Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Либов Р. Введение в теорию кинетических уравнений

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

13.16 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 3912 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

2.6. Условные и 1-числовые функции		распределения	107
следует, что
П (111; At) = 1 — вероятность	того, что I не стремится к		I за At =
= 1 — 2 П (Z' I Z;	At) = 1 — At 2	aVi.	(2.212)
І'фі
Уравнения (2.211) и (2.212) можно объединить в одно:
п (г 17; AZ) = aüAZ+ ö0-(l — At		У] ап ).	(2.213)
		по всем I’

Если это уравнение подставить в уравнение Чепмена — Колмого рова (т = t, а = At)

П(1\10; г +	Лг) =	2 П ( / \| / ; АО п (У I z0;	t),
ТО МЫ получим		3
ТО МЫ получим
П(ф 0;	° =	2 ^ П ( л г 0; t) — ajiU(l\l0;		t)].
		3
В пределе при At ->- 0 приходим к основному уравнению
{1]оГ - 1)-=	2	(і IІо, t ) - анП (Z\|Z„;	t)].	(2.214)

Оно описывает скорость изменения переходной вероятности

Р и с . 2.16. Члены, дающие вклад в скорость изменения П (I |і 0)- Суммиро вание производится по всем промежуточным состояниям j.

для систем, которые эволюционируют, следуя марковскому про цессу. На рис. 2.16 изображена модель, удовлетворяющая этому уравнению.

■в) 1-числовые распределения
Другой	важной	функцией распределения	является Г г —
Z-числовая	функция	распределения.
Произведение
	Г г (1, 2, . . ., I)dld2 . . . dl		(2.215)

есть вероятное число таких совокупностей из I частиц, для которых одна из частиц находится в состоянии di около 1, другая — в cZ2 около 2 и т. д. до Z-ro состояния включительно. Например, Г і di есть вероятное число частиц в фазовом элементе di около 1 в мо

108 Гл. II . Уравнение Лиувилля и функции распределения

мент t х). Произведение ge2did2 есть вероятное число пар частиц, таких, что в каждой паре одна из частиц находится в состоянии di около 1, а другая — в состоянии d2 около 2.

Как связаны между собой ер і и / г? Функция /; относится к кон кретному множеству из I частиц, которые в определенном порядке распределены по всем I состояниям. С другой стороны, ерг хотя и относится к тому же самому множеству I состояний, является невосприимчивой 1) к особому порядку, в котором I частиц зани мают эти состояния, и 2) к тому, какие I частиц выбираются из всего множества N частиц. Аргументы (1 , 2 , . . ., I) функции ер I (1, 2, . . ., I) определяют только состояния, но не указывают, что какая-то определенная частица находится в состоянии 1 либо в состоянии 2 и т. д., в то время как / г (1, 2, . . ., Т) связывает именно частицу 1 с состоянием 1 и т. д.

Чтобы получить g eI из /г,	вычислим сначала число способов
выбора I частиц из множества N частиц. Этим числом будет
( N \	N\
\ 1 1 =	l \ ( N - l ) \ - ■

Каждая такая совокупность из ным образом путем нумерации

стью находится в состоянии f l (1 , 2 , . . ., I) did2 . . . dl.

I частиц, упорядоченных определен от 1 до I, с определенной вероятно (1 , . . ., I). Эта вероятность равна Отсюда следует, что величина

di I) di ... dl (2 .2 1 6 )

есть вероятное число совокупностей, каждая из которых состоит из I частиц, занимающих состояния (1, 2, . . ., I), причем в каж дой совокупности частицы занумерованы и определенным образом распределены по состояниям (1, . . ., I). Другими словами, при вычислении де* мы каждой совокупности частиц приписываем только один из возможных способов распределения по состояниям (1, . . ., I). Однако остается много других способов распределения каждой совокупности из I частиц по состояниям (1, 2, . . ., I). Действительно, полное число таких возможных способов равно 1\.

Соответствующее	вероятное		число	совокупностей из I			частиц
в состоянии di . . .		dl около (1, .		. ., I)	равно
di .. . dlgeг = I £	j	[fi (1, 2,	. . . , / ) +	fi (2,	1,	. . ., l) -f
		+ . . . + / д г ,		г - i ,		i ). ]. d. ,.i . . d i ,	(2 .2 1 7 )
где содержится г! одинаковых функций. Следовательно,
____________							( 2.218)

г) Оговорка «в момент и подразумевается и во всех предшествующих определениях.

