книги из ГПНТБ / Либов Р. Введение в теорию кинетических уравнений

где G[ — значение G, измеренное в процессе I-го эксперимента. Если мы введем вероятностную функцию, в соответствии с ко­ торой f N dpdq является вероятностью нахождения системы в состо­ янии dpdq около (р, q) в момент t, то получим другое выражение

для среднего значения G:

Вернемся к рассмотренной ранее задаче о шарике на прямой проволоке. УѴ-частичное распределение станет одночастичным

ми (т. е. вдоль динамических орбит), а для всех других (q, р, t) — функция, равная нулю: /4 (q, р, t) = 0. Графически это реше­ ние изображено последовательностью фигур на рис. 2.6. Почти очевидно, что с течением времени начальный ансамбль станет однородно заполнять весь допустимый объем Г-пространства. Это составляет сущность эргодической теоремы, которая будет более полно обсуждаться в гл. V. Чтобы лучше понять временную после­ довательность графиков на рис. 2.6, проследим за траекторией одного шарика в Г-пространстве, как показано на рис. 2.7. Учтем, что за равные промежутки времени частицы с меньшим импульсом покрывают меньшие расстояния, чем частицы с большим импуль­ сом. Этим объясняется скос начальной области на рис. 2.6.

88Гл. II. Уравнение Лиувилля и функции распределения

Внастоящий момент физическая целесообразность введения N- частичной функции распределения еще не является очевидной. Несомненно, эта функция пригодна для задачи о шарике на про­ волоке, но введения вероятностного формализма там не требуется. Этот формализм не нужен, когда имеется одна степень свободы. С другой стороны, для систем с большим числом степеней свободы вероятностная концепция становится оправданной. Для систем,

содержащих ~ ІО23 частиц, мы обычно имеем сведения лишь о температуре системы и о начальной области, кото­ рую она занимает в фазовом прост­ ранстве.

Примером такого описания яв­ ляется газ, первоначально заключен­ ный в одной половине герметического сосуда, который в свою очередь по­ мещен в термостат. Два существенных факта справедливы для такой систе­ мы. Во-первых, для нее, как и для любой другой системы, законы при­ роды, специфически выражаемые квантовой механикой, таковы, что энергия системы, измеряемая в ин­ тервале времени бt, определяется с точностью до дополнительного члена бЕ, ограниченного снизу величиной hl6t (h — постоянная Планка). Сле­ довательно, в лучшем случае извест­ но, что энергия системы лежит вну­ три некоторого интервала значений. Во-вторых, вспомним, что в началь­

ный момент на газ наложено ограничение, согласно которому он занимает одну половину всего объема сосуда. Если убрать пере­ городку, то газ будет диффундировать в пустую половину и че­ рез достаточно длительный интервал времени весь сосуд будет од­ нородно заполнен газом. Интересен не сам этот вполне обычный процесс, а тот факт, что система не возвращается к начальному состоянию (хотя для отдельной частицы это возможно).

Проблему легко разрешить, если допустить, что динамические формализмы Ньютона и других основоположников механики не обе­ спечивают полного описания поведения системы. Необходимо еще привлечь вероятностные закономерности. Наблюдение, согласно которому газ никогда не возвращается к первоначальному сос­ тоянию (в сущности, за время эксперимента), можно обосновать с помощью вероятностных аргументаций. С точки зрения класси­ ческой динамики этот факт является крайне парадоксальным

и называется парадоксом обращения времени (или, более вну­ шительно, Umkehreinwand по Лошмидту и Wiederkehreinwand

по Цермело). Мы займемся этими парадоксами позднее. В данный момент наше основное внимание будет обращено на тот факт, что естественная эволюция системы (со многими степенями свободы) может быть истолкована вероятностными методами. Можно пока^ зать (используя ІѴ-частичную функцию распределения), что описа­ ние такой эволюции частично опирается на основные понятия тео­ рии вероятностей.

Обратимся к определению функции f N для системы многих тел. Относящийся к этой (первичной) системе ансамбль состоит из совокупности идентичных копий данной системы. Когда пер­ вичная система изолирована, ее классическая константа энергии не является точной, а скорее «размазана» с неопределенностью бЕ, о которой уже упоминалось. В соответствующем Г-пространстве уравнение Н (р, q) = Е представляет поверхность. Так как пара­ метр Е принимает значения от Е до Е + 8Е, то энергетическая поверхность «выметает» энергетический слой в Г-пространстве.

Важность энергетических поверхностей в противоположность другим константам движения была отмечена Пуанкаре (1892) и Ферми (1923). Пуанкаре доказал, что единственной поверхностью, которую точка системы не покидает при своем движении, является энергетическая поверхность. Он показал, что если динамическая траектория системы не сходит с поверхности, то такая поверхность может быть только энергетической. Ферми обобщил эти результа­ ты и доказал, что для систем, которые он назвал Kanonische Nor­ malsysteme, не существует никаких других однозначно определен­ ных стационарных аналитических интегралов, кроме интеграла энергии.

