книги из ГПНТБ / Либов Р. Введение в теорию кинетических уравнений

98 Гл. II. Уравнение Лиувилля и функции распределения

очевидно, совпадает с исходным состоянием:

[ ^ - ф ( х ь x3) ] / 3(z1, z3, z2) = [-^ -(p (x b x2) ] / 3(zb z2, z3) (2.171)

(обе части равенства умножаются на dz1dz2dz3). Таким образом, два интеграла в (2.165) идентичны. Более того, все N — s(j) интегралов в уравнении (2.164) совпадают.

Интегралы не зависят от выбранного нами значения /. Для

Учтем последнее замечание, которое дает возможность дальней­ шего приведения интегралов. Потенциальный член в подинтег-

Р и с. 2.15. Перестановка при наличии взаимодействия. Для неидентичных частиц состояния не инвариантны; dld2d3Gl2f (1,2,3) ф did3d2G13f (1,3,2).

а — начальное состояние; б / - состояние после замены.

ральном выражении не зависит ни от каких переменных интегри­ рования, кроме zs+1. Вспоминая, что

мы можем переписать правую часть равенства (2.172) следующим образом:

(2.174)

І=1

100 Гл. II. Уравнение Лиувилля и функции распределения

из соотношения

по определению. При таком формальном подходе ББКГИ-уравне- ния являются бесполезными. С другой стороны, кажущийся логи­ чески несостоятельным метод решения, когда сначала находится Fi, имеет важное значение в теории неравновесной статистической механики.

Сейчас мы ненадолго вернемся к анализу Пригожина, для того чтобы установить связь между коэффициентами разложения Фурье в равенстве (2.103) и приведенными распределениями f s. Для этого сначала запишем разложение функции f N, аналогичное разложе­ нию функции D:

Эти ряды чрезвычайно сложны. Чтобы выписать явно характерный член ряда, потребуется около 1011 лет (если считать, что для систе­ мы из ІО22 частиц за секунду можно выписать 3 к-векторов). Но положение не является столь плохим. Дело в том, что для макро­ скопической физики наиболее важными коэффициентами / {к) будут те, у которых почти все к-векторы нулевые. Имея в виду именно этот случай, упорядочим члены записанных выше рядов.

Пусть fo (0) — коэффициент Фурье, у которого все к-векторы нулевые, Д (кг) — коэффициент Фурье с единственным ненулевым

к-вектором, относящимся к 1-я частице, / 2 (кг, к т ) — коэффициент Фурье только с двумя ненулевыми к-векторами для частиц I и т соответственно. Подробно это можно записать так:

Эти коэффициенты зависят от импульсов. Ряды (2.180) в таких обозначениях примут вид:

N

102 Гл. II. Уравнение Лиувилля и функции распределения

Рассмотрим теперь обращение этого уравнения. С этой целью сна­ чала подействуем на него оператором

j dp4 . . . dpN dxi . . . dxN.

Уцелеет только первый член, поскольку /8 обращаются в нуль вместе с любым из своих к-векторов (s ^=0). В результате имеем

Чтобы получить выражение для /t (кг), подействуем на уравнение (2.186) оператором

j dpi . . . dpNdxi . . . dxi-idxi+i . . . dxN.

Функция Ыщ = n —- это числовая плотность частиц (или плот­ ность числа частиц) в динамике жидкости; о ней мы будем гово­ рить в начале гл. III.

^ <7рі . . . dpjy . .. dxm_i dxm+i .. . dxft^i dxft+i ■. • dx^T.

В результате получим

j fN dpi . . . dpN dxi ... dxm_j dxm+1 . .. dxh_t dxh+l . . . dxN =

Функция V*n2 = g — это радиальная функция распределения, хорошо известная в кинетической теории жидкостей. С этой функ­ цией мы ознакомимся более подробно в гл. III.

В пределе, при однородном распределении, уравнения примут вид

п = Nni(xi, t) = ~y = const, g = Vzn2{xm, xh, t) =

Функции ns связаны с приведенными s-частичными функциями распределения через интегралы:

Задача 2.17. Вывести формулы, аналогичные равенствам (2.187), (2.188) и (2.189) для пространственно-приведенных функ­ ций распределения импульсов:

Фо (Pi • • •, Piv, t) = j dxt . . . dxNfN,

Фі (Pi, • • •, Pjvi хь t)= j dxi ... dx^idxM . . . dxNfN,

Фг(Рі, •••, Рх, хь хЛ, /) =

= j dxt . . . dx;_! dx;+1 . . . d x ^ dxh+1 . . . dxNfN.