2.6. Условные и 1-числовые функции распределения					109
Приведем несколько соответствующих примеров:
	JF2 = N ( N ~ i )		f2.		(2.219a)

Если частицы независимы одна от другой, то
jF	2 (1 , 2) = N (N — 1) / і		(1 ) fi (2 ),		(2.2196)
•Fa =	F t (1)	(2) да	(1)	(2).

Последняя аппроксимация справедлива в предельном случае, когда IVЭ* 1.

Сейчас мы попытаемся разрешить дилемму относительно

функ

ции вр X. При выводе соотношения (2.218) казалось бы более умест-

1 Л 1 В

і *

1 •

1 л

1В

С1 1В 1

1 •

!1 © 1

1 •

1л

1В

1С

1 В

1__• __1L * J1

L_*_J

I X1 В

1 D

1 С1

1 л

1 В

1 С

1 А I в_ В 1 С 1_1

Р и с .

2.17. Модель, иллюстрирующая смысл функции 3-2.-

а — число

конфигураций,

дающих

вклад в f2 (A,B), равно

j 2!;

полное число конфигураций равно ^ j 4!;

следовательно, / 2 (А, В) =

2! j

/ ( х )

И3

(2-218) для

находим еВ2 (1, 2) =

2- /г =

3/5.

6 — число конфигураций, дающих пару частиц в первых двух ящиках,

равно 3;

полное число конфигураций равно

; следовательно,

вероятность

нахождения пары частиц в первых двух ящиках равна 3/6; среднее число пар, находящихся в первых двух ящиках, равно 3/5.

Из (2.218) функция Р 2 (1, 2) равна среднему числу пар в ящиках 1 и 2 и равна вероятности нахождения пары частиц в ящиках 1 и 2.

ным определить ;dl . . . dl как вероятность (а не вероятное число) того, что совокупность из I частиц находится в элементе dl . . . dl фазового пространства. В данном случае обе интерпре тации одинаково справедливы. Для примера рассмотрим задачу о четырех идентичных частицах, распределенных в пяти ящиках (в каждом ящике может быть только по одной частице). Присвоим ящикам номера 1, . . ., 5. Тогда вероятность нахождения пары частиц в ящиках 1 и 2 равна 3/5. Это есть также среднее число пар, таких, что одна частица находится в ящике 1 и одна — в ящике 2 (рис. 2.17).

110 Гл. II . Уравнение Лиувилля и функции распределения

Определяя jFzKaK Z-числовое распределение вероятности, мы

встречаемся с противоречием: ^ ер tdl . . .

dl ф 1.

С другой сто

роны, достоверно, что совокупность Z-частиц занимает какое-то

состояние из

\ dl . . . dl. Разрешение этого парадокса заключает

ся в следующем: интерпретация jF і как

функции

распределения

вероятности

является

ошибочной.

объема

Для

элемента

фазового

dl . . . dl

произведение JfFidl . . .

dl бу

дет отличаться

от истинной вероятно

сти на член порядка объема, к которо

му имеет отношение вероятность.

Таким

образом,

вероятностная интерпретация

jF I по

отношению

элементарным

объемам является почти точной. Для

Р и с . 2.18. Конфигурацион

всего пространства

такая

интерпрета

ция ф I абсолютно не пригодна.

Более

ная

часть

Г-пространства

для

двух

шариков на пря

правильно трактовать ф ;

как /-число

мой длины L.

вую плотность.

Для элемента фазового

определяет среднее число

объема di

. . . dl соотношение ф і dl .. .dl

совокупностей

из

/ (незанумерован-

ных) частиц,

находящихся в объеме dl

. . . dl.

Для всей области

j dl

. . .

функция ф I

нормируется

на

фі

т. е. на число различно упорядоченных последовательностей из частиц, которые можно получить из N занумерованных частиц.

Чтобы сделать все наши рассуждения более ясными, исследуем соотношение ф і = Nfi для очень простого случая двух (N = 2) невзаимодействующих идентичных свободных частиц (шариков), движущихся по прямой жесткой проволоке длины L. Проволока натянута между двумя абсолютно отражающими стенками. Кроме того, ограничимся лишь конфигурационной частью задачи (счи тая импульсы обеих частиц определенными и известными). Фазовое пространство этой системы из двух частиц есть квадрат с длиной стороны L, как показано на рис. 2.18. Вероятность того, что части ца 1 находится в «объеме» dxt около жь равна площади Ldxi, раз деленной на полную площадь L2, т. е. /і (ж4) dxi = dxJL, как показано на рис. 2.19, а. Отметим, что заштрихованная площадь есть геометрическое место точек всех состояний в Г-пространстве, для которых частица 1 находится в dxt около Вероятность того, что частица 2 находится в dx2 около х2аналогичным образом равна /і (х2) dx2 = dx2/L, как показано на рис. 2.19, б.