Задача 2.12. В ящике, имеющем форму куба с длиной ребра L, движутся две частицы. Потенциал взаимодействия частиц равен V (I х4 — х2 I ), так что гамильтониан задается соотношением

н = Щ ~ + ѵ { \ * і - ъ \ ) -

Г-пространство является 12-мерным. Выяснить (геометрически и физически) пригодность трех констант движения: 1) энергии, 2) линейного момента (импульса), 3) углового момента. В каком смысле энергия является единственной «пригодной» константой

движения?

Ответ. Столкновения со стенками изменяют угловой и линей­ ный моменты, но не энергию.

Задача 2.13. Показать, что угловой момент системы частиц, движущихся внутри полой сферы с идеально гладкими стенками,, сохраняется.

90 Гл. II . Уравнение Лиувилля и функции распределения

Начальное энергетическое состояние исходной системы неопре­ деленно и может отклоняться от значения Е на величину, не пре­ вышающую 8Е. Это определяет энергетический слой. Кроме того, если начальное состояние стеснено условием, что оно лежит в под­ пространстве допустимой области конфигурационного простран­ ства, то заполняется только некоторый подобъем энергетического слоя. Такая начальная конфигурация схематически изображена на рис. 2.8.

Свойства симметрии энергетической поверхности следуют из об­ ратимости (относительно времени) орбит, порождающих поверх­ ность ѵ) (см. гл. I). Хотя энергетическая поверхность несомненно

р

Р и с . 2.8. Энергетический слой в Г-пространстве. Область из допустимых

точек, j j dpdq = Й.

является важнейшей классической константой движения, в ста­ тистической механике более уместно рассматривать энергетический слой. Ранее было показано, что уравнение Лиувилля следует из объемных интегральных инвариантов Пуанкаре и единственности траекторий системы. Уравнение Лиувилля является утверждени­ ем, относящимся к объемным, а не к поверхностным элементам. Именно из этого уравнения для объемной плотности D получаются все динамические орбиты. Геометрический объект в Г-простран­ стве, которому динамика не уделяет внимания, представляет со­ бой объемный, а не поверхностный элемент.

Когда начальная область заполнения деформируется, то это проис­ ходит таким образом, что объем деформированной области остается постоянной величиной Q0*

Если точка (р 0, q0) перехо­ дит в точку (р (£), q (£)), то

fiVk (t),p(*)]=fir(qo,po)=

конца оси цилиндра к другому. Положим, что первоначально более вероятным является состояние, когда большая часть молекул нахо­ дится в левом конце, а не в правом. Плотность начального ансамбля такова, что она меньше для координат, лежащих справа от центра, и больше для координат, лежащих слева от центра. Схематически этот случай изображен на рис. 2.9.

jY-частичная функция распределения подчинена ограничению:

j f N = 1 в любой момент времени, и изменяется со временем в соот­

ветствии с уравнением Лиувилля. В любом случае правильно опре­ деленная функция распределения f N удовлетворяет уравнению Лиувилля и содержит в себе всю классическую информацию, относящуюся к изучаемой системе.

Задача 2.14. Дать интерпретацию задаче 2.6, используя N-час­ тичную функцию распределения.

2.5.Динамика системы, выраженная через функцию /д : приведенные распределения. ББКГИ-уравнения

Как описать динамическую эволюцию системы, если для нее задано начальное распределение вероятности f N (0)? Динамика системы задается через физические наблюдаемые величины (или свойства), связанные с системой. Аналитически эти наблюдаемые величины являются некоторыми определенными функциями коор­ динат и импульсов системы. Они представляют собой функции состояния системы.

94 Гл. II. Уравнение Лиувилля и функции распределения

Оператор Лиувилля Ls выражается через эти операторы (при явной записи оператора K s) в виде

(как будет показано). Более того, весь член в квадратных скобках обладает тем же свойством. Этот способ выражения L N в виде-

линейной комбинации операторов L„, Ѳг^ и QN>S, определяемой равенством (2.160), изображен схематически на рис. 2.11.

Все члены Ѳ^-, входящие в L N, заполняют целый треугольник. Члены этого же вида, входящие в L s, занимают область, отмечен-

Используя теорему о дивергенции, можно записать интеграл (2.161) как поверхностный интеграл, распространенный по грани­ цам (импульсным) фазового пространства, где функция f N обра­ щается в нуль. Аналогичные рассуждения остаются в силе для

Имея удобное разбиение L N согласно равенству (2.160), мы можем теперь вывести уравнение, которому удовлетворяют Fs.

Для этого подействуем на уравнение Лиувилля (2.150) (где L N имеет вид (2.160)) оператором

Остальные члены (д/дрj) сводятся к поверхностным интегралам. Чтобы упростить ряды из интегралов в выражении (2.164), рассмот­ рим случай трехчастичного газа при s = 1. Соответствующие интегралы принимают вид

Поскольку мы имеем дело с идентичными частицами (массы частиц не снабжены индексами), то должна существовать симметрия отно­ сительно нумерации частиц. Напомним, что произведение