книги из ГПНТБ / Либов Р. Введение в теорию кинетических уравнений

перевод: Пригожин И., Неравновесная статистическая механика,

М., «Мир», 1964.

В. Парадоксы обращения времени и константы движения

118 Гл. II. Уравнение Лиувилля и функции распределения

ns — пространственное s-частичное распределение, N — число частиц,

N— число степеней свободы,

О— произвольный оператор, р — канонический импульс,

q — каноническая координата,

R — действительная часть ф,

Т— кинетическая энергия,

Т— интервал времени,

и— скорость точек системы в Г-пространстве, V — потенциал,

V — объем системы в физическом пространстве, V — ренормированный объем,

X — координата,

zn — координаты и импульсы п-й частицы, &іп — дельта Кронекера,

Ф — решение уравнения Шредингера, Фп — произвольная собственная функция, ф — потенциал взаимодействия частиц,

•к — фаза ф, Л — оператор Лиувилля,

ю — собственные значения оператора Â, ф„ — собственные функции оператора Â,

П— функция распределения условной вероятности,

р— плотность жидкости,

2— поверхность в Г-пространстве,

Ѳ— угловая переменная,

Ѳі7-— оператор потенциальной энергии, Ѳ^’3— оператор потенциальной энергии, £(Т)— динамическое преобразование.

Г Л А В А III

ФОРМАЛЬНОЕ РАЗВИТИЕ ТЕОРИИ КИНЕТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ И ИХ СВЯЗЬ С ГИДРОДИНАМИКОЙ

3.1. Одночастичная функция распределения и ее связь с гидродинамикой

При исследовании свойств газа мы чаще всего имеем дело с измерением некоторых макроскопических, или гидродинамических,

переменных. Эти переменные определяют макроскопическое состоя­ ние системы. Таких переменных бесконечно много, но все они могут быть определены, если известна одночастичная функция распределения / 4.

Большинству из нас эти макроскопические переменные хорошо известны. Первыми из них являются плотность числа частиц п, макроскопическая скорость и и температура Т . Если нам известна только плотность числа частиц п (х, t), то мы знаем о данном газе значительно меньше, чем знали бы, имея п (х, t) и и (х, і) и т. д. Другими менее стандартными макроскопическими переменными являются напряжение Рц и тепловой поток q. Последовательность гидродинамических переменных неограниченна, и хотя, кроме перечисленных, они не имеют наименований, но тем не менее мно­ гие из этих переменных обладают физическим смыслом.

Чтобы установить связь между макроскопическими перемен­ ными и fi, необходимо ввести одночастичную функцию распреде­ ления с новой нормой. Если N есть полное число частиц в газе, то положим I — Nfi. Плотность числа частиц п (х, t) определяется через <РI следующим образом:

(3.1)

Произведение ndx дает число частиц в элементе объема dx. Оче­ видно, что это определение совместимо с введенным ранее опреде­ лением для fi, согласно которому произведение /і dx dp представ­ ляет собой вероятность того, что частица находится в состоянии dxdp около (х, р) в момент t.

В настоящем исследовании, оказывается, намного удобнее иметь дело со скоростями |, чем с импульсами р. (В гидродинами­

Функция f f (х, \, t) — это функция распределения, нормирован­

Другие макроскопические параметры, дающие более детальное описание системы, приобретают смысл только тогда, когда они измеряются в системе координат, движущейся со (средней) макро­ скопической скоростью u (х, t). Например, газ, у которого все части­ цы движутся с одинаковыми скоростями, обладает большой полной кинетической энергией, но его температура равна нулю. Гидроди­ намическая внутренняя энергия такого газа (без потенциала взаи­ модействий) также равна нулю.

Введем относительную скорость с, так что

в то время как (кинетическая) внутренняя энергия п Ш равна половине суммы нормальных напряжений или половине следа матрицы напряжений ТгРи . (Согласно обозначению Эйнштейна,, по повторяющимся индексам производится суммирование.)

122 Гл. III. Формальное развитие теории кинетических уравнений

является хорошо известным вектором теплового потока, который определяет среднюю скорость переноса энергии через поверхность в направлении і в системе координат, движущейся со скоростью и. Аналогичным образом P tj определяет среднюю скорость потока г-й компоненты импульса через единичную площадку с нормалью в направлении j .

Во всех этих определениях предполагается, что взаимодействие между молекулами через заданную поверхность мало по сравнению с кинетическим вкладом. Такое предположение наиболее справед­ ливо, когда газ является идеальным газом, где взаимодействие между частицами отсутствует.

