книги из ГПНТБ / Либов Р. Введение в теорию кинетических уравнений

Кроме того, / 8 зависит от времени неявно, через функцию/!. Примером такой зависи­ мости может служить функция f s для s ста­ тистически независимых частиц:

130 Гл. II I . Формальное развитие теории кинетических уравнений

В данном формализме мы вывели замкнутую систему уравне­ ний для функций Fs, но две задачи остались нерешенными. Это, во-первых, получение конкретных выражений для операторов

D (t) и, во-вторых, метод вычисления Fi.

Именно на этих двух проблемах мы сосредоточим сейчас наше внимание. В частности, дадим стандартный метод, с помощью

Р и с . 3.4. Метод решения системы уравнений (3.32).

которого получается уравнение для Fi, справедливое до членов порядка ѵ~г. Для этого используем замкнутую систему уравнений, получаемую из (3.25) и (3.32а),

Первый шаг состоит в том, чтобы решить второе из этих уравне­ ний для

F™ =F™( 1, 2; Fi)

при некоторых определенных «граничных условиях». Это дает явную функциональную зависимость F20>от Ft при соответствую­ щим образом выбранном начале отсчета времени. Последнее озна­ чает, что система частиц (со взаимодействиями, препятствующими существованию связанных состояний) становится некоррелиро­ ванной, когда протечет достаточно длительный интервал времени в обратном направлении. Уравнение (3.32а) решается именно при этом условии. Такое условие поставлено в связи с его дальней­ шим приложением к процессам столкновения и означает, что до столкновения частицы не коррелированъ!.

На втором шаге полученное таким образом решение для F20> подставляется в уравнение (3.25') и выводится соответствующее

выражение для Ѳ12ІД0>, что приводит к характерной форме боголюбовского обобщения уравнения Больцмана.

132 Гл. III . Формальное развитие теории кинетических уравнений

торы Â. Как мы помним, это условие состоит в том, что система s взаимодействующих частиц в далеком прошлом была некор­

Поскольку данное условие справедливо для произвольной функ­

ции Ft, оно будет справедливо и для F't = lim At^ ^ i (1, t).

T-»- со

Такая форма граничных условий используется при решении функ­ ционального уравнения (3.32а). Явный вид правой части (ПЧ) равенства (3.44) легко получить, используя (3.36). Это дает

ПЧ (3.44) = lim Â(_?T ft F A ( x t + ^ - x ) , рЛ =

— lim Ц Fi [ Â ^ (хг+ - ^ - т ) , А ^рЛ =

= II Л [ х Л , р Л ]. (3 .45)

г=і

Переменная pls> — это постоянный импульс, который имеет 1-я частица, взаимодействующая с совокупностью s частиц, если про­ следить за этой частицей из состояния р г в далекое прошлое. Переменная x';S) — это координата, которую имела бы l-я частица, если бы она двигалась с импульсом p)S) при начальной координате

Ali'ooX;. Такая интерпретация обусловлена той операцией, которая определена последним равенством:

Как мы увидим, эта интерпретация весьма полезна при нахож­ дении явного выражения для в уравнении (3.25').

Перейдем теперь к интегрированию уравнения (3.32а):

Эту функциональную операцию можно привести к виду, удобному для дальнейшего исследования и в то же время позволяющему включить предшествующее граничное условие, если воспользо­ ваться следующим приемом. Поскольку (3.46) справедливо для

любой функции F1: оно будет справедливо также и для AliiFt. Таким образом,

Вспоминая свойство (3.40), мы можем записать это уравнение так:

что дает нам желаемый вид функциональной операции:

Подстановка его в (3.50) дает

± № xF T (1, . .., в; Fd = - Ls№ xF T (1, - • •, s; F,). (3.51a)

Если мы вспомним (3.40) и заметим, что FT в таком виде, как она записана в уравнении (3.51а), не зависит от т, то увидим, что это уравнение является тождеством. Отсюда следует, что решением уравнения (3.50), а следовательно, и уравнения (3.32а) будет про­ извольный функционал от функционала, заданного соотношением

(3.51).

Другой формой решения может быть следующая:

Это решение пригодно для всех интервалов т, так что

F T ( 1, . .., s; ^ ) = И т A<Ѵі°>(1, ■■■, s; Д^ ) (3.53)

T->co

также является решением. Используя предшествующее граничное условие, а также (3.44) и (3.45), получим

134 Гл. II I . Формальное развитие теории кинетических уравнений

Это решение удовлетворяет уравнению (3.32а) и граничному усло­ вию (3.44). Таким образом, первая часть задачи о получении одно­ го уравнения для Ft из уравнений (3.25') и (3.32а') завершена. Из (3.54) видно, что решение низшего порядка Р$т в анализе Бого­ любова обнаруживает s-частичную корреляцию между частицами (через переменные x(S), p(S)).

Следующий шаг состоит в том, чтобы получить в уравнении

Ат ' дхі

Выполняя функциональное суммирование, соответствующее внут­ реннему произведению ( , ), и вспоминая решение F '0>, которое

задается посредством (3.54), получим явный вид для L 2Fl2m:

Наконец, чтобы получить нормальную форму обобщенного

уравнения Больцмана, произведем в операторе К 2 замену перемен­ ных Х[ и х2 на Хі и г = х2 — х4, что дает

Используя выражение (3.57) для L2F'0) и (3.58) для K 2F f \ под­ ставим (3.55) в (3.25') и придем к обобщенному уравнению Больц­ мана в форме Боголюбова:

В случае, когда F ‘0> однородна по всей области взаимодействия, второй интеграл обращается в нуль (К2 и Ь2 оба содержат про­

странственные производные), в то время как К 2>Б переходит

вобычный больцмановский оператор столкновений. Чтобы это показать, в соотношении

J К 2. бF T = j dx2dp2V - ^ F {F1[р)2>] F, [р«’]} (3.60)

(где аргумент х в F\ выпадает, поскольку F^ однородна по всей области столкновения) выполним интегрирование по х2 в цилин­ дрических координатах с осью цилиндра г), параллельной отно­ сительной скорости

столкновения», т. е. область, находящуюся далеко за пределами зоны взаимодействия двух ча­

стиц? В этой области две частицы движутся независимо одна от