Задача 2.18. а) Какой вид имеют «зацепляющиеся» уравнения,

описывающие эволюцию во времени функций fs (k;, k;-, . . .)? б) Каков характер этих уравнений для однородного газа?

2.6. Условные и /-числовые функции распределения

а) Условные вероятности

Мы увидим, что при некоторых исследованиях удобно обозна­ чить точки фазового пространства числами. В этих обозначениях число 2 есть фазовая точка z2 = (р2, Чг)> а d 2 — элемент фазового объема dp2dq2. Двухчастичная функция распределения записы­ вается как / 2 (1,2). Произведение / 2 (1,2) dld2 определяет вероят­ ность того, что частица 1 находится в фазовом элементе dl около 1,

в dN около N.

представляет собой вероятность нахождения частицы 1 в состоянии dl около 1 при условии, что частица 2 находится в состоянии 2, 3 — в состоянии 3, . . . и I — в состоянии I. В случае, когда все частицы не зависят одна от другой, feW(1 | 2, . . ., I) dl становит­ ся просто вероятностью того, что частица 1 находится в состоянии

Этому равенству противопоставляется форма произведения сомно­ жителей

на которые расщепляется Д в случае, когда все частицы незави­ симы.

В общем случае fa и few связаны соотношением

есть вероятность того, что частица 1 находится в состоянии di около 1 и 2 в состоянии d2 около 2 при условии, что 3 находится в состоянии 3, 4 — в состоянии 4 и т. д. Соотношение между Д и feW имеет вид

б) К какой функции сводится few в случае независимых веро­ ятностей?

б) Уравнение Чепмена — Колмогорова

s-частичное совместное распределение /8 (1, . . ., s, t), отне­

сенное к начальному состоянию (10, . . ., s0, ^о)> принимает форму условного распределения.

Соответствующая функция распределения такова, что

является вероятностью нахождения системы из s частиц в состоя­ нии dl . . .ds около (1, . . ., s) в момент t при условии, что в момент t0 система находилась в состоянии (10, . . ., s0) х). Такая функ­ ция удовлетворяет хорошо известному в теории вероятностей уравнению Чепмена — Колмогорова 2)* (или Смолуховского). Это уравнение получается следующим образом. Сначала мы запишем (2.200) в таком виде:

Поскольку в момент t система, очевидно, находится в некотором состоянии, то П подчинена условию нормировки:

Точно так же очевидно, что за нулевой интервал времени состоя­ ние системы не изменится, следовательно,

Достигнув состояния z в момент t, система должна была пройти

Мы получили непрерывную форму уравнения Чепмена — Кол­ могорова. Его также называют допущением Маркова. Смысл послед­ него уравнения становится совершенно ясным, если рассмотреть более общее уравнение, из которого следует (2.203) (переменная t в записи опущена):

в z' в момент t' и в z0 в момент t0. При сведении уравнения (2.204) к вырожденной форме (2.203), мы вводим предположение, что сис­

0 П8 также называется «двухвременной функцией распределения». 2) Kolmogorov A. N., Foundations of the Theory of Probability, Chelsea,

New York, 1950; E. Parsen, Stochastic Processes, Holden-Day, San Francisco, 1962; and Smoluchowski M. V., Physik., Z., 17, 557 (1916).

106 Гл. II . Уравнение Лиувилля и функции распределения

тема «потеряла память». В уравнении (2.203) вероятность П (z | z', z0) не зависит от того, где была система в момент t0. Описываемый таким уравнением процесс называется марковским.

Чаще встречается запись уравнения Чепмена — Колмогорова через интервалы т = t' — t0 и о == t — t '. Изменения в обозна­ чениях таковы, что

В силу этого равенства П не зависит от t0. Тогда уравнение Чепмена — Колмогорова примет вид

или, что эквивалентно,

В квантовой механике состояния z могут образовывать дискрет­ ное (счетное) множество. Для учета этого изменения запишем:

z -> I; I = 0, 1, 2, . . .

При таких условиях интегральное уравнение (2.2066) примет вид

Рассмотрим теперь как получается так называемое основное уравнение, или уравнение Паули1), которое, как часто говорят, представляет собой квантовомеханический аналог уравнения Лиувилля. Чтобы вывести это уравнение, рассмотрим вероятность того, что за малый интервал времени At система переместится из состояния і в состояние I. Для I =А/ эта «переходная вероят­ ность» стремится к нулю вместе с At, и мы получим, что

П (Z1j ; At) = aijAt-f- ... (І ф ] ). (2.211)

1928, L. Van Hove, in Ergodic Theories, Course 14, Academic Press, New York, 1960, and B. R. A. Nijboer, in Fundamental Problems in Statistical Mechanics, ed. E. G. D. Cohen, Interscience, New York, 1962.