2.6. Услоеные	и 1-числовые функции распределения	111
Теперь остановим	наше внимание на вычислении	функции

i(x) dx. Это — вероятность нахождения частицы (более точно, либо частицы 1, либо частицы 2) в интервале dx около х. Площадь, соответствующая этой вероятности, есть геометрическое место

ei*,

'	*2 ш ш ш ш А dxz
	\
*1	L
а	é
	Р и с . 2.19.

точек всех состояний двух частиц, таких, что либо частица 1, либо 2 находятся в элементе dx около х, как изображено на рис. 2.20, а. Это не совсем то же, что сумма Д (х) dx + Д (х) dx = 2Д (х) dx = = 2dxIL. При простом сложении двух одночастичных вероятностей

а — вероятность нахождения либо частицы 1, либо частицы 2 в интерва ле dx около х; б — вероятность равна [ДДч) dxi -\-f2 (х2) dx2]xl==Xi=:X.

перекрываемая площадь (dx)2 считается дважды (рис. 2.20, б). Но существует только одна совокупность состояний в этой обла сти пересечения (состояний в Г-пространстве), и она должна быть сосчитана только один раз. Отсюда следует, что

^ ( x ) d x = 2 ^ - ^ - ~ 2 ^ r ==f (x)dx.

(2.220)

112 Гл. II. Уравнение Лиувилля и функции распределения

Отметим, что это выражение представляет собой как вероятность

нахождения частицы в интервале dx около х , ^pdx, так и среднее число частиц в интервале dx около х , jpdx (2IL есть числовая плот ность).

Ясно, что вероятность нахождения частицы в интервале (а, Ъ) можно опять вычислить путем простого построения (заштрихо ванных) пересекающихся прямоугольников на рис. 2.20, а. Выра жение для вероятности будет отличаться от приближенного резуль тата (который получается, если ^ принять за распределение вероятности)

ьь

j	tpl dx= J 2fidx = 2 — (fi = const)	(2.221)
a	a

на величину (Ъ— а)2/Ь2, пропорциональную площади перекрытия (Ъ— а)2. В пределе для всего интервала (а = 0, Ъ =L) площадь перекрытия занимает целый квадрат. Вследствие этого некорректное

выражение для	т-	е- 2dx!L,	приводит к неверной нормировке:
	L			L
		Wi (x)dx= j 2			= 2.		(2.222)
	о			о
Правильное выражение для функции распределения							х приводит
к надлежащей нормировке:
L		L	L	L
j F i d x =		j 2h d x — j		Ц-	[ = 2 —1	= 1.	(2.223)
о		о	o	b

Задача 2.20. Обозначим цифрой 1 толькоконфигурационную часть состояния, так что d\ = d?Xi. Для однородного газа, заклю ченного в объем V и находящегося в равновесии,

/ Л = ДДч

j ^ id3xl = nd3xu

где п = N/V — числовая плотность частиц. Если частицы независи мы, то какова функция 2(1,2)? Решить задачу двумя способами, используя сначала формулу (2.219), а затем подсчитав число пар частиц в элементах объема d3xt, и d3x2.

Ответ. Используя (2.219), получим

2F2d3Xid3X2 = I {^)d3X i ^ i (2) d3x2 = nd3xind?x2,

так что

2.6. Условные	и 1-числовые функции распределения		ИЗ
Кроме того, JP2можно вычислить, если заметить, что п<Рх1частиц
находится в <Fxi и nd?x2 частиц — в		так что общее число пар
будет равно п2.
Задача 2.21. Найти	связь между	F і = Vlfi и 1) & ъ	2) Щ>,

3) Ц1\ Здесь V — объем сосуда, заполненного газом.

В начале этой главы мы впервые встретились с концепцией ансамбля и уравнением Лиувилля. Там они использовались глав ным образом для изучения геометрических свойств Г-пространства. Глубокий смысл уравнения Лиувилля становится очевидным в све те вероятностной интерпретации его решения, что немедленно при водит к методу получения средних значений динамических пере менных. К теории ансамбля мы вернемся в гл. V в связи с при надлежащей Гиббсу и Эйнштейну формулировкой равновесной статистической механики.

