмотрим уравнение, опре­ деляющее

Но функция Fi в свою очередь определяется через F2-

Сравнивая последние два уравнения, заключаем, что

Аналогичные утверждения справедливы для %ѣ, s > 3 . Эти усло­ вия могут служить дополнительными уравнениями в любом данном методе разложения. Они определяют ограничения, нало­ женные на корреляционные функции. Так, например, из усло­ вия (3.86) следует, что не может быть четной функцией по всем из своих аргументов.

и Ростокером (1960) при исследовании соответствующих урав­ нений для высокотемпературной плазмы. Плазмой называется состояние вещества за пределами атомарной газообразной фазы. Когда атомарный газ нагревается выше некоторого предела, появляется механизм, который непрерывно поглощает кинетиче­ скую энергию хаотического движения. Это подобно энергии диссоциации в жидкости с полукристаллической структурой, кото­ рая является как бы каналом для непрерывного поглощения энергии при переходе из жидкого состояния в газообразное. При переходе в плазменную фазу поглощающим каналом является механизм ионизации, и в новой фазе частицами будут положи­ тельные ионы и отрицательные электроны. Законы, управляющие поведением плазмы, так же сильно отличаются от законов газо­ образной фазы, как законы газообразной фазы отличаются от зако­ нов жидкой фазы. Силы взаимодействия в плазме — кулоновские. Они отличаются от всех других сил взаимодействия между части­ цами очень большим радиусом действия. Эти две характеристики — дальнодействие и высокая температура — дают возможность пред­

цаемость вакуума. Радиус г0 и напряженность ф0 взаимодействия

146 Гл. II I . Формальное развитие теории кинетических уравнений

Если и сравнительно однородны в областях, где они отличныі

вто время как в области низких температур

икорреляции более высокого порядка могут быть значительными.

Это простое эвристическое рассуждение показывает, что в неко­ торых предельных случаях корреляционные функции можно упо­ рядочить по величине в соответствии со степенью рассматриваемой корреляции. Пределы задаются посредством введенных ранее коэффициентов а и р . Интересно отметить, что даже в таком очень простом представлении мы встречаемся с трудностью, которая появляется в сингулярном пределе а ~ е, ß ~ в-1 (высокая температура, дальнодействие), когда упорядочение согласно сте­ пени корреляции становится сомнительным.

Мы пытались показать, что упорядочение по относительным величинам корреляционных функций в соответствии со степенью корреляции подсказывается некоторыми простыми физическими соображениями. Соглашаясь с этим, мы формально приходим к следующей|последовательности корреляционных функций:

Полагая а ->- еа, ß -> e-1ß и используя (3.95) и (3.76) в урав­ нениях (3.75), получим следующую систему уравнений (до чле­ нов О (в)):