Экспериментальные наблюдения подтверждают тот факт, что для жидкости вблизи равновесия определяющими переменными являются п, и и Т . Вблизи равновесия моменты от ер более высо­ кого порядка становятся малыми, и состояние системы целиком определяется тремя отмеченными переменными.

Предположим, что начальное состояние газа отличается силь­ ной нерегулярностью, т. е. в газе имеются большие градиенты температуры, напряжения, тепловые потоки и т. д. С течением времени состояние «сглаживается», нерегулярности стремятся к нулю и единственными нетривиальными переменными остаются моменты низшего порядка — п, u, Т .

Данное состояние газа с любым конечным числом макроскопи­ ческих переменных, как бы велико это число ни было, является сильным упрощением микроскопического описания. При микро­ скопическом описании требуется знать функцию Jp, которая в свою очередь определяет бесконечную последовательность мак­ роскопических переменных:

Пусть газ приближается к равновесию. Существует ли интер­ вал времени, для которого состояние системы определяется по меньшей мере функцией Д? Из этого вопроса вытекает и более общий вопрос: существует ли интервал времени, для которого состояние системы можно определить, только зная функцию f N?

Формализм, который применил Боголюбов для решения цепоч­ ки ББКГИ-уравнений, основывается на выяснении этих двух воп­ росов.

3.2. Анализ Боголюбова ББКГИ-уравнений

Для любого реального газа существуют три характерных интер­ вала времени.

1. т0 — среднее время, в течение которого две частицы нахо­ дятся каждая в области влияния другой. Это время называется

124' Гл. III . Формальное развитие теории кинетических уравнений

дельном случае jV^> 1. При этом предполагается, что как бы ни бы­ ло велико N, имеет место N r0 L.

Предположим, что газ достаточно разрежен, так что левое неравенство (3.10) выполняется, а также и достаточно плотен, что­ бы и правое неравенство (3.10) удовлетворялось. В этом случае

X

I

Р и с . 3.1. Времена Боголюбова для задачи о двух шариках на прямой.

уместно говорить о трех интервалах времени в развитии газовой системы, начиная с некоторых заданных начальных условий и кон­ чая неким равновесным состоянием, либо, возможно, состоянием, достаточно близким к равновесному.

В первом интервале времени

называемом начальной стадией, N частиц еще не сталкивалось. Какой уровень описания будет достаточным, чтобы определить поведение газа в этом интервале времени? Мы должны помнить, что начальные условия являются произвольными. Предположим, что в начальный момент одна из N частиц движется с постоянной

скоростью по прямой линии (в направлении к другой частице), в то время как оставшиеся N — 1 частиц покоятся. Спустя некокоторое время, после достаточного числа столкновений, газ будет термализован — установится равновесие. В конечном счете не будут существовать, например, тепловые потоки сквозь любую

«о<2>

Р и с . 3.2. Времена Боголюбова для задачи о трех шариках на прямой.

заданную поверхность в газе, температура станет однородной и т. д. На этих конечных стадиях эволюции естественно описывать состояние газа через гидродинамические переменные. При этом, если начальные возмущения почти полностью затухли, состояние системы определяется гидродинамическими переменными.

Например, для рассмотренного выше начального состояния, когда только одна из N частиц находится в движении, введение гидродинамической скорости и лишено смысла. Единственный важный факт — движение одной из N частиц — будет утерян в процессе осреднения, при котором получается и:

(3.12)

126 Гл. I l l . Формальное развитие теории кинетических уравнений

Если с помощью функции и нельзя описать состояние системы, то обратимся к более детальному описанию, которое дает функция /і. До первого столкновения ІѴ-частичная функция распределения имеет вид

Какую полезную информацию несет в себе полученное соотноше­ ние? Оно определяет только то, что вероятность, с которой частица 1 находится в положении х и имеет скорость | в момент t (в интерва­ ле dx dl), отлична от нуля лишь для тех значений х и |, которыепринадлежат кривой х = l°t. Но что мы можем сказать относитель­ но остальных частиц? Тот факт, что они остаются в покое в опре­ деленных начальных положениях был совершенно утерян при

j dx2 j dlz ö(xz— l 2t)ö (la —1®)= j dxz8(xz — l\t) = 1, (3.15)

в результате которого будет полностью утеряна информация отно­ сительно частицы 2. Допустим тогда, что достаточно знать функ­ цию / 2, чтобы описать начальное состояние до столкновения любых двух частиц. Опять очевидно, что в процессе осреднения при вычис­ лении / 2 исчезает информаций относительно N — 2 оставшихся

тояние любой из частиц дает нам информацию относительно всех частиц, так что динамика газа определяется функцией / 4. Фор­ мально эти идеи можно выразить так: предполагается, что на ки­ нетической стадии все функции распределения fs являются функци­ оналами от fi, так что