Если обратиться к рис. 1.1, то в настоящий момент мы находим ся в области, схематически обозначенной вторым усилителем. Он ведет от BMj к теории кинетических уравнений. Само уравнение БИі важно для нас тем, что оно является «предшественником» всех кинетических уравнений — уравнений для одной неизвестной функции Fi (более полное определение будет дано ниже). Исключи тельное значение функции Fі заключается в том, что из нее следует большая часть гидродинамики. Связь Fi с гидродинамикой мы подробно обсудим в начале гл. Ill, а в конце ее выясним, какое значение для гидродинамики имеет функция F2. Вопрос о соотноше нии между гидродинамикой и кинетической теорией снова встре тится в гл. IV в связи с интегралом столкновений в уравнении Больцмана и, наконец, в гл. V при рассмотрении анализа Чеп мена — Энскога уравнения Больцмана.

ББКГИ-уравнения исследуются в гл. Ill двумя способами. Вначале мы ознакомимся с анализом Боголюбова цепочки ББКГИуравнений. По существу, эта теория вскрывает физический смысл одночастичной функции распределения. После этого ББКГИ-по- следовательность будет разложена около «нулевых корреляций» и будет получено формальное упорядочение простых кинетических уравнений. Одно из них, уравнение Власова, приведет к понятию самосогласованных решений.

Уравнение Чепмена — Колмогорова, рассмотренное в этой главе, опять встретится нам в гл. IV в одном из выводов дру гого важного кинетического уравнения — уравнения Фоккера — Планка.

Задача 2.22. Если через БИ 8 обозначено s-e уравнение в ББКГИпоследовательности, то покажите, что

j (БИ,)гій: . . . =

8—01243

114 Гл. II . Уравнение Лиувилля и функции распределения

Задача 2.23. Доказать, что s-частичная (s ^ N) функция рас пределения удовлетворяет уравнению

	9fs	Vs-fsus= 0,
	dt	Vs-fsus= 0,
	dt
где
	I ujv/jvd^ +		l) . ..		dN
		I fNd(s + 1) ...			dN	’
*N =	(4l> • • •> 4Ni		Plj	•	• •>	Pjv)
и
i d		д	д			d
04l		ö4s	dpi		’ ‘ ’	)•
Задача 2.24. Используя уравнение Лиувилля, доказать, что
для произвольного	гамильтониана			j	fudi • ■■dN = const.

В частности, доказательство должно иметь силу как для потенци алов, зависящих от импульсов, так и для нестационарных гамиль тонианов.

Указание. Проинтегрировать j di . . .							dN [fN, H ] по частям.
Задача 2.25. Доказать, что
и	/ і ( х і ,		P i ) =	g ( p i )
и
/ 2 (xt , p t ;	х 2,	р 2)	= h (I	х 2	—		Xj I, Pi,	p 2) ,
если f N инвариантна	по	отношению			к	поступательному			сдвигу,
т. е. если
/дт (xt + а, Рі; х2 +	а, р2; . . .; x N +					a,	p N ) =
			= / jv ( х і і P t »				х 2, р 2;	. . . ;	Хд - , P jv) .

Функции g и h — произвольны.

Задача 2.26. Доказать, что движение проекции ансамбля на ги перплоскость {qu . qs; ри . . ., ps) (s ^ N — число степеней свободы системы) является несжимаемым.

Ответ. Это движение задается уравнениями:

Qi	=	Qi	(t ),
Pi	=	P i ( t ) ,		0 <	lC s^C N .
Оно будет несжимаемым,	если
V-u = 0 = У дЧі Qr dpi й = 2			(	dHN			дНN
V-u = 0 = У дЧі Qr dpi й = 2			(	dqi	dpi	dpi	dqi Н ’

Список литературы

115

Задача 2.27. Показать, что ББКГИ-уравнения (2.177) можно записать следующим образом:

? L l + l sf s- ^ P j d(S+ i ) 2 è b H / s+i = o. i= l

Задача 2.28. Проинтегрировать разложение (2.186), чтобы найти соотношение между функциями

		(fi (ki,		k,)}
и
а)		/і (х,	р, t);
б)	/ 2	(х, р;	x',	p', t).
Ответ.
а)
/і (хь Рь t) = -у- j Ф і	• • •	dPi-i ^Pi+i		• • * dpN X

X [/o(0)+ j dkiTi (k0 exP (ikr x;) j .

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

А. Ансамбли', N -частичные функции распределения и ББКГИ-уравнения

Боголюбов Н. Н.
(1946)	Проблемы динамической			теории в статистической			физике,	М.— Л.,
	Гостехиздат.
Де Боер (de Boer J.)
(1948—49)		Repts. Progr. Phys.,		12, 305 (1948—1949).
Больцман (Boltzmann			L.)
(1872)	Vorlesungen über Gastheorie, Leipzig, 1896—1898;						Wien.	Вег., 66,
	275 (1872). Русский перевод: Больцман Л., Лекции						по теории газов,
	М., Гостехиздат, 1956.
Борн, Грин (Born М., Green Н. S.)
(1946-47)		Proc. Roy. Sac. (London), А188,			10 (1946); А189 103 (1947); А190,
		455 (1947); А191, 168 (1947).
Гиббс	(Gibbs J.W.)
(1928)	The Collected Works, London, Longmans, Green and Co.
Грин	(Green M. S.)
(1958)	Proceedings of		the International Symposium on			Transport		Processes
	in Statistical		Mechanics	(Brussels,	1956), New	York, Interscience.
Трэд	(Grad	H.)
(1958)	Handbuch der		Physik, v.	XII, Berlin, Springerverlag.

116	Гл. I I . Уравнение Лиувилля и функции распределения

Ивон (Yvon J.)

(1935) La Theorie Statistique des Fluides et l’Equation d’Etat, Paris, Her mann.

Кац (Kac M.)

(1959) Probability and Related Topics im Physical Sciences, New York, Interscience. Русский перевод: Кац M., Вероятность и смежные вопросы в физике, М., «Мир», 1965.

Кирквуд (Kirkwood J. G.)

(1946—47) J. Chern. Phys., 14, 180 (1946); 15, 72 (1947).

Кирквуд, Росс (Kirkwood J. G., Ross J.)

(1958)	Proceedings of the International Symposium on Transport Processes
	in Statistical Mechanics (Brussels, 1956), I. Prigogine (ed.), New York,
	Interscience, 1958.
Ландау Л. Д., Лифшиц E. M.
(1964)	Теоретическая физика. T. 5. Статистическая физика, изд. 2-е, М.,
	Физматгиз.

Майер Дж., Майер М. (Mayer J. Е., Mayer М. G.)

(1940) Statistical Mechanics, New York, Wiley. Русский перевод: Майер Дж.,

Гепперт-Майер М., Статистическая механика, ИЛ, М., 1952.

Пригожин	(Prigogine	I.)
(1958) Proceedings of		the International Symposium on Transport Processes
in	Statistical	Mechanics (Brussels, 1956), New York, Interscience.

Толмен (Tolman R. C.)

1938) The Principles of Statistical Mechanics, Oxford, Clarendon Press.

(Фаулер, Гуггенгейм (Fowler R., Guggenheim E.A.)

(1939) Statistical Thermodynamics, Cambridge, Cambridge University Press.

Русский перевод: Фаулер P., Гуггенгейм Э. А., Статистическая тер модинамика, М., ИЛ, 1949.

Хаар (ter Haar		D.)
(1954)	Elements	of Statistical	Mechanics,	New York, Rinehart.
Хилл (Hill T. L.)
(1956)	Statistical Mechanics,		New York,	McGraw-Hill. Русский перевод:
	Хилл T. Л. Статистическая механика, М., ИЛ, 1960.
Гиршфельдер, Кертисс, Берд (Hirschfelder				J. О., Curtiss С. F., Bird R. В.)

(1954) The Molecular Theory of Gases and Liquids, New York, Wiley. Русский перевод: Гиршфельдер Дж., Кертисс Ч., Берд Р., Молекулярная теория газов и жидкостей, М., ИЛ, 1961.

Эренфест Р., Эренфест1Т. (Ehrenfest Р., Ehrenfest Т.)

(1911)	Begriffliche		Grundlagen der Statistischen Auffassung der Mechanik,
	Encyclopedic der Mathematischen Wissenschaften, v. 4, p. 4, 1911;
	reprinted	by	Cornell	University Press, Ithaca, N. Y., 1959.
Балеску (Balescu			II,	Метод Пригожина
		R.)
(1962)	Statistical	Mechanics		of Charged Particles, New York, Interscience.
	Русский перевод: Балеску P., Статистическая механика заряженных
	частиц, М.,		«Мир», 1967.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 3